成人高考成考(专升本)高等数学(二)试题及答案指导

成人高考成考高等数学(二)(专升本)自测试题及答案

指导

一、单选题(本大题有12小题，每小题7分，共84分)

1、已知函数/(x)=ln(/+1),则函数«x)的奇偶性是：

A.奇函数

B.偶函数

C.非奇非偶函数

D.无法确定

答案：B

解析：要确定函数的奇偶性，我们需要检查4-x)是否等于4x)(偶函数)或-/1X)

(奇函数)。对于Z(x)=ln(/+J),我们计算x)：

/(-x)=1n((-x)2+7)=]n(/+7)

由于/r-x)=/u),我们可以得出结论，函数«x)=□(/+/)是一个偶函数。

2、设函数(/%);ln(/+/)),则(/”(x))等于

A.(以)

B•(离

答案：B.G5）

解析：

给定函数（/«=ln（1+2）,为了找到其导数（F（x））,我们使用链式法则。根据

链式法则，如果有一个复合函数（爪力⑴）），那么它的导数是（,（/?（/））•力'（刈）。

在这个例子中，（虫»=1"〃））和（力。）=/+/）,所以（〃）=。和（3（x）=2r）。

因此，

这意味着正确答案是选项B.（熹）。

3^设函数（/（X）=6/+9x+/）,则（（x））的极值点个数是：

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：C

解析：

首先，对函数（"x））求一阶导数：

[fO）=3/_

令（F«=解得：

[x2-4x+3-6>][（*-l）（x-*~0\[x-/或*一同

接着，对（产（月）求二阶导数：

[f〃（x）=6x-12\

代入（x=1）和（X二为检查二阶导数符号：

[/'（/）=6义—2=一向（负值，极值点）[尸⑼=6义3-12=6]

（正值，极值点）

因此，函数（（x））在（x=。和（x=①处分别取得极大值和极小值，共有两个极值点。

选项C正确。

4、在下列各对函数中，属于反函数关系的是（）

A.（«x）=2x+y，（式x）=节

B.（/W=Z）,（奴工）=①

C."W=ln（x））,（XA）=

D.（/&）=3）,（冢功二*7）

答案：C

解析：反函数的定义是，如果函数（/）和（g）满足（/Q（x））=x）和（爪«»）=＞），则称

（/）和（g）互为反函数。在选项C中，"（X）=ln（x））和（爪x）=，）满足上述条件，即（In（炭）二

力和（2皿*）=»。因此，选项C中的函数（穴功）和（奴»）是互为反函数的。其他选项中的

函数不满足反函数的定义。

5、设函数（/（x）=/-3;v+/）,则该函数的极值点为（）

A.（x=/）

B.（A=-7）

C.（¥=为

D.（才二一幻

答案：A

解析：为了找到函数。。）=--3*+/）的极值点，首先需要计算其一阶导数

(FW)：

[f(x)=3X2-3\

将导数设为0以找到可能的极值点：

[3x2-3=0

k=±/]

然后，我们需要确定这些点是极大值点还是极小值点。为此，我们可以计算二阶导

数，⑺）：

r（X）=6M

对于（x=/）：

[广（7）=6・1=6\

因为（广（/）＞。，所以因=力是一个极小值点。

对于0=7）：

因为所以（¥=-/）是一个极大俏点。

因此，极值点为（x=。，选项A正确。

6、设函数（«幻:门0+/）-/7）的定义域为（功，贝I」（功为：

A.（（-J,+8））

B.（[-/,+8））

C.（（-8,-/））

D.（（-/,0U（0,+8））

答案：A

解析：对于函数(久¥)=ln(x+/)-9)，首先需要保证(ln(x+。)有意义，即。+1>

6,解得(x>-/)。因此，函数的定义域(0为((-/,+8))。其他选项要么包含。=-1)

(使得(ln(x+/))无定义)，要么不包含(x>-/)的部分，均不符合题意。

7、设函数f(x)=3x-2-4x+5,求f(x)在区间［1,3］上的最大值。

A.4

B.5

C.8

D.9

答案:B

解析：首先，我们求出函数f(x)的导数f'(x)。由于f(x)=3x，2-4x+5,所

以『(x)=6x-4o令f'(x)=0,解得x=2/3。因为x=2/3不在区间［1,3］内，

所以只需在区间端点处求函数值。计算f(D=3/》-41+5=4,f(3)=33》-公

-5=5o因此，函数在区间［1,3］上的最大值为5。

8、在下列函数中，哪一项是连续的？

A./(.Y)=一,定义域为{x\x士0}

B.a»=IM，定义域为R

C.h(向二立,定义域为{*1x20}

D.$k(x)=

,定义域郑>

答案：B

解析：函数虱x)二|x|在其定义域R上是连续的，因为它在每一点都连续。对于选

项A,(x)=gEx=0处不连续。对于选项C,力(x)=C在x<0时无定义，因此不连续。

对十选项D,代x)在x为有理数时和x为尢理数时的表达式不同，因此小连续。

9、己知函数(/5)二f),则该函数的间断点为：

A.(x=1)

B-(T

C.(X二为

D.(¥=-7)

答案：A

解析：函数(/1*))的间断点通常出现在函数定义域中不存在的点。在这个例子中，

分母(X-7)在(x=/)时为零，导致函数在该点没有定义。因此，(x=/)是函数(/(x))的

间断点。其他选项中的点并不是分母为零的点，所以它们不是间断点。

10、设函数(/*)=孑+2/-3),则函数(/5))的极值点为：

A.(A-=0

B.(y=-/)

C.(x=1)

D-(*=9

答案：C

解析：首先，对函数(6))求导得到(/⑺二一士+以)。令(「⑶二④解得1二士沙

然后，检查这两个点的二阶导数(广«=号+4)。当(x=」')时，(/(1)=6)①,表示

(x=/)是同部极小值点；当。=-/)时，(/(-/)=-6<0),表示。=-/)是同部极大值

点。因此，函数(«x))的极值点为。=/),故选C。

11、设函数。靠)=ln(/-1)),若(F(/))存在，贝的取值范围是:

A.{x2-1>0)

B.(3-120)

C.(/-/<0)

D.(N-/W0)

答案：B

解析：函数(/J)=ln(/-1))的定义域为(/-/>0),即(x£(-8,-/)u(i,+

8))。对(/U))求导得(尸O')=W)。当(*=/)时，(/一，二0)，由于(£⑺)存在，

说明(r。))在处连续。因此，(-一120)是(/(1))存在的必要条件，所以答

案为Bo

12、设函数f(x)=x，3-3x,若f'(x)=0,则x的值为()

A.0

B.1

C.-1

D.3

答案；B

解析：首先，根据导数的定义，函数f(x)的导数『(x)可以表示为:

f(x+力)一/&)

0)=1讪〜

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对于函数f(x)=x，3-3x,我们可以直接求导:

2

f(x)=-3x)-3X-J

接下来，我们需要找到f'(x)=0的解，即:

[3JT-3=。][/=/][x=土/]

由十题目要求的是止数解，因此X的值为1,选择B选项。

二、问答题（本大题有3小题，每小题7分，共21分）

第一题：

已知函数（/O）=2/-3/+4*+5，试求：

（1）函数的极值点；

（2）函数的单调区间。

答案：

（1）首先对函数（/&））求导，得到（/（x）=6/-6x+4）。

令（U«=0,解得（x=9或（x=/）。

再求二阶导数，得到（尸W:12x-⑨。

当卜=9时，（/Q）=o），说明是拐点。

当0=7）时，（广（7）=。，说明（x=7）是极小值点。

所以，函数的极值点为。=/）。

（2）根据一阶导数的符号变化，可以得到函数的单调性：

当卜＜9时，（F（力》0，函数单调递增；

当6＜x＜/）时，（f（x）＜。，函数单调递减；

当。＞/）时，（f（x）＞0,函数单调递增。

所以，函数的单调增区间为（（-8,勺）和（（/,+8））,单调减区间为（&,1）＞

解析：

（1）本题考查了函数极值点的求法，通过求导数并判断导数的符号变化，确定函

数的极值点。

（2）本题考查了函数单调区间的求法，通过判断一阶导数的符号变化，确定函数

的单调增减区间。

第二题：

己知函数（/（x）=ln（x+0办），其中（x>-为。

（1）求函数（/（x））的定义域。

（2）求函数（/«）的导数（/、'（x））。

（3）讨论函数（4>））的单调性。

（4）若"5））在（才=/）处取得局部极值，求该极值点处（[口•））的极值。

答案：

（1）函数"&））的定义域为（（-2+8））。因为对数函数的定义域要求对数内的表

达式大于0,所以（x+2>0,解得（x〉-9。

（2）函数（4⑼）的导数（f（x））为：

1

F（A）=-

（3）为了讨论函数的单调性，我们需要找出导数（6W）的零点，并分析其符号

变化。

令（f（x）=。，得：

一3x+4=0[/-3x（x+0+4（x+0=a[/-Sx2-6x+4x+8=d\[-3X2-

2x+9=仍卜+23;o]

解这个二次方程，得到:

广孽将71j炉

A-------------X-----；---

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土“彳_-/±r]

由于(x〉-0，我们只取正值：

当(x〈T)时，(£(力>。，函数(«x))单调递增;

当时，(尸(¥)<。，函数(/1X))单调递减。

(4)在(x=/)处，(穴功)取得局部极值。由于(/>-0,且(/<年)，所以在(x=/)

姓(/□))取得局部极大值。

计算(«/))的值：

[4/)=ln(/+”(/)2+7(/)][/(7):In⑼4]["/)=ln(3+0

所以，(/(>))在(*=/)处的局部极大值为(1M3+9。

解析：

(1)定义域的求解基于对数函数的性质。

(2)导数的求解使用了对数函数和塞函数的导数规贝!。

(3)单调性的讨论通过求导数的零点，并分析导数在零点附近的符号变化来完成。

(4)局部极值的求解通过计算函数在给定点的导数值，并结合导数的正负变化来

确定。

第三题：

某工厂生产一•种产品，其总成本函数为(。«:2公+及+/2)元，其中(X)为生产的

产品数量（单位：件）。该产品的销售收入函数为（AW=花+2。）元。

（1）求该工厂生产（x）件产品的利润函数（£（x））；

（2）若要使得利润最大，工厂应生产多少件产品？请说明理由。

答案：

（1）利润函数（〃＞））为销售收入函数（加x））减去总成本函数（■*））：

[ZU）=氏x）-■丫）][£（x）=（疗-4x+20-（2/+8x+12）]R（x）=川-奴+

20-2d-8x-闿[£（x）=2d-12x+/

（2）为了找到利润最大化的点，需要对利润函数（/，。））求导，并找到导数为零的

点：

令（£'（力=0解得（力：

{4x-12:0][4x=/0[x:3]

为了确认（¥=$是最大值点，需要检查二阶导数：

因为（£"（X）＞0），所以。二》是一个局部最小点。但由于我们是在寻找利润最大化

的点，而此函数在定义域内是连续的，并且没有其他临界点，我们可以确定（x二3是利

润最大化的点。

解析：

（1）利润函数（£（x））表示在销售。）件产品时的利润，通过将销售收入减去总成本

得到。

（2）为了最大化利润，我们找到了利润函数的一阶导数，并令其为零以找到临界

点.通过计算一阶导数，我们确认了这个临界点是利润的最大值点。因此，工厂应生产

3件产品以实现最大利润。

三、解答题（本大题有3小题，每小题15分，共45分）

第一题：

已知函数20在区间（［0,+8））上连续，且（«力二①。

（1）求函数（）x））的导数（F（X））。

（2）证明：存在（ff（40）使得（r

（3）求（/J））在区间（［0,0）上的最大值。

答案：

（1）求导数（）W）：

d

F。）二丁（寸-2彳）;N-2

dx

（2）证明存在（4£（/,3）使得化（O=^zF）：

首先计算（/10）：

伏0二辔-2X2二点-4］

然后计算””）：

2-1—-L「'

接下来，考虑函数（虱x）=F（0-（/-7）=^-2->+7）。

求（双»）在（x=/）和（x=4时的值：

由于（取/）<①且（取？>以根据零点定理，存在（fe（1,0）使得（俄S）=0）,即

（r（$）=>-2=5-7）.

（3）求（/5））在区间（图为）上的最大值：

首先，已知（尸（x）="-0,令（尸。）=。求临界点:

1^-2=o\

比较(W0)、(/Un?)和(43)的值：

[f[O)=eo-2X0=/][Rin为二十2-2义ln2=2-21词伏0=/-4]

由于(ln2*0.6%),可知(2-0n2＞/),而(/一4＜为，因此(/(In©)是三个值中

最大的。

所以，函数(«x))在区间([“才)上的最大值是(2-0n勿。

第二题：

已知函数(/&)=/-3/+0,求该函数的极值点及对应的极值。

答案：

1.求导：(F(A,)=Sx2-3)

2.令导数等于0,解方程：(3/-3=0)[/=/]□二±/]

3.确定极值点：

•当时，(/。)＞功，函数在此区间内单调递增；

•当时，(广0)＜。，函数在此区间内单调递减；

•当(x＞/)时，(£(X))。，函数在此区间内单调递增。

因此，(X=-/)是极大值点，(x=7)是极小值点。

4.计算极值：

•极大值：产次-/)+2-+3+2=4

•极小值：(/⑺:J，-及1)+2=—3+2=0)

解析；

本题考查了求函数的极值点及极值。首先，通过对函数求导，找到导数为0的点，

这些点可能是极值点。然后，通过判断导数符号的变化，确定这些点是极大值点还是极

小值点。最后，将极值点代入原函数，计算得到对应的极值。在本题中，通过求导和符

号判断，我们确定了函数的极大值点和极小值点，并计算出了对应的极值。

第三题

设函数（/5）==）,求：

1.函数"5））在（x=Z处的极限。

2.讨论函数（/[4））的连续性，并指出间断点的类型（如果存在）。

3.如果（/（x））在。=幻不连续，如何定义（耳0）使得（4功）在（x=0连续？

答案与解析：

1.求解（x=2）处的极限：

我们首先化简给定的函数（4功）。注意到分子可以因式分解为（3-4=O-Z