高考复习数学多维层次练59

多维层次练59

［巩固提升练］

1.若尸《4刈)=1一0，P(e^Xl)=l-«,其中Xi<X2,贝！IP(S

W%2)等于()

A.(1—々)(1一夕)B.l—(a+fi)

C.1—“(1—4)D.1—0(1—a)

解析：显然P^>x2)=P，P(«xi)=a.由概率分布列的性质可知

P(X1W。4工2)=1-P(^>X2)一P(e<xi)=l-a-fl.

答案：B

2.设X是一个离散型随机变量，则下列不能够成为X的概率分

布列的是()

A.0,0,0,1,0

B.0.1,0.2,0.3,0.4

C.p,l-p(pER)

D・1X2,2X3,…，(n-1)n丁〃"”)

解析：A、B两项显然适合；

对于选项D,因为出x±+…+'M、+!=］_,+;一

1X22X3Ui-1；nn22

1+—+^-T--+-=l,又£(0,1),-e(0,1),所以D

3n—1nn9n,11)'7,n,"

项适合；选项C中，由于p是实数，不妨取p=3,则l-p=-2v0,

不符合非负性.故选C.

答案：C

3.设随机变量X的分布列为P(X=A)=df[,*=1,2,3,则

P(X>1)的值为()

C.3D.5

解析：因为随机变量X的分布列为

P(X=A)=〃寸优=1,2,3),

所以根据分布列的性质有QX；+a(；j+Q(，3=i,

门[]、78

所以〃^+4+斜=。乂豆=1,即4=1・

所以尸(X>1)=1-P(X=1)=1—

答案：D

4.从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，

恰好是2个白球，1个红球的概率是()

A,35B,35

C盘D至

L，355343

解析：如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个

超几何分布问题，故所求概率为尸=詈=!|.

答案：C

5.(多选题)下列说法正确的是()

A.设随机变量X等可能取1,2,3,…，力如果P(Xv4)=0.3,

则71=10

B.若随机变量的概率分布规律为尸(6=〃)=〃(合1)(〃=1，

2,3,4),其中〃是常数，贝！］〃=；3

C.设离散型随机变量〃服从两点分布，若P(〃=l)=2P(〃=0),

则尸(〃=0)=；

D.超几何分布的实质是古典概型问题

解析：由题意知，对于A,P(Xv4)=P(X=l)+P(X=2)+P(X=

3)=-=0.3,所以n=10,故A正确；对于B,由P^=n)=n(n+l)

(〃=1,2,3,4),所以亮+奈=1,所以〃=1,故B错误；

对于C,因为尸(〃=l)=2P(〃=0)且尸(〃=1)+尸(〃=0)=1,所以尸(〃=

())=1，故C正确；对于D,由超几何分布的定义可知，D正确.

答案：ACD

6.(多选题)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对

其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定

至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是()

A.答对0道题和答对3道题的概率相同，都为衣

B.答对1道题的概率为最

C.答对2道题的概率为总

D.合格的概率为:

解析：设此人答对题目的个数为乙则6=0,1,2,3,P(e=0)

=白，则答对。道题和答对3道题的概率相同，都为白，故A错误;

JL/

答对1道题的概率为"故B错误；答对2道题的概率为亮故C

JL/JLN

正确；合格的概率P=PC=2)+P4=3)=*I■白=；,故D正确.故

选CD.

答案：CD

7.某射击选手射击环数的分布列为

X78910

P0.30.3ab

若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为.

解析：由分布列的性质得。+6=1-0・3—0・3=0.4,故射击一次

的优秀率为40%.

答案：40%

8.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3

人中女生人数不超过1人的概率是_______.

解析：设所选女生人数为X,则X服从超几何分布，其中N=6,

c?Cdeld4

M=29〃=3,则P(X<1)=P(X=O)+P(X=1)=吊『+-^=g.

答案"

9.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运

动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；

乙协会的运动员5名，其中种子选手3名,从这8名运动员中随机选

择4人参加比赛.

(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种

子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；

⑵设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布

列.

cici+cia6

解：（1）由已知，得P（A）=

35,

所以事件A发生的概率为注

⑵随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,

C&C受

其中P(X=A)=q|—他=1,2,3,4).

cia1

故尸(X=l)=

a-w

CiCi3

P(X=2)=

CgC]3

P(X=3)=

C一['

cia1

P(X=4)=

所以随机变量X的分布列为

X1234

1331

P

147714

10.在一次购物抽奖活动中，假设10张券中有一等奖券1张，可

获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品;

其余6张没有奖.某顾客从此10张中任抽2张.

⑴求该顾客中奖的概率;

⑵求该顾客获得的奖品总价值X（元）的分布列.

ClCi+CiC2302、

解：⑴尸=1

cio453〃

2

即该顾客中奖的概率为予

(2)X的可能取值为0,10,20,50,60.

c2cj=i

P(X=0)=Cio一手

ClCi2

P(X=10)=

产(X=20)=霁==

…50)_也_2

P(X-'O)-C20-15,

p(x=60)=^=±

故X的分布列为

X010205060

12121

P

35151515

［综合应用练］

11.一只袋内装有机个白球，〃一根个黑球，连续不放回地从袋

中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等

(.n-m}

于一Q—的是()

A.P(X=3)B.P(X22)

C.P(X43)D.P(X=2)

解析：依题意知，(〃二2).5是取了3次,所以取出白球应为

2个.

答案：D

12.(多选题)［2020•新高考卷I(山东卷)］信息精是信息论中的一

个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,…，”且P(X

nn

=i)=E>O(i=l,2,…，〃)，Zpi=l,定义X的信息燧MX)=-Z

Pil0g2"・()

A.若〃=1,则"(X)=0

B.若〃=2,则随着P1的增大而增大

C.若Pi=J(i=L2,•,〃)，则"(X)随着〃的增大而增大

D.若n=2m,随机变量丫所有可能的取值为1,2,山，且

p(Y=j)=Pj+P2nt+i-j(j=i92,⑼，则H(x)W"(y)

解析：对于选项A,若〃=1,则P1=1,log2l=0,所以H(X)

="pilog2pi=-logzl=0,A正确,对于选项B,当P1=；时，H(x)

一(加2；+弧2多，当Pl=1

=­ZP“Og2Pi=­Wllog2pi+p210g印2)=

13

由此可得，当P1=1与P1=W时，信息炳相等，所以B不正确.对于

选项C,若“=:，则H(X)=-Epi\og2Pi=-(^Og2^d----F^logz^)

尸1

=〃X卜管〃=log2〃,所以〃(X)随着n的增大而增大，C正确.对于

选项D,若〃=2加，随机变量y的可能取值为1,2,…，山，由尸(丫

=7)=Pj+p2m+1-J(7=1,2,…，加)知，P(y=l)=pi+p2,〃；P(y=

2)=P2+P2〃L1；P(y=3)=p3+p2/〃-2；…；P(Y=in)=p,〃+pm+i.H(X)=

一［(pilogzpi+P2〃jog2P2〃/)+(p210g2P2+22〃LlI0g*2〃L1)+“'+(P〃jog2Pm

+pm+l-log2pw+l)],H(Y)=­[(pi+p2〃J10g2(Pl+p2>n)+(P1+P2m-l)log2(P2

+Pim-1)+,**+(Pm+Pm+l),l0g2(Pm+Pm+1)],H(Y)~H(X)=—[(pi+

P2，〃)10g2(Pl+p2〃j+…+(P〃i+p〃叶l)10g2(P，〃+p，〃+l)]+pj0g21Pl+p23Og2P2，〃

H------Fp〃j0g2Pm+pm+110g2p,W+l=Pl,10g2p]；,J-------Fp2m-10g2^^^.

…,°v京〈1,所以I噌毋V。

易知。〈瑞A，

log2等vO,所以H（y）v"（X）,故D错误♦

Pl十P2m

答案：AC

13.设。为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两

条，当两条棱相交时，4=0;当两条棱平行时，4的值为两条棱之间

的距离；当两条棱异面时，。=1,则随机变量。的分布列是_____.

解析：若两条枚相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过

任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8a对相交棱，因此尸4=0）=警

8X34

=66=ir

若两条棱平行，则它们的距离为1或也，其中距离为啦的共有

6对，故尸（《=也）=含=今

于是尸（=1）=1一尸＜=0）一尸（=啦）=1一得一==壬

所以随机变量J的分布列是

01V2

P461

1111111

答案:

0i加

P461

nUn

14.已知随机变量X的概率分布列为

Xi23

ppiP2P3

且依次成等差数列，则p2=,公差d的取值范围是

解析：由分布列的性质及等差数列的性质得Pl+02+p3=3p2=l,

1

P2=y

］一心0,

|pi20,得一上信

又即＜

；+心0,

答案：I11

~r3

15.为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12

月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出

行.市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单

位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，

画出茎叶图如图所示.

甲乙

751()7

953II578

x61235

4213269

1144

(1)若甲单位数据的平均数是122,求X；

(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2

天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130

的天数分别为《1,42,令〃=41+42,求〃的分布列.

解：⑴由题意知点［105+107+H3+n5+U9+126+(120+x)+

132+134+141］=122,

解得x=8.

(2)由题得品的所有可能取值为0,1,2,3的所有可能取值为0,

1,2,因为〃=品+5,所以随机变量〃的所有可能取值为0,1,2,

3,4.

因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3,乙单位低碳

出行的人数不低于130的天数为4,

所以°(〃=0)=占悬=1，

C|ClC?+C?ClCi91

P("=1)=CUH=2259

ClCl+C?Ci+ClClCiCl1

P("=2)=诙说，

»_、Gcri+aac22

,

P(//=3)=C2OC2O=225

clci2

P(Z,=4)=CM；=225-

所以〃的分布列为

V01234

n7911222