第30讲 成对数据的统计分析章末测试卷（二）-（2023年人教A版选择性必修三）数学同步讲义

成对数据的统计分析章末测试卷（二）

说明：1.本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。

3.答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答

案无效。

4.考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求

1.（2023・高二课时练习）某商场五天内某种丁恤衫的销售情况如下表：

第X天12345

销售量y（件）19395979104

则下列说法正确的是（）

A.y与x负相关B.y与x正相关

c.y与X不相关D.y与X成正比例关系

【答案】B

【分析】作出散点图，可得出结论.

【详解】根据表格中的数据作出散点图如图，

100-•

90-

80-•

70-

60-•

50-

40-•

30-

20-•

10-

11IIIj

o12345X

可知所有点都在一条直线附近波动，是线性相关的，且）'值随着x值的增大而增大，即y与x正相关，

故选:B.

2.12023春•高二课时练习）为了研究汽车减重对降低油耗的作用，对一组样本数据（.片）、（的，切、L、

（乙,”）进行分析，其中巷表示减重质量（单位：千克），凡表示每行驶一百千米降低的油耗（单位:升），/=1.

2、L、”，由此得到的线性回归方程为），=良+。（/；＞0）.下述四个说法：

①”的值一定为0;②/；越大，减重对降低油耗的作用越大；

③残差的平方和越小，回归效果越好；④至少有一个数据点在回归直线上.

其中所有正确说法的编号是（）

A.①④B.®®C.②③④D.①②④

【答案】B

【分析】根据拟合直线不一定过坐标原点可知①错误；由）的实际意义可知②正确；戏差的平方和越小，说

明相关指数R2越接近于1，其拟合效果越好，故③正确；由样本点和回归直线的位置关系可知④错误.

【详解】〃的实际意义为当减重质量为0时，汽车每行驶一百千米所降低的油耗，

从其意义上来看，〃的值应该等于0,

但拟合直线并不一定过坐标原点，因此〃的值可能比0略大或略小，所以①错误；

b的实际意义是每行驶一百T•米降低的油耗最与减重质品之比，

因此方越大，减重对降低油耗的作用越大，所以②正确：

相关指数*=1-•^一——,所以残差的平方和之越小，R2越接近于］,回归效果越好，所以

-

/=1

③正确；

有可能没有数据点在I可归直线上，所以④错误.

故选：B.

3.（2023・陕西榆林•校考模拟预测）已知某商场在上半年的六个月中，每个月的销售额了（万元）与月份

其工=123,4,5,6）满足线性回归方程）,=12计27.8，则该商场上半年的总销售额约为（）

A.180万元B.192万元C.206万元D.214万元

【答案】B

【分析】先求7,代入回归直线可得亍，然后可得答案.

【详解】因为1=*WX=3.5,所以月平均销售额亍=1.2x3.5+27.8=32（万元），则总销售额为

6

32x6=192（万元）.

故选：B.

4.（2023春•陕西咸阳•高二校考阶段练习）在变量），与x的回归模型中，根据下面四个的相关系数M，判断

拟合效果最好的是（）

A.模型1的相关系数上|为0.2B.模型2的相关系数上|为0.3

C.模型3的相关系数M为。.9D.模型4的相关系数上|为0.8

【答案】C

【分析】由相关系数的绝对值越接近于1,回归模型拟合效果越好即可得出结论.

【详解】根据相关系数的绝对值大小可得模型3的相关系数卜|为0.9,离1最接近，

所以C项的拟合效果最好.

故选：C

5.（2023・高二课时练习）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下表关系

X13457

y3040605070

y与x的线性回归方程为y=6.5x+24,当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（）

A.20B.-10C.10D.-6.5

【答案】D

【分析】利用线性回归方程，令）=5,求得y,再求残差即可.

【详解】解：因为,，与x的线性回归方程为y=6.5x+24,

当x=5时，），=6.5x5+24=56.5，

则50—56.5=-6.5,

所以当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为-65

故选:D

6.（2023・全国•高三专题练习）在研究线性回归模型时，样本数据（x,,y）（i=l,2,3,,〃）所对应的点均在直线

），=-：X+3上，用犬2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则R2=（）

A.—1B.—C.1D.2

2

【答案】C

【分析】结合决定系数的知识确定正确答案.

【详解】因为样本数据所对应的点都在直线），=-：工+3上，所以2=1.

故选：C

7.（2023・全国•高二专题练习）某个国家某种病毒传播的中期感染人数），和天数x的散点图如图所示，下列

最适宜作为感染人数y和天数x的经验回归方程类型的是（）

疑

Y

琮

«

A.y=a+bxB.y=a+bex

C.y=a+b\nxD.y=a+b4x

【答案】B

【分析】由散点图的变化趋势，结合四个选项中函数的单调性即可得结论.

【详解】由图可知，图象随着x的增大而增高，且增长速度越来越快，

结合选项，可判断y=a+，W最适宜作为感染人数），和时间x的同归方程.

故选：B

8.（2023春・江西南昌•高二南昌市第五中学校考阶段练习）通过抽样调研发现，当地第三季度的医院心脑血

管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的相关系数很高，甲认为这是巧合，两者其实没有关系：乙认为冷

饮的某种摄入成分导致了疾病；丙认为病人对冷饮会有特别需求：「认为两者的相关关系是存在的，但不

能视为因果，请判断哪位成员的意见最可能成立（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】D

【分析】正确理解相关系数，相关关系与因果关系的区别是解题的关键.

【详解】当地第三季度的医院心脑血管疾病的人数和便利店购买冷饮的人数的相关系数很高，但相关关系

是一种非确定性关系，相关关系不等于因果关系，丁的意见最匕能成立.

故选:D.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.（2023・福建福州•福州三中校考模拟预测）下列说法中正确的是（）

A.若数据内,占,…,土的方差十为0,则此组数据的众数唯一

B.已知一组数据2,3,5,7,8,9,9,11,则该组数据的第40百分位数为6

C.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数，•的值越大

D.在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高

【答案】AD

【分析】对于A,利用方差的公式及众数的定义即可求解；

对于B,利用第〃百分位数的定义即可求解；

对于C,利用线性相关系数卜|的值越接近于1,相关性越强即可求解；

对千D,利用残差图中残差点的分布情况与模型的拟合效果即不求解.

【详解】对于A,由方差…+（%-,2]=0,得芭=w=i=x“=x,即此组数据

的众数唯一，故A正确；

对于B,数据2,3,5,7,8,9,9,II共有8个，由8x40%=3.2可知，该组数据的笫40百分位数为7,

故B错误；

对于C,若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数上|的值越接近于1,

故C错误；

对于D,在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故D正确.

故选:AD.

10.（2023•辽宁•辽宁实验中学校考模拟预测）随着我国碳减排行动的逐步推进，我国新能源汽车市场快速

发展，新能源汽车产销量大幅上升，2017—2021年全国新能源汽车保有量y（单位：万辆）统计数据如下

表所示：

年份2017年2018年2019年2020年2021年

年份代码X12345

保有量y/万辆153.4260.8380.2492784

由表格中数据可知V关于X的经验回归方程为§，=欣-33.64,则（）

A.〃=150.24

B.预测2023年底我国新能源汽车保有量高于1000万辆

C.2017-2021年全国新能源汽车保有量呈增长趋势

D.2021年新能源汽车保有量的残差（观测值与预测值之差）为71.44

【答案】BCD

【分析】因为经验回归方程为》=欣-33.64,恒过伍亍）代入求出6可判断人；将犬=7代入$，=149.24%-33.64

可判断B；由题知，2017—2021年全国新能源汽车保有量呈增长趋势可判断C；将x=5,计算出2021年新

能源汽车保有最的预测值，求观测值与预测值之差可判断D.

【详解】由题得；=3，5=414.08,代入可得6=149.24,A项错误；

2023年的年份代码为7,KAJ=149.24.V-33.64y=1011.04,高于1000万辆，B项正确;

2017-2021年全国新能源汽车保有量呈增长趋势，C项显然正确；

将x-5,代入》=149.24、-33.64得5，=712.56,相应的残差为784-712.56=71.44,D项正确,

故选：BCD.

11.（2023・高二课时练习）已知关于变量x,），的4组数据如表所示：

X681012

ya1064

根据表中数据计算得到■y之间的线性回归方程为5=-1.41+20.6,北），之间的相关系数为「（参考公式:

A.a=\2B.变量x,y正相关C.r=-----D./•=-----

103

【答案】AC

【分析】根据回归自线必过点(工。解得a=12,所以选项A正确；由El归方程和表格可知选项B错误；利

用相关系数求出r=-述，所以选项C正确，选项D错误.

10

【详解】回归直线必过点(工亍)，［=9,7=-L4*20.6=8="+1°；6+4,解得。二口，所以选项A正确;

由回归方程和表格可知，变量M)，负相关，所以选项B错误;

£卜「1)(»-)')(-3jx4+(-l)x2+lx(-2)+3x(-4)7五

"后尸噂卜-7J9+2+9M6：/4+i；―石，所以选项C正确,选项D错误.

故选：AC

12.(2023•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的

班级排名y与考试次数x的相关性时，忘记f第二次和第四次月考排名，但小明记得平均排名亍=6,于是

分别用〃?=6和〃?=8得到了两条回归直线方程：y=blx+alfy=b2x+a2f对应的相关系数分别为弓、弓，

排名)，对应的方差分别为5：、尺，则下列结论正确的是()

X12345

y10in6n2

Zx-〃盯

(附：b=---------,a=y-bx)

力?-市)

r=l

A.4〈弓B.s；vs；C.b、<b?D.<a2

【答案】BD

【分析】根据表格中的数据和最小二乘法、相关系数的计算公式分别计算当，，，=6、〃?=8时的相关系

数⑺和方差(十),进而比较大小即可.

/、-w-1+2+3+4+5-10+6+6+/+2初俎

(详解］当小=6时，x=-----------=3,y=--------——!——=6,解得％=6,

5

则=1x10+2x6+3x6+4x6+5x2=74,

i=l

^X-=12+22+32+42+52=55,石=18,

r-1

5_

f=l

=(l-3)(10-6)+(2-3)(6-6)+(3-3)(6-6)+(4-3)(6-6)+(5-3)(2-6)=-16,

2

t^-x)\yi-y)

r=l

=(1-3)2(10-6)2+(2—3)2(6—6)2+(3—3)2(6—6)2+(4—3尸(6—6)2+(5—3)2(2—6)2=128,

745x188

所以4=‘一】__________—________—__

v2~~~"55—5x32~-5

1=!

--54

^al=y-bix=—

£(%々)区一刃小

-----------'=*=-五,

呼牙卮

216/_、2(10-6)2+(6-6)2+(6-6)-+(6-6)2+(2-6)232

二-2/另一)')-=----------------------------------------=v

55

同理，当〃7=8时，=一2,。、=12,/;=-且±,/=8,

一一一17

<a

所以4>公$：4>"，q2，

故选：BD.

第H卷（非选择题共90分）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.（2023•高二课时练习）给出下列三个说法:

①设有一个回归直线方程夕=3-5》，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位;

②设具有相关关系的两个变量X、），的相关系数为「，则卜|越接近于0,上和），之间的线性相关程度越强;

③在一个2x2列联表中，经计算得/的值，则/的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大.

其中，说法错误的是______.（写出所有满足要求的说法序号）

【答案】①②

【分析】根据线性回归直线方程的含义可判断①；根据相关关系可验证②；根据独立性检验可验证③.

【详解】回归直线方程9=3-5x,变量x增加1个单位时，y平均减小5个单位，所以①不正确.

具有相关关系的两个变量X、丁的相关系数为r,则卜|越接近于1，x和），之间的线性相关程度越强，所以②不

正确.

一个2x2列联表中，经计算得/的值，则/的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，所以③正确.

故答案为：①②

14.（2023・陕西・统考二模）某产品的广告费用x与销售额），的统计数据如下表：

广告费X（万元）2345

利润y（万元）26m4954

根据上表可得回归方程为§=9.4x+9.1，表中有一数据模糊不清，请推算该数据的值为

【答案】39

【分析】求得"根据样本中心点在回归直线上，求得亍，即可求得答案.

【详解】因为;=2+3；4+5=（在回归直线上，所以亍=9.4x3.5+9.1=42,

设该数据为也则26、切：49+54=42,解得加=39,

4

故答案为：39

15.（2023・高二课时练习）在一次独立性检验中，得出2x2列联表如下：

>'1力总计

XI2008001000

X2180m180+m

总计380800+小1180+/H

最后发现，两个分类变量x和），没有任何关系，则〃?的可能值是.

【答案】720

【分析】根据题意可推出200加-180乂800=0,解出即可得到.

【详解】由题意知，两个分类变量x和），没有任何关系，则应有/2=。,

即年）'2一七）'『=0，200m-180x800=0,解得〃z=720.

故答案为：720.

16.（2023春•高二课时练习）某大学有在校学生9000人，其中男生4000人，女生5000人，为了解学生对

学校的管理和服务的满意度，随机调查了40名男生和50名女生，每位被调查的学生都对学校的管理和服

务给出了满意或不满意的评价，经统计得到如下列联表:

以下说法中，正确的有.（写出所有满足要求的说法序号）

①满意度的调查过程采用了分层随机抽样的抽样方法

②该学校学生对学校的管理和服务满意的概率的估计值为0.6

③有99%的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性别有关系

④没有99%的把握认为学生对学校的管理和服务满意与否与性另］有关系

附表:

P(K2>k.)0.1000.050.025().01()0.001

2.7063.8415.0246.63510.828

【答案】①③

【分析】根据题意计算男女比例可判断①；计算满意的频率，用频率估计概率可判断②；由2x2列联表中数

据计算K?的值可判断③④.

【详解】因为该校在校学生和随机调查的学生中，男、女学生的比例均为4:5,故①正确；

被调查的学对学校的管理和服务满意的频率为U萨=|=。667,所以该学校学生对学校的管理和服务满意

的概率约为0.667,故②错误；

由2x2列联表，得十=幽也叱生竺匚=9>6.635,故有99%的把握认为学生对学校的管理和服务满

40x50x60x30

意与否与性别有关，故③正确，④错误.

故答案为：①③.

四、解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（2023春・河北承德•高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）一般来说，市场上产品的宣传费用与产品

的销量存在一定关系.已知产品甲的年宣传费用宜百万元）和年销量六万箱）的统计数据如下：

年宣传费用M百万元）3561()131518

年销量）'（万箱）1.522.533.544.5

⑴求y与x的相关系数”精确到c.oi）,并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定:

M20.75时，可用线性回归方程模型拟合）；

（2）从年销量不少于3万箱中任取两个数据作为样本，求恰有1个数据不少于4万箱的概率.

n

Zz）；一7r

附：①相关系数.=I“---------------②%»=246,t2=888,=70,71316«36.28;

唇:-，片®"）.，=，，=，

V；-|/-I

而片=36.41

【答案】（1"=0.99、），与x的关系可以用线性回归方程模型拟合.

【分析】（1）直接代入相关系数公式计算并判断即可；

（2）先求出从年销量不少于3万箱中任取一个数据不少于4万箱的概率，再按照二项分布的概率计算公式

即可.

【详解】(I)I=-(3+5+6+10+13+15+18)=10,

7

y=1(l.5+2+2.5+3+3.5+44-4.5)=3

246-7x10x3

贝v=

V(888-7X102)(70-7X32)5316

可知N=0.99>0.75,y与x的关系可以用线性回归方程模型拟住

（2）设从年销量不少于3万箱中任取一个数据不少于4万箱的概率为

21

〃二厂5'

则从年销量不少于3万箱中任取两个数据作为样本，求恰杓1个数据不少于4万箱的概率为

C；p（］_〃）=2x：x；=g.

18.（2023・上海长宁•统考二模）某地新能源汽车保着量符合阻沛型增长模型x（/）二丁二二，其中x（7）为自

1+Ae

统计之Fl起，经过/年后该地新能源汽车保有量、之和r为增长系数、M为饱和量.

下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据：

年份20182019202020212022

t01234

保有量工⑺9.612.917.123.231.4

假设该地新能源汽车饱和量〃=290万辆.

（1）若，=0.31,假设2018年数据满足公式k⑺--~二，计算九的值（精确到0.01）并估算2023年年底该

1+Ae

地新能源汽车保有量（精确到01万辆）；

（2）设），=与-1,则加），与/线性用关.请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定2和/•的值（精

确到0.01）.

大七-工）（凹-方

附：线性回归方程），=取+5中回归系数计算公式如下：力=--------:-,b=y-aX.

Z（七r『

【答案】⑴29.21,40.3万辆

（2）29.67,0.32

【分析】（1）根据题意代入，=0即可求出义，代入，=5利用公式估算即可得解;

（2）设设〃=h1y,转化为〃关于，的线性回归问题，利用公式求出A，•即可.

【详解】（1）由题意可知,2018年对应f=0,M0）=9.6,

290

满足工⑺，所以9.6=解得4=29.21,

1+3l+2e°

因为2023年对应的1=5,

290

所以M5）=力40.3.

1+29.21产Q

所以估计2023年底该地新能源汽车保有量为40.3万辆.

(2),'=7=

设〃=lny,则〃=-%+ln2,

/01234

409.612.917.123.231.4

U3.373.072.772.442.11

-0+1+2+3+4「-3.37+3.07+2.77+2.44+2.113力

55

-2x0.62-0.32+0-0.31-2x0.64八”

-r----------------------------------«-0.32,

4+1+0+1+4

所以“0.32,

因为ln/l="+/=2.75+0.32x2=3.39，

所以义=©339^29.67.

（该即无参考数据，需要计算器计算）

19.（2023•河南商丘・商丘市实验中学校联考模拟预测）某体育频道为了解某地电视观众对卜塔尔世界杯的

收看情况，随机抽取了该地200名观众进行调查，下表是根据所有调查结果制作的观众口均收看世界杯时

间（单位：时）的频率分布表：

日均收看世界杯时间（时）[0.5,1](U.5](1.5,2](2,2.5](2.5,3](3,3.5]

频率0.10.180.220.250.20.05

如果把日均收看世界杯的时间高于2.5小时的观众称为“足球迷”

⑴根据已知条件完成下面的2x2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”

与性别有关；

非足球迷足球迷合计

女70

男40

合计

⑵从样本中为“足球迷'’的观众中，先按性别比例用分层抽样的方法抽出5人,再从这5人中随机抽取3人

进行交流，求3人都是男性观众的概率.

人〜，、“，n（ad-bc）2一,

参考公式：〃=逅而0EE'其中〃=a+"c+d.

参考数据:

0.100.050.0250.010O.(X)50.001

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关

⑵I

【分析】（I）由频率分布表填写2x2列联表，计算长2,与临界值比较确定结论;

（2）由分层抽样确定男性和女性人数，5人中随机抽取3人，列举所有可能的结果，由古典概型公式计算

概率.

【详解】（1）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为0.2+0.05=0.25.

所以在抽取的200人中，“足球迷.'有200x0.25=50人.

故2x2列联表如F：

非足球迷足球迷合计

女701080

男8040120

合计15050200

所以K2=200X(70X40-80XM=哟，U,“.

150x50x80x1209

因为11.111>10.828，所以有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关.

（2）样本中为“足球迷”的观众有50人,男、女人数之比为4:1.

故用分层抽样方法从中抽出5人，男性有4人，记为A，A”A3，A，女性有1人，记为“,

从这5人中再随机抽取3人,有（A，4,A）,（A，4，AJ,（A，A，AMA，A，A），（A，4，B）,（A，48）,

（A，A，⑷,（4,怎8）,（4,A，8）,（怎%5）共io个结果,

其中3人都是男性观众的结果有4个，

所以3人都是男性观众的概率为4力2;

20.（2023•河南商丘•商丘市实验中学校联考模拟预测）某体育频道为了解某地电视观众对K塔尔世界杯的

收看情况，随机抽取了该地200名观众进行调查，下表是根据所有调查结果制作的观众日均收看世界杯时

间（单位：时）的频率分布表：

FI均收看世界杯时间（时）[0.5,1](U.5](1.5,2](2,2.5](2.5,3](3,3.5]

频率0.10.180.220.250.20.05

如果把日均收看世界杯的时间高于2.5小时的观众称为“足球迷”.

⑴根据已知条件完成下面的2x2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷

与性别有关；

非足球迷足球迷合计

女70

男40

合计

⑵将样本的频率分布当作总体的概率分布，现从该地的电视观众中随机抽取4人，记这4人中的“足球迷”

人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

参考公式：K2=--/〃（哈加）/,其中〃=a+Z?+c+d・

+Z?）（c+d）（a+<?）（/>+d）

参考数据:

产（七4）0.100.050.0250.0100.0050.001

k°2.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】⑴列联表见解析，有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关

（2）分布列见解析,£（X）=1

【分析】（I）由频率分布表求出“足球迷”对应的频率即可得到样本中“足球迷”的人数，从而完善列联表，计

算出卡方，即可判断；

（2）由（1）从该地的电视观众中随机抽取1人，其为“足球迷”的概率P=；,则X扉4,：］,求出相应的

4I4；

概率，从而得到分布列与数学期望.

【详解】（1）由频率分布表可知，"足球迷''对应的频率为0.2+0.05=0.25,

则在抽取的200人中，“足球迷”有200x0.25=50人，

所以2x2夕J1联表如F：

非足球迷足球迷合计

女701080

男8040120

合计15050200

所以K、200x（7。—..UU30828,

150x50x80x1209

所以有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关.

（2）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为0.25,

所以从该地的电视观众中随机抽取1人，其为“足球迷”的概率?=（,所以X

即X的可能取值为0、1、2、3、4,

所以P（x=0）=c：（#「步康改=1）=4*「小~

P（X=2）=G&）｛局嗡P（X=3）=%*阊磊,

P（X=4）=C：（m）°=全

所以随机变最X的分布列为

X01234

81272731

r

2566412864256

所以石（X）=4x；=l.

21.（2023•辽宁沈阳•高三校联考学业考试）在2023年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场

方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上

同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系.

⑴现对某时间段1（X）名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调杳，得到如下数据：

选择甲公司直播间购物选择乙公司直播间购物合计

用户年龄段19—24岁4050

用户年龄段25—34岁30

合计

是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？

(2)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能他从甲、乙两家中选一家直

播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为。7如果第一天去乙直播间

购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8,求小李第二天去乙直播间购物的概率；

(3)元旦期间，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为

每人卜.单成功与否互不影响，若从直播间中随机抽取五人，记五人中恰有2人卜单成功的概率为了(〃)，求

/(〃)的最大值点

n(ad-bc)~

参考公式：x2=其中n=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(〃+d)

/独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值表:

P(/“)0.100.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】⑴有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关；

⑵0.25

⑶Po=|

【分析】(1)完善列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基本思想得结论：

(2)应用独立事件乘方公式、互斥事件概率加法，求小李第二天去乙直播间购物的概率;

(3)由题设可得/(P)=10(1-“)3,利用导数研究其单调性求(0,1)上的最大值即可.

【详解】(1)列联表如下：

选择甲公司直播间购物选择乙公司直播间购物合计

用户年龄段19—24岁401050

用户年龄段25—34岁203050

合计6040100

所以/=1（X）X（40X3（）-20X1（））2=50＞10828,故有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有

60x40x50x503

关.

（2）由题设,小李第二天夫乙直播间的基本事件：［第一天夫甲直播间,第二天夫乙直播间｝:［第一天夫

乙直播间，第二天去乙直播间｝,两种情况，

所以小李第二天去乙直播间购物的概率P=0.5x（l-0.7）+0.5x（l-0.8）=0.25.

（3）由题设，设五人中下单成功的人数为X,则乂~（5,〃），

所以f（P）=C；（l-〃）3P2=10（1-p）-p2,令g（p）=（1-p）3P2=p2_3P3+3p4一25,

所以g'（〃）=P（2-9〃+l2〃2-5〃3），令/?（〃）=2