概率论专业规范标准答案资料

习题二答案

1.随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区

别？

答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是

连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都

可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离

散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机

变量的取值规律。它们的联系在于当知道了X的分布律，可

通过求概率P{x<%}(x取任意的值)求得X的分布函数F(%);

仅之亦然。当知道了连续型随机变量的密度函数f(x),可通过

积分F(x)=r8dt(-8£%之+8),求得分布函数FQV),

可通过对F(“)求导，即学F⑺=f(x)(对一切

f(x)的连续点处)求得密度函数f(x).

2.同时掷两枚骰子，求两枚骰子的点数之和X的概率分布,

并计算P{XW3}和P{X>13}.

解：由题意X的正概率点为2,3,-12

6一|"一7|

P{X=k}k=2,3,-12

36

P{Xp3}=P{X=2}=P{X=3}=29

P{X>12}=P{0}=0

3.某产品共17件，其中有次品3件，现从中任取5件,求抽得

次品数X的概率分布,并计算P{1WX<2}

解：P{X=k）=,P{1<7<2]=峥

C17C17

4.一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯

的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独

立,且红绿两种信号显示的时间相等，以X表示该汽车首次

遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布

解:X的可能取值为0,1,2,344i=1,2,3）表示事件“汽

车在第i个路口首次遇到红灯”；

AltA2fA3相互独立，且P（4）=P（4）W,i=l,2,3

对于m=0,1,2,3,有

p{X=0}=P{4}=；P{X=1}=P{92}=/

P{X=2}=P可而43）=或P{X=3}=P{4^^}=以

Ixe[0,1]

5.设随机变量X的概率密度为：f（x）=仁xe[3,6]若k

、0其他

使得P{XN/c}=：求k的取值范围°

解：P{X>k}=8f(x)dx

当ke(-oo,l]时，

P{X>k]=j^-dx+J3Odx+f^-dx+L+c°Odx=1-->

'J“3」393

2

3

当ke[1,3]时,

P{X之k}=J；Odx+J；言+odx=|

当ke[3,-oo)时，

P{XNk}=/：芍+夕00次1(6-k).

故要使得P{x之k}=：,k的取值范围是[1,3]

6.设某射手每次射击命中目标的概率为0.5,现连续射击

10次，求命中目标的次数X的概率分布，又设至少命中3次

才可以参加下一步的考核，求次射手不能参加考核的概率。

解：X〜B(10,0.5)P{X>k}=C^0.5k0.5lo-k,

k=0,1,2…，10

设A{此射手不能参加考核},有

a=P{4iU4U&}=P-P{&U&UA3]=1—

3

PC??再颂=1一=1—e-1

9.令X表示向直角等腰三角形内投点时落点的第一坐标,

求F(x).

解：0VXV1当4W0时，F（x）=0

当%>1时，F（x）=l

lx2

当0<x<1时，F(x)=々一=x2

2

0当*40时

尸(x)=%2当ov%wi时

1当%>1时

10.从1个白球n-l个黑球中任取k个，令X表示取出的白球

个数,⑴求x的分布律；⑵证僚=瑞二；+*]

k

解：（1）X的可能取值为0,1,且p{x=0}=》r

品

rk—1

P{X=1}=#

/。1

故分布律:(全俎

'cncn

k「k—1

(2)由分布律性质，”r会

"EK-1

即僚=%二;+

12x2-12x+3,0<x<l,

11.已知X的概率密度为f(x)=,

0,其他

计算P<X<0.2|0.1<x<0.5]

解:

P(X<0,210,1<X<0.5}=P{xy：。，}=P)。」—

1P{0.1<x<0.S}P{0.1<x<0.5}

0^1=11^^0.578

0.256

12.已知X的概率密度为f(x)=C2—/+X,确定常数C.

+cx2+x

1=J8°Ce~dx=

2

+8e-(x-|)4dx23日j+8v戊=旧回

J-8仓J-872

故，C/

13.设X~N(108,9),(1)求P{10Ll<x<117.6};(2)求常数a,

使P{X<&}=0.90.

解：⑴

cJcyyYdr八/117.6-108A_/101.1-108A

P（101.1<x<117.6）=①（——-——）一①（——-——J=

①（3.2）-①（一2.3）=①（3.2）-（1-①（2.3））=0.9886

（2）P{X<a}=①=0.90故，=1.28

即，a=111.84

14.设X为一离散型随机变量，其分布律如下表，求：（l）q的

值；（2）X的分布函数.

X-101

1l-2q

pq2

2

c+l-2q+q2

解:（1）］0<l-2q<1解得：q=1-j分布律:

VQ2<1

-101

P13厂

V2-1

2

’0x<1

--1<x<0

(2)由F(x)=P{X<%}知，F(x)=(1i

V2--0<x<1

2

V1X>1

15.设随机值变量X在[2,5]上服从均匀分布，现对X进行3

次独立观测，试求至少有2次观测值大于3的概率.

三，2<x<5

解：因A={X>3}且f(x)=卜一一故，

(0,其他

P(4)=P{X>3}=。|dx=|

以Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数(即在3次独立实

验中事件A出现的次数)显然，Y服从参数为n=3,p-的二次

3

分布

「、2212320

P[Y>2]=C^--+C^~=—

3333327

16.设一大型设备在任何长为t的时间间隔内发生故障的次

数N(t)服从参数的泊松分布，求：

(1)相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；

(2)在设备已经无故障工作8小时的情况下，再无故障运

行8小时的概率Q.

解：事件{N(，)=6表示设备在任何长为的时间间隔内发以次故障。

尸{N。)}=女="右伙=0,1,2,3....)

k\

当f<0时,P(T«r)=O

当年0时，事件{TWt}与事件是互逆事件，且表示在氏为f的时间内无故障发生，故它等价于

(1)由于丁是非负随机变量，可见当，<0时，F(r)=p{r</}=()

设/20,则事件{7>”与{NQ)=0}等价，故为20时,有

F{t)=p{r<t}=l-p{r>t}=l-P{N(f)=0}=l-e

故服从参数为的指数分布。

P{T>16,T>8}_P{T>16}_e'l6/l

(2)e=P{r>16/T>8}=

p{r>8}"p[r>s]~~e^~

17.设:X的分吊亍律为：2RY二的分布律。

X123456

।5

P

46128246

求Y=COf注X的分布律。

2

解：X与iY的对足E关系如一F表：

X123456

Y0-1010-1

।25

P468246

可见Y白勺取值只二自-1,0,1三种可自

:p{cos?

P{Y=-\}=X=2}+P{X=6}444

P^COS^x13

p{y=o}==p{x=1}4-P{X=3}+」*=5}=；

122424

P{Y=\}=Ip\cos-x=P{X=4}

2-8

故y=cos△x的分布律为：

2

-101

1

13一

8-

24

18.设X〜N(0,1),求Y二X?的密度函数。

解：若y«O,则{y《y层不可能事件，故4(y)=P{y«y}=0

若y>0,则有6(y)=P\Y<)，}=p{x2<y}=P16<X<7?}=2①(4)-1

FY(y)=2MV7)]=2例4)X-^==2x卷”XA«看尸”

故用勺密度函数为：PYiy）=<。乃0y<()

19.设连续型随机变量X的概率分布为:

=求丫=4X2—1的概率密度

⑼其他

解:,.•6(y)=P{Y<y}=*4--l<y}=pL2<山

当)，<一1时,号<0,耳(y)=P{x2<0}=P{^}=0.\%()，)=0

故y的概率密度为：外（），）=

(B)

1,随机变量X与Y均服从正态分布。X~N(u,42),Y~

N(口，5?),证匕=P{XV〃-4},尸2=P»N〃+5},则()

(A)对任何实数u,都有［=鸟

⑻对任何实数U,都有耳<旦

(C)只对u的个别值，才有仁外

(D)对任何实数U,都有々>鸟

解：

px=p{x<//-4}=<-l=X-1)

p1

p2=p{y>/z+5}=p-i-^~^~<=i一。(i)

•.“(-X)=l-0(x)/.°(-1)=1-0(1卿［=2故(A)成立。

2.设随机变量X〜N(u"),则随着b的增大，概率

P{x—“<b}()

(A)单调增大(B)单调减小(C)保持不变⑻增减不定

解:・・・X~N(U,a2)

•・・〜〜N(0,1)

CT

.•.p{x—”<b}=p1'二私1)—。(一1)=2如)一1「.故(C)成立。

3.设Fl(x)与F2(x)分别为随机变量XI与X2的分布函数，为

使F(x)=aFl(x)-bF2(x)是某随机变量的分布函数,在下列给

定的各组数值中应取()

(A)a=35,b=-25

(B)a=23,b=23

(C)a=-12,b=32

(D)a=12,b=-32

解:丁片(x),6(x)都是分布函数,，匹(+8)=1,/^(+00)=1

为使网幻=々/沁)—此(X)是某一随机变量的分桶数，必满足条件：/(+8)=1

即：4-6=1故(A)成立

(C)计算题

1.设测量误差X〜N(0,U),试求在100次独立重复测量中,

至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率a,并用泊松

分布求出a的近似值(要求小数点后取两位有效数字).

X1234567

0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001

解：设100次独立重复测量中有Y次测量误差的绝对值大于

19.6,则Y〜B(100,p),p=P|x|>i9,6)

v--N(0,1)

io

p=p{x\>\9.6}=P^>1.96>=1-P情>1.96=2[1-^(1.96)]=2(1-0.975)=0.05

a=叩N3}=1-丈p{y=i}=1-(G%X0.05°X0.95⑼+x0.051x0.95"+C器x0.052x0.9598

I=o

=1-(0.95KX,+5X0.95"+10Qx"x0.052x0.95典)«0.881737019

2

若用泊松分布求《的近似值，即=100x0.05=5则有

5°5152

a^l-—e-5--e-5~—e-5=\-\S.5e-5=1-18.5x0.007«0.87

0!1!2!

2.一实习生用同一台机器接连独立地加工3个同种零件,第i

个零是不合格品的概率(i=l,2,3,),此X表示3个

1+2

零件中合格品的个数，求P{X=2}.

解：令4=“加工的笫冷零件是合格品”。=1,2、3)

I・

由题意,A2,&相互独立》且P(4)=1--—；=y—；(/=1,2,3)

“x=2”=AA2无+4无4

.・.P{X=2}=P(A4A)+P(RA