高考数学双填空题

高考数学双填空题

1.莱昂哈德・欧拉是科学史上一位杰出的数学家.他的研究论著几乎涉及到所有数学分支,

有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形

状的凸多面体，其顶点数K棱数E、而数F之间总满足数量关系V+F-E=2,此式称

为欧拉公式.已知某凸八而体，4个而是三角形，3个面是四边形，1个面是六边形，则

该八面体的棱数为，顶点的个数为.

2.实数4数=04,2,3,4,5）读足:对任意xeH,都有

52a+++++=

（1+A）=%+axx+a2x+%/+a4x"+%*'WJo=»~\^~2~3~t~5^-

3.设直线与三条坐标轴的央角分别为。，△人与三个坐标平面的夹角分别为

则5足2。+$足2』+5访：;/=：COS22+cos2//+cos2V=.

4.设。>0,〃>0,记八=字，G=4^,〃=3与分别为小〃的算术平均数、几

何平均数、调和平均数，古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研

究过标〃时A,G,〃的大小关系，贝ijA,G,〃中最大的为,最小的为.

5.欧拉公式dJcosJ+isir。把自然对数的底数。、虚数单位i、三角函数cos。和sin。联

系在一起，充分体现了数学的和谐美，被兴为“数学中的天桥“，若复数z满足

（，心”+i）-z=i,则z的虚部是,|z|=.

6.设a>0,〃>0,称当为的调和平均数.如图，点C为线段A8上的点，且AC=«,

CB=b,。为A3中点，以AB为直径作半圆.过点。作A4的垂线交半圆于点。.连接OD,

AD,4D过点C作OQ的畦线，垂足为点E.则图中线段O。的长度是〃，方的算术平

均数，线段的长度是“，〃的几何平均数，线段的长度是。，力的调

和平均数.

7.如图所示，分别作正四面体P—48c的平行于四个面的截面，使得P—A8c的四个

面都被截成正六边形，截去4个小四面体后得到的多面体记为G,则四面体P—48C与

多面体G的表面积比为,体积比为.

8.已知函数/(x)=x-sin2Mx>0),则函数/(幻的最小的极值点为：若将

M的极值点从小到大排列形成的数列记为｛6｝,则数列｛%｝的通项公式为.

9.已知正四面体A8CQ的棱长为1,M为棱C。的中点，则二面角的余弦

值为:平面M48截此正四面体的外接球所得截面的面积为

1°.设〃、氏，为非负实数则S=标磊焉+扁扁+扃扁的最

小值为，最大值为.

11.(I)若以NsiiuNAx(As8为常数)对04x4/恒成立，则常数8-4的最小值

为；(2)对任意锐角AABC,均有sin4+sinB+sinC>M成立，则M的最大值为

WZ且怨cZ的元素个数为

12.集合A,所有元素的利

13.设仆)=">0),4".则满足阳二需的'=

，且〃=

14.著名的斐波那契数列｛&｝满足4=%=1，+外，其通项公式为

则4+%+“4+4+…+4«0是斐波那契数列中的第

项：又知高斯函数尸国也称为取整函数，其中国表示不超过x的最大整数,

(1+6

如[1,1]-2,则..(y/5«2.236)

2

15.已知A,B,C,。是半径为4的球面上四点，E,尸分别为AB,CD的中点，AB=46,

CD=2不，则以痔为直径的球的最小表而积为：若A,B,C,。不

共面，则四面体A6CQ的体积的最大值为

16.如图1.四边形"CQ是边长为10的菱形，其对角线AC=12,现将相C沿对角线

AC折起，连接8。，形成如图2的四面体人8。。，则异面直线AC与8。所成角的大小

为.在图2中，设棱AC的中点为M,8。的中点为N,若四面体A8C。的外

接球的球心在四面体的内部，则线段A/N长度的取值范围为.

B

18.在棱长为8的正方体空盒内，有四个半径为〃的小球在盒底四角，分别与正方体底

面处交于某顶点的三个面相切，另有•个半径为尺的大球放在四个小球之上，与四个

小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径〃

的最大值为:大球三径火的最小值为.

19.己知数列｛q｝满足q=1,=3〃+5,〃wN'，则⑴。加|=，

⑵-

20.己知函数/(X)=9372+X,则:⑴曲线,，=/(/)的斜率为I的切线方程为

⑵设产(x)=|f(x)-(*+a)|(aGR),记F(x)在区间［-Z4］上的最大值为M(a).当M⑷

最小时，。的值为

参考答案:

1.159

【解析】根据某凸八面体，4个面是三角形，3个面是四边形，1个面是六边形，求得该八

面体的楂数，然后根据顶点数匕棱数£、面数尸之间总满足数量关系求解.

【详解】因为某凸八面体，4个面是三角形，3个面是四边形，1个面是六边形，

则该八面体的极数：4X3+；X4+6=]5：

因为顶点数K棱数反面数厂之间总满足数量关系V+"-E=2,

设顶点的个数为x，则x+8=l5+2,

解得x=9

故答案为：15,9

9121

•2

【分析】由二项展开式可直接求出各项的系数，即可求出q(i=O,1,2,3,4,5),进而可求出结

果.

【详解】由二项展开式可得

(1+X)5=C^+C；X+C；X2+CJ/+Q,X4+CJX5=1+5X+10A-2+10A3+5/+X5,

所以4=1,4=5,=10,=10,=5，6=1,

故&+巴+诊+生+且+%=i+3+W+W+9+_L=Zl.

123456234562

21

故答案为(1).1(2).—

【点睛】本题主要考查二项式定理，由二项展开式可求出每一项的系数，进而可求出结果,

属于基础题型.

3.22

【分析】利用补体法结合线线角、线面角的定义可求三角函数式的值.

答案第1页，共14页

设直线上两点为A,B,以三条坐标轴方向为三维方向，八8为体对角线构造的长方体,

设长方体的同一个顶点出发的三条棱长分别为小b,c,则

(672+/>2)+(/>24-C2)4-(C24-r?2)

sin^+sin^+sin2/=2,

而cos2A+cos2f.i+cos2u=sin?a+sin»+sin2/=2.

故答案为：2,2.

4.A”

【分析】利用作差比较法和配方法，判断A-G〉0与G-H>0即可得答案.

【详解】解：因为a>0,b>0,a'b,

所以4.G=而I©-2疝石+（研=（G町>o,

222

G.〃=而_*=而①7版）;版（G时>0

a+ba-\-ba+b

所以4>G,G>H,

所以4>G>〃，

所以A,G,”中最大的为A,最小的为〃.

故答案为：A：H.

51V2

22

【分析】结合欧拉公式、复数除法运算求得z,从而求得z的虚部以及|z|.

答案第2页，共14页

【详解】由d0=8s6+isin6,e2O23iff=cos2023n+isin2023;i=-1>

故z的虚部是-g,|z|=£+；=h.

故答案为：-(；42

22

6.CDDE

【分析】在直角三角形中，由。C为高，根据射影定理可得CZy=AC,C8,变形两边开方，

得到C。长度为〃，〃的几何平均数：根据。，力与0C之间的美系，表示出OC的长度，根

据直角三角形OCE和直角三角形CDE之间边的关系得到CE的长，得到0E进而EO,得到

结果.

【详解】解：在RtAADB中DC为高，则由射影定理可得CD=/ICQ，

:.CD=g即。。长度为“，人的几何平均数，

将OC=a-"虫=上土CD=^,OD="^代入OD・CE=OCCD

可得=

a+h

故OE=JOC、CE2=^Z^，

2(a+b)

,-.ED=OD-OE=-^-,

a+b

二.QE的长度为〃，〃的调和平均数.

故答案为：CD；DE.

【点睛】本题是一个新定义问题，解题过程中主要应用直角三角形边之间的比例关系，得到

比例式，本题是一个平面几何与代数中的平均数结合的问题，是一个综合题.

7.9:727:23

【详解】设截去的4个小四面体的表面积为4R,体积为匕，

则正三棱锥P-人BC的表而枳为365；,体枳为27匕，

多面体G的表面积为：36S,-3x4S,+4S,=285,,体积为27匕-4匕=23丫，

故四面体〃一A8C与多面体G的表面积比为36:28=9:7,体积比为27:23.

故答案为：9:7,27:23.

答案第3页，共14页

3〃一1_.

-------n、n=2k

&61^GN,

a

8,.=3〃-2

-i--------^,n=2k-l

6

【分析】求导令/(X)=l—2cos2x=0(x>0)得cos2x=g,得最小极值点，对〃分奇偶讨论

得极值点

【详解】:/⑶二…询"。"。.)*?。。，？.1*〉。)

令f(A)=i-2cos2x=0(x>0)贝ijcos2x=g

则fM的最小的极值点为2x=g/..v=£

36

/(x)的极值点分情况讨论，

53x2-1II3x4-13n-\

当〃=2匕MwN,时,-£=---------71,G.=-7T=----------冗,-------71

66666

3x3-23〃-2

当〃=24-1,kEN*lt'f,=-7r==-7T=

666

3〃T。[

----乃,〃=2k

则数列m”｝的通项公式为,6

3〃_2r].

-----乃,〃二2k一1

6

3〃一1

----几，n=2k

6

故答案为X=g；<AwN'

63〃-2,,,

----冗、n=2k—1

6

【点睛】本题考查函数的导数与极值，考查分类讨论思想，考查三角函数的性质，准确计算

是关键，是基础题

Q瓜3兀

V.-----

38

【分析】由于AMAB和“Q4A都为等腰三角形，则取48中点V,连接MN、DN,则二面角

M-至-。的平面角为NMNC，在.MNC中求解即可：由图可得，正四面体的外接球与正

方体的外接球相同，旦球心为线段中点，求得球半径进而可得球的大圆面积.

【详解】将正四面体A8CQ放入正方体中，如图所示

答案第4页，共14页

正四面体ABCD的棱长为1,则正方体的棱长为迎，取A8中点N,连接MN、DN,则二

2

面角M—A8—。的平面角为NMNC,且MNC为Ri

,_-―;也

NC=\IMN'+MC2=$也］+（"=—-••.cos/MNC=^=^=乎；

火2J⑶2NC@3

2

由图可得，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，且球心为线段MN中点，设球半径为

R'则2&=传|+停|+仔）等

平而M43截此正四面体的外接球所得截而的

而枳为产宠2=乃（手）=1乃

故答案为:写y

【点睛】本题考查定义法解决两个平面所成的角问题，考查正四面体的外接球，考查学生空

间想象能力，属于中档题.

10.1-

2

【详解】令/-=/,/-=

b+cc+cia+b

设a+0+c=l.

.....u2,v2w2u2v2w2.

则a=------,b-------7,c=------=>------+-----7+------=1

l+〃-1+V1+M广l+〃-1+V\+W~

=>（MV）"+（nv）~+（M7/）~+2（MV）（m）（M,M）=I.

令uv=cosC,vw=cos/kwu=ccsB,令

ZA+N3+NC=4,

NA、NB、ZCE0.-.

.2.

,,c▲n-cA+8A—8—

故S=cos4+cos/J+cosc=2cos-------cos-------+cosC

22

答案第5页，共14页

£

<2sin£+coSC=-2f--l+34

2I222

当且仅当。=〃=c时，上式等号成立.

类似地，cosA+cosfi+cosC=2sin--cos----+cosC

22

,..C(.A.Bg

=l+4sin—sin--sin—21.

2(22)

当a=0时，上式等号成立.

9

II.1-2

冗

▼/,、人sinx.,J、，xcosj-sinx

【详解】(1)令'=——(o<x<-).-.y=-----------

x2x'

令〃=xcosx-sinx,(0<x<—)/.u'=-xsinx<0

.兀

sin—2

因此〃<«(0)=0,yf(0.\y)—^=-,y<y(0)

2

♦.XTO,^^->I:.8=I,A=2,8-A=1-2；

xitn

(2)-

222

则sinA>sin2A,sinA>cos>0,sinB>sin28,sinB>cosA>0.

所以

sinA+sin8+sinC=sinA+sin〃+sin(A+3)=sinA+sin3+sinAcos+cosAsinB

>sin2A+sin23+cos'A+cos2B=2,M的最大值为2.

12.48240

【详解】因为600=2隈3、52,所以，600的正约数有(3+1)(1+。(2+1)=24个.

从而，集合A中共有2x24=48个元素.

考虑600的两个相反约数所对应的A中元素之和为10,故A中元素之和为24x10=240.

⑶J=eR-«-^^x=-ea-c^

①

【详解】由已知有，

a'hKi=2x②

由式①ilxwO.

答案第6页，共14页

2

把式QK入式建工凸n〃=2x,即x=「.③

式③弋入式幽寂=岛）二

_!_7

故。小0=±——.

Ina

_Lo122

（1）若〃"两边取自然对数有--xlna=ln六.解得〃_小・

InaInaln〃w-c

J_o2

（2）若同理解得；代入式⑥匕”土e.

\na"e

14.101842

【分析】根据斐波那契数列的定义，化简得％+/+4+4+…+Koo=6+/-4+"⑼=”⑼，

［详解］%+4+a4+4+.-+400=4+/+（“2+%）+（4+“5）++（«9S+«99）

=%+%+（%—%）+（«5-4）+（4一%）+（《-处）++（6（）0一）+（«|01-a⑼）

=a,+a2-a3+a,（„=au）,f

贝1]4+生+/+6+…+4o（）是斐波那契数列中的第101项;

列出斐波那契数列，有1,1斐,3.5,8,13,…4,

可得。7=13,由q=七|

,取〃=7,

2,

5—管）“+（啕

答案第7页，共14页

故答案为：①答1：②842.

15.1速I

3

【分析】①利用圆的垂径定理，可求得OE,OF,再利用三角形三边关系定理可求得EF的

取值范围，即可求得以E尸为直径的球的最小表面积②过C作CM4A氏CM=46,连接

AM,DM,四边形A8CM为平行四边形，则匕由=%“•=%皿=匕皿”=京3力，求

得S,.和人的最大值即可求解

【详解】设球心为O，，。4;彼二叱二8二%

分别取人注C。中点E,尸知。石="一仅@2=2,OF="SY=3

OF-OE<EF<OE+OF^>\<EF<5,

，以EF为直径的球的最小表面积为4江•?=乃

4

过。作CM〃4仇CM=4X/5,连接四边形ABCM为平行四边形，

C

设/DCM=O,设A到平面QCM距离为力

VABCD=VD-ABC=VD-ACM=VA-DCMM1X|X473X2x/7Sm6>'//

JJ4

Vsin6><1,"也为E到平面C/W的距离，h<EF<OE+OF=5

答案第8页，共14页

(匕8CD)z=gxgx4Gx2"X5=22^2L

故答案为：不；型也I.

3

16.(V14,8)

【分析】连接BM、DM,利用线面垂直的判定定理可求异面直线AC与8。所成角的大小;

先根据外接球的性质确定出四面体A8C。的外接球球心，利用勾股定理，求出M4和BM,

进而求出QM,借助三角函数的取值范围以及OMVMN,即可求出线段长度的取值范

围.

【详解】连接8M、DM,四边形A3c。是菱形，M为棱AC的中点，

所以AC_L8M,AC_LOM,

又8Mc/W=M,则AC1立面BM/),

由8£>u平面HMD,

则ACJ.HD,即异面直线AC与13D所成角的大小为J.

由四边形ABCD是边长为10的菱形，其对角线人。=12,

则M4=6,MB=8,

Oi是HBC的外心,在中线BM上，

设过点Oi的直线4,平面A4C,易知《u平面8MD,

同理。?是-4CQ的外心，在中线QM上，

设过点。2的直线平面AOC,易知gu平面BMD,

由对称性易知6、4的交点O在直线MN上，

根据外接球的性质，点O为四面体ABCD的外接球的球心,

答案第9页，共14页

222

()[A=C\M+MA+OtM=BM=8,

7

二.(8-0附尸=。加2+36,解得

4

令4BMN=0,根据题意可知8O_LCN,BQ_LAN,且CNcAN=N,

则4£>工平面八CMMNu平面ACM则BO_LMN,

7T

所以0<。<一，MN=BMcose=8cos6<8,

2

△MNO、M

'：cos"=——,

BMOM

7

:.OMMN=O、MRM=-x8=14,

4

又()M<MN,;.MN2>14、;.MN>A,

/.A<MN<8,即线段MN长度的取值范围为(4f,8),

故答案为：I；(x/14,8)

【点睛】本题考查J'平面图形的翻折、多曲体与球体的外接问题，考查了考生的逻辑推理能

力和数学计算能力，属于难题.

17.2及2加

【解析】分类讨论，结合均值不等式，注意取等验证是否满足即可.

|72LL

【详解】(I)若XN一，二之丁时，即1£9工2时，A=x+->2y!2,当％=&,)，=1时可取等

yxx

号，

12LL

若时，即.9>2时，A=x+y^.2yjxy>2V2,

122

若一>x,一>y时，即0<xv<l时，由0<xv<l知一>2,

>'x町’

所以人=工+222」2>2夜,

yx\xy

综上可知A的最小值为2拒：

(2)当时，B>x+-+z>-+z>245,当z=^.x=亚.)，=也时可取等号：

xzz55

当zW之时，/?^x+-+-^x--+—=—+-^275,当z=^.x=侦，y=也时可取等

xxzx33x55

号;

答案第10页，共14页

综上所述，8226，z=6,x=¥，y=半时可取等号：

故答案为：2应，2石.

【点俯】本题考查代数式的最值求法，考涉及均值不等式及分类讨论思想，属于中档题.

18.2-

2

【解析】因为翻转盒子五球相切不松动，可知底面四个小球均相切，则可得，•的最大值；根

据对称性可知大球球心o与四个小球球心a，o?,o,,a构成一个正四段锥，结合几何

关系即可确定大球半径的最小值.

【详解】当正方体盒内四个小球中相邻小球均相切时，小球半径「最大，大球半径R最小.

由正方体的棱长为8,可得〃的最大值为2,下面分析/*=2时A的取值.

由对称性知，大球球心。与四个小球球心。…02,。一构成•个正四楂锥，如下图所

贝ljOOi=R+r=R+2,0102=2r=4.

乂由正方体盒知，正四棱锥。-。o/A。,的高0,(其中，为正四棱锥底面正方形中心)长

为8T-R=6-R,

故在直角三角形中，O*HO；=OO3

即(6-R)2+(2@=(R+2＞，

解得R=|，

即大球半径的最小值为

故答案为：2,j

【点睛】本题考查了正方体中与球相关的切接问翘，空间几何体的结构特征要理解清楚，对

答案第11页，共14页

空间想象能力要求较高，属于难题.

9/33〃

19.3〃一2.

~2r

【解析】(1)将已知等式中的〃换为n-l,作差即求得;

(2)将所求式子，整理后，运用等差数列的定义和求和公式，计算可得所求和.

【详解】解：(1)6=1,an-an^=3w+5©,

当zi=l时,4=7

可得《I+《,=3〃+2,〃..2②，

①一②得《+1=3,”..2；

••・Ba｝为以4印为首项，d=3的等差数列,

%=3〃-2

(2)ata2-a2ay+ayaA-«4a5+...a2n_,a2n-a2na2n^

=a式5-aj+«4(«3-4)+...+a2n(a2n.,--J=(-3)(%+%+…+弓”)

由(1)得｛,”｝为公差为3的等差数列,又由4+出=8可得4=7,

-1)9/:2+33〃

则aa-%%+aq-…+七日％-^,i=(-3X7〃+------