高考数学总复习《椭圆》专项测试卷有答案

高考数学总复习《椭圆》专项测试卷有答案

学校:迸级：姓名：考号：

一、单项选择题

1.已知椭圆方+券=1的右焦点为F,P是椭圆上一点，A（0,2小），当△AP尸的周长最大时，直线AP

的方程为（)

*x+2小B.3,=坐X+2小

A.

C.y=-G+2小D.尸小工+2小

直线厂履+1与焦点在X轴上的椭网^+3=1总有公共点，则实数机的取值范围是（

2.

A.B.9</??<10

C.l<w<9D.l<w<9

3.（2024.山西汾阳模拟）已知点用是椭圆C：f+r=l的焦点，点M在椭网C上且满足|加1+㈤-2

1=2小，则△MFE的面积为（）

A.坐

o•2

C.2D.1

92

4.过椭圆C:5+方=13力＞0）的右焦点/的直线l:x-y-^=0交C于A,B两点，P为AB的中点,

且。尸的斜率为一；，则椭圆C的方程为（）

9

A

B.T=

C.7+^=1D.7+^=

5.已知Q,尸2是椭圆G:至+£=1的左、右焦点，过R作直线/交G于A,8两点，若|AB|=5则

的面积为（）

&2448

A-TB.T

16如

5

6.过椭圆内定点M且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M的“好弦”.在椭圆卷吒=1中，过点M（4小,

0）的所有“好弦”的长度之和为（）

A.120B.130

第1页共12页

C.240D.260

7.椭圆=1上的点到直线x+2y-镜=0的最大距禽是（)

A.3B.

C.2^2D.也

一、多项选择题

8.（2024.广东广州执信中学模拟）已知椭网C：/+7=1（〃乂＞0）的左、右焦点为3,O为坐标原点,

直线尸X一小过匕交。于4B两点，若△”山的周长为8,则（）

A.椭圆的焦距为小

B.椭圆的方程为%产=1

Q

C.弦长用阴=5

D.s△…子

9.已知P是椭圆E:5+5=1（〃》（））上任意一点，M,N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线

PM,PN的斜率分别为由，心仪必和），若肉i+肉的最小值为1,则下列结论正确的是（）

2

A.椭圆石的方程为，+）2=1

B.椭圆E的离心率为:

C.曲线），=1。跄1一£经过E的一个焦点

D.直线21一），-2=0与E有两个公共点

三、填空题与解答题

22

10.已知椭圆C»1与圆M：f+V+2啦x+2-Ovxg）,过椭圆。的上顶点尸作圆M

的两条切线分别与椭圆。相交于4,B两点（不同于。点），则直线PA与直线PB的斜率之积等于.

1x2y2

11.已知斜率为一耳且不经过坐标原点。的直线与椭圆$+7=1相交于4,8两点，M为线段46的中

点,则直线。”的斜率为

,2

12.已知小是椭圆c：=1的左焦点，过少作直线/交椭圆c于A,B两点,则|A〃+4|BF|的最小

值为________

第2页共12页

13.已知椭圆C：/f+京V"=1(。9>0)的离心率为A/3^短轴长为2.

(1)求椭网C的标准方程；

3

(2)过点P(l。)的直线/与椭圆C交于A,B两点，若△AB。的面积为£。为坐标原点)，求直线/的方程.

14.已知椭圆C：5+g=l(“M>°)的焦距为2弧且过点人(2.1).

(1)求椭圆。的方程；

(2)若不经过点人的直线/:y=kx+m与椭圆C交于P,Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0,

证明：直线。Q的斜率为定值.

高分推荐题

15.(2024.江苏南通模拟)某城市决定在夹角为30。的两条道路石&E尸之间建造一个半椭圆形状的主题

公园，如图所示，A6=2千米，。为AB的中点,为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角

形游乐区域OMN,其中历，N在椭圆上，且MN的帧斜角为45。，交0。于G.

(1)若0E=3千米，为了不破坏道路EF,求椭圆长半轴长的最大值;

(2)若椭圆的高心率为十，当线段0G的长为何值时，游乐区域△OMN的面积最大?

解析版

一、单项选择题

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1.已知椭圆5+5=1的右焦点为匕P是椭圆上一点，40.2小），当AAPF的周长最大时，直线AP

的方程为（）

A.y=一半工+2小B.尸坐工+2小

JJ

C.y=—小x+2小D.y=y[3x+2y[?>

解析:F（2,0）,设左焦点为Fi（—2,0）,・・・/\"/的周长。=|4月+|附+|尸修乂仍回=2〃一曰杆=6一|尸川，

\AF\=\l22+2V?=4,♦・.c=10+|网一|尸川.・・,|明—|PF旧14Hl=4,・•・当点P,A,R三点共线,且R

在线段以上时，I用一IPBI取到最大值4,周长最大，此时直线AP：），=小工+2小.

答案：D

29

2.直线），=履+1与焦点在x轴上的椭圆5+^=1总有公共点，则实数〃?的取值范围是（）

B.9<〃?<10

C.l<rn<9D.1<〃?<9

解析：直线丁=依+1恒过定点P（0J）.由焦点在x轴上的椭圆]+5=1,可得0<小<9①.由直线），=心;

+1与焦点在工轴上的椭圆5+5=1总有公共点，可得尸在椭圆上或椭圆内，即有名+亲I,解得力多②，

由①②可得13〃<9.故选C.

答案：C

3.（2024•山西汾阳模拟）已知点B,F?是椭圆Cf+>'2=1的焦点，点M在椭圆。上且满足用尢+破

|=25，则的面积为（）

A.坐BT

C.2D.1

解析：|加i+而力|=2|/历|=2小，

所以|尿）|=小=0,所以MQ_LMF2.

|MFI|2+|MF|2=4C2=12,

由<2

川+|MF2l=2a=4,

解得IMQIM同=2,

第4页共12页

所以△MRB的面积S=；|MA||MBI=L

答案：D

o2

4.过椭圆C：5+白=1（。>/»0）的右焦点厂的直线/：x-y—布=0交。于A,3两点，尸为A3的中点,

且OP的斜率为弓则椭圆C的方程为（）

A.专+：=1B.ff=l

»+J

X2V2

C.卷+9=1D.§+7=1

解析：直线/：尸），一小=0中，令尸0,可得户小，所以右焦点尸（小，0）,设yi）,8（x2,”）,

/..，+,、p->-^3=0,

则A8的中点上，-2,联立仁2/消去x并整理得他2+及））7+2小扇），+3力2—/扇=（）,

'22，I,

所以6+》=一；£%,即+X2=）：1+>2+2小=:,所以、3=；；：=_*=_/，所以/=2〃，又〃2

=*+c2,d=3,所以/=6,从=3,所以椭圆C的方程为^■+]=1.故选A.

答案：A

5.已知Q,B是椭圆G：生+£=1的左、右焦点，过人作直线/交G于A,3两点，若忸阴=苇则

丛F?AB的面积为（）

2448

A,5B5

当164

•5Lx•5

v224

解析：由G:¥+3=|知,=52-42=32,所以小一3,0）,把汇=-3代入椭圆方程可得），2=不4，故y

=±y,又|AB|=竽，所以A8_Lx轴，则训x2c=；x*6=?故选C.

答案：C

6.过椭圆内定点M且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M的“好弦”.在椭圆卷+£=1中，过点M4山，

0）的所有“好弦”的长度之和为（）

A.120B.130

C.240D.260

解析：由已知可得。=8,b=4,所以c=4小，故M为椭圆的右焦点.由椭圆的性质可得当过焦点的

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弦垂直于X轴时弦长最短，所以当X=4小时，最短的弦长为亍=二§一=4,当弦与X轴重合时，弦长最K

为2a=16,则弦长的取值范围为［4,16］,故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，则“好弦”的长度之和为4

4-16+(5+64-7+...+15)x2=240.

答案：C

7.椭圆=1上的点到直线x+2y-g=0的最大距离是（)

A.3B.

C.2啦D.皿

解析：设椭圆,+彳=1上的点为P（4cos0,2sin。），

则点P到直线工+2），一小=0的距禽为

14cos夕+4sin。一6|

d=

木

4仔1］（呜）一也

=,

小

.1-4小一赤|L

所以dnux==

小

答案：D

二、多项选择题

8.（2024•广东广州执信中学模拟）已知椭圆。:$+卓=13">0）的左、右焦点为A,。为坐标原点,

直线.y=x一小过B交C于4B两点，若△4F4的周长为8,贝女）

A.椭圆的焦距为73

、

B.椭圆的方程为］+产=1

Q

C.弦长|A8|=m

4乖

D.、dOAB=5

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解析：因为△从「出的周长为8,所以4〃=8,得。=2,因为直线），=x一小过右焦点尸2,所以。=小，

1

所以椭圆的焦距为2小,故A错误；^2=a2-c2=4-3=l,所以椭圆的方程为£+./=1,故B正确；设

仔+J，

A(x\,ji),B(X2,闻，由j得5『一8,73x4-8=0,4=(一8小)?一4x5x8=32>0,得xi+.c

ly=x-小，

8S8i

XIX2=5，\AB\=y[x]-xi1-l-y\—yr=yj2x\—X21=^/2[xH-xr—4XIX2]=

5

,,故C正确；原点到直线y=x-小的距离为d=----所以S^OAB=\AB\=1x-=2,

小

故D错误.故选BC.

答案：BC

?9

r.r

9.已知P是椭圆E：4十"7=1（，心0）上任意一点，用，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，口直线

PM,PN的斜率分别为心，22（攵氏和），若肉|+网的最小值为1,则下列结论正确的是（）

:、

A.椭圆石的方程为£+产=1

B.椭网E的离心率为:

C.曲线丁=10鸵一；经过E的一个焦点

D.宜线2x-v-2=0与E有两个公共点

，，2J2

解析：设P（M,泗），解即,yi）,x（#±xi,）话叨，则析（一处,-yi）,平+*1，所以丁="

一竽,〉*="L苧，心心=：_；：：：；=；；_；：=一竽于是的I+网N2yl\k\\-\k2\=2ViWd=2^-J=诉,

2A

依题意，得而L1,解得机=1,故椭圆石的方程为5+）2=1,A正确；虚心率为竽，B错误；焦点坐标为

（4，0）,曲线），=1。且由一3经过焦点（小，0）,C正确；又直线僦一＞一2=0过点（1,0）,且点（I。）在石内，

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故直线2工一），-2=0与E有两个公共点，D正确.故选ACD.

答案：ACD

三、填空题与解答题

10.已知椭圆C:与圆M：«+），2+2@+2-/=0（0<7<6）,过椭圆。的上顶点。作圆M

的两条切线分别与椭圆C相交于4,B两点（不同于P点），则直线PA与直线PB的斜率之积等于.

解析：由题意，可得圆心为的一啦，0）,尸（0,V2）.

设切线方程为），=履+，1

、l-g+R,,,

由点到直线的距离公式，得仁/:=倍化简得（2一/*一以+（2—产）=0,则a

y/1+K

答案：1

1F

H.已知斜率为一^且不经过坐标原点。的直线与椭圆于+7=1相交于A，B两点,M为线段48的中

点，则直线OM的斜率为.

&\彳X\AX\~X?X\+12

解析：方法一：设A（xi,），i）,8（X2,»）,M（xo,yo）,则甘+了=1,甘+弓=1,两式相减，得Q

¥1-V2V17xi4-X2VI-y2.|V|-V2|7xi+X2|

+：—f—-=0,即「—=一:"一一因为直线48的斜率为一彳，所以:"一一=一彳，所以「―=匕即

/9yi4-V2X|-X2JX|—X2J9y+”3

空:（，又R+,E=2XO,9+许2刈所以用七所以直线0M的斜率为《

X|+X2J，X。JJ

方法二：记直线A8,OM的斜率分别为匕必ZOM由题意，知层=9,后=7,kAR=-1,则心/rh）M=一

77

得

-人-

7/3

75

7

答案一

12.已知尸是椭圆Cf+f=l的左焦点，过户作直线/交椭圆C于4B两点，则IAQ+4IM的最小

值为.

解析:不妨取椭圆C的右焦点为&连接A&BE.（图略）设不用=加，出<=〃,则依月=4一〃?，|BE]=4

（提示：椭圆的定义）且|EQ=2.因为/八尸石与N8尸石互补，所以cosNA尸E+cos/BrE=0,又（4一机产

、、、4+〃——4—"户4+〃?-4一〃2

2

=4+"F_4MCOSNA打乙（4-n）=4+M2-4ncosZBFE,（提示：余弦定理）所以----赤------+-----石-----

=。,得%在%所以H*+4|8/i+4〃=孤+4〃）《+9=的+4+号+彳4+2^^=%当

9Q

且仅当机=2〃，即〃=》用=1时取等号.

答案:¥

第8页共12页

fV"A/3

13.已知椭圆C：/+京=1(。9>0)的离心率为一步，短轴长为2.

(1)求椭圆C的标准方程；

3

(2)过点P(l,0)的直线/与椭圆C交于A,B两点，若△AB。的面积为£。为坐标原点)，求直线/的方程.

£__巫

~2，

解：(1)由题意，得«a解得。2=4,"=1.

2b=2,

一护，

故椭圆C的标准方程为1+.y2=l.

(2)由题意，知直线/的斜率不为0,设直线/的方程为X=，叮+1,A(X1,Ji),B(X2,”).

x=my+1,

联立，消去x并整理，得病+4产+2叫一3=0,

4+旷=1，

A=(2/n)2-4(/n2+4)x(-3)=16〃尸4-48>0,

I2〃？3

则EI)仇=一百,

故1川一)空1=-4yly2

一1(124立1+3

"/+4)+/+4=病+4»

3I14\1病+32\lffi24-33

因为△A8。的面积为予所以引OP||)Ly2|=]Xlx4=。+4=彳

3

小

贝=*-

*尸2/-5

4-1

整理，得⑶-1)(—3)=0,

解得，=3或[=/舍去)，即”?=土#.

故直线/的方程为x=±Ry+1,即在1=0.

72

14.已知椭圆C:，+方=1(。20)的焦距为2加，且过点A(2,l).

(1)求椭圆。的方程；

(2)若不经过点A的直线/:y=k.x+m与椭圆C交于P,Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0,

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证明：直线PQ的斜率为定值.

(DM：因为椭圆。的焦距为2瓜且过点42J),

4IL

所以东+京=l,2c=2班.

又因为，=庐+。2,由以上三式解得片=8,白=2,

d2

所以椭网C的方程为女+5=1.

(2)证明:设点P(xi,Ji),Q*2,”),箝虫先，则力=如+加,y2=kx2+m.

y=kx-^-m9

由A2y2消去)，并整理，得

2=1，

(41c+l)x2+Skni,x+4/M2-8=0,

—8km4加一8

则由+”2=诉7,他2=/订

V|—1Y2-1

因为依p+必Q=O,所以：~；+：­7=0,

X\—2M，

化简得X|)?24-X2J1—(X|4-X2)—2(yi+y2)+4=0.

即2kx\X2+(m—1—2k)(x\d-X2)—4zzz4-4=0.

2k4nr—8Skmin—1—2K

所以4.+1—4〃?+4=o,

整理得(2&-1)一+2々-1)=0.

因为直线/不经过点A,

所以2&+〃?-1*0,所以仁;.

所以直线PQ的斜率为定值.

高分推荐题

15.(2024•江苏南通模拟)某城市决定在夹角为30。的两条道路EB,无产之间建造一个半椭圆形状的主题

公园，如图所示，4B=2千米，。为A8的中点，0