高考物理计算题专项突破专题21之17 热学中的液柱问题（解析版）

专题17热学中的液柱问题

必备公式©

①热力学温度与摄氏温度的关系：7=，+273.15K：

②玻意耳定律：=（g是常量）或〃M=鼻匕

VvnT

③盖一吕萨克定律：V=C,TIC2是常量）；或工=为■或且=%；

Z%〃24

④查理定律：p=c?（g是常量）：或且=■■或且=宜

1，〃2-

⑤理想气体状态方程：£丛=£出或"E=C：

T{T2T

⑥热力学第一定律：AU=Q+W；

卜题思路分析❽

在解决热力学中的液柱问题时，首先要确定研究对象：力学研究对象一般为：液柱、玻璃管

等：热学研究对象：一定质量的理想气体。

其次要分别对力学研究对象和热学研究对象进行分析：

①对力学研究对象，要先进行受力分析，再依据力学规律列出方程，求出气体压强：

②针对热力学研究对象，确定初、末状态及状态变化过程。

第三要根据题日和分析结果以及根据液柱长度与玻璃管长度、♦柱长度的关系等列出相关辅

助方程。或依据气体实验定律或理想气体状态方程列式求解。

卜题技巧与方法

1.液片法解决压强问题：选取假想的液体薄片（自身重力不计）为研究对象，分析液片两侧

的受力情况，建立平衡方程，消去面积，得到液片两侧压强相等的方程，求得气体的压强。

2.力平衡法解决压强问题：选取与气体接触的液柱（或活塞）为研究对象进行受力分析，得

到液柱（或活塞）的受力平衡方程，求得气体的压强。如图甲所示，活塞处于平衡状态，则

p°S+〃7g=pS；如图乙所示，液柱处于平衡状态，则pS+nig=PoS。

3.等压面法解决压强问题：连通器内静止的同一种液体（中间不间断）在同一水平面上各处

压强相等。如图丙所示，U形管竖直放置，图中虚线高度处有=

［典例分析.

典例1：（2022•广东•高考真题）玻璃瓶可作为测量水深的简易装置。如图所示，潜水员在水

而上将80mL水装入容积为380mL的玻璃瓶中，拧紧瓶盖后带入水底，倒置瓶身，打开瓶盖，

让水进入瓶中，稳定后测得瓶内水的体积为230mL,将瓶内气体视为理想气体，全程气体

不泄漏旦温度不变。大气压强4取l.Oxl（）5pa,重力加速度gJRlOm/J,水的密度〃取

3

1.0xl0'kg/mo求水底的压强〃和水的深度儿

【答案】p=2.0xl05Pa,10m

【规范答题】对瓶中所封的气体，由玻意耳定律可知

=Pv

即

1.0xl05x(38()-80)=〃x(380-230)

解得

p=2.0xl05Pa

根据

P=Po+Pgh

解得

h=\0m

典例2,（2021•全国•高考真题）如图，一玻璃装置放在水平桌面上，竖直玻璃管A.B.C

粗细均匀，A、B两管的上端出■闭，C管上端开口，三管的下端在同一水平面内且相互连通。

A、B两管的长度分别为4=13.5cm,4=32cm。将水银从C管缓慢注入，直至B、C两管

内水银柱的高度差力=5cn】。已知外界大气压为％=75cmHg。求A、B两管内水银柱的高度

差。

【答案】从=lcm

【规范答题】对8管中的气体，水银还未上升产生高度差时，初态为压强Pi8=P0,体积为

VI8=/25,木态压强为〃2,设小银柱离下端同,水平面的高度为4,体积为匕8=（/2-生）5，

由水银柱的平衡条件有

P2B=Po+pgh

4管气体发生等温压缩，有

PIMB=P2Ms

联立解得

h2=2cm

对A管中的气体，初态为压强〃M=〃O,体枳为匕八=2,木态压强为〃2A，设水银柱离下端

同一水平面的高度为九，则气体体积为匕八=（4-4）s,由水银柱的平衡条件有

P1A=Po+PgS+A-hJ

A管气体发生等温压缩，有

PlAVlA=〃2匕

联立可得

2*-1914+189=0

解得

1QQ

%=1加或/4=亏5>/］（舍去）

则两水银柱的高度差为

hh=k_%=1cm

典例3：（2021•广东•高考真题）为方便抽取密封药瓶里的药液，护士一般先用注射器注入少

量气体到药瓶里后再抽取药液,如图所示,某种药瓶的容积为0.9mL,内装有0.5mL的药液，

瓶内气体压强为LOxlO'Pa,护士把注射器内横截面积为0.3cm?、长度为0.4cm、压强为

LOxIO+a的气体注入药瓶，若瓶内外温度相同且保持不变，气体视为理想气体，求此时药

瓶内气体的压强。

A

旦

【答案】1.3x103Pa

【规范答题】以注入后的所有气体为研究对象，由题意可知瓶内气体发生等温变化，设瓶内

气体体积为匕，有

V,=0.9mL-0.5mL=0.4mL=0.4cm,

注射器内气体体积为上，有

V,=0.3x0.4cm-=0.12cm3

根据理想气体状态方程有

为（乂+匕）=噌

代入数据解得

p,=I.3x!O5Pa

眄关训练

1.（2022•新疆,博乐市岛级中学（华中加大一附中博乐分校）模拟预测）如图，一个粗细均

匀、导热良好的U形细玻璃管竖直放置，A端封闭，。端开口。玻璃管内通过水银柱封闭。、

〃两段气体，。气体下端浮有一层体积、质量均可忽略的隔热层，各段长度如图。已知大气

压强％=75cmHg,环境温度为17P。取7=f+273K。

（1）通过加热器对，，气体缓慢加热，使其温度升高到19「C时玻璃管内剩余水银柱的总长度

为多少？

（2）保持人气体温度191七不变，以8。为轴将玻璃管缓慢旋转90。至U形管躺平且不漏气，

则玻璃管内剩余水银柱的总长度为多少？

【答案】（1）51cm；（2）42.7cm

【规范答题】（1）假设〃气体膨胀过程中未到达。，膨胀过程中水银不断从。口流出但水

银柱高度不变，气体〃的压强不变，〃气体体积不变，5做等压膨胀，对〃气体由盖・吕萨克

定律

匕占

ZT2

得

1012

273+17-273+191

解得

/,=16cm

故。气体的长度变为16cm,而因为〃的气压没有改变，所以a的气压也不变，即。的体积

不会发生变化，所以人只会向右移动，故

16cm—10cm=6cm<11cm

故假设成立，玻璃管内剩余水银柱的总长度为：

/2=IOcm+1Icm+（l1-6）cm+25cm=51cm

（2）以8C为轴将玻璃管旋转到水平状态，。、人两部分气体均做等温变化，且压强均变为

75cmHg,a气体初状态的压张

pa=0TOcmHg=90cmHg

根据玻意耳定律

=PR，PL75cmHg

得

la=18cm

对人气体，初状态的压强为

pa=%+25cmHg=KXkmHg

根据玻意耳定律有

P/=PM

得

64

=—cm

b3

则剩余水银柱的长度

/余=（25x2+11+10+11-18一竽卜m=^^cm=42.7cm

2.（2022・安徽•定远县育才学校模拟预测）水火箭又称气压式喷水火箭、水推进火箭，是一

个利用气压作用设计的玩具。在学校科技节上，科技小组同学用容积为2.0L的可乐瓶制作

了一支水火箭，箭身及其配型总质量M=O.lkg。现向瓶中装入。.5L的水后用带气嘴的橡胶

塞塞紧瓶口，将火箭竖直放置，火箭内气体的压强为latm,如图所示。用打气筒向里打气，

己知打气筒每打一次气能把体积为0.5L、压强为lalm的空气压入瓶内，当瓶内空气压强达

到5alm时橡胶塞脱落，水流高速喷出，火箭向上飞起。

（1）水喷出后瞬间，箭体内气体的温度升高还是降低，简要说明理由：

（2）设打气过程气体温度保持不变，求需打气的次数.

【答案】⑴降低；（2）12

【规范答题】（I）水喷出后瞬间，箭体内气体对外做功，内能减小，温度降低。

（2）火箭内气体体枳为

=2L-（）.5L=1.5L

设p（f=1atmb',打入气体后，总体枳V/,则

Vi=V+Vo

打入气体后体积

V2=V()

压强

/；2=5atm

根据

PoVi=PNi

解得

V=6L

需打气的次数

0.5L

3.(2022・广东•模拟预测)如图所示，在一端封闭的U形管中用水银柱封闭一段空气柱，当

温度为27C时被封空气柱长度为L=13cm,且左侧管中水银柱比右侧管中水银柱高/?=3cm,

已知大气压强加=75cmHg。为使右侧管中水银柱比左侧管中水银柱高力=3cm,封闭气体温

度应变为多少K?

AT

【答案】400K

【规范答题】设封闭气体初始状态参量分别为RZ、乂，温度变化后状态参量分别为P2、

(、匕。由题意可知，初状态

=75cinHg-3cmHg=72cmHg

K=LS=13S

7；=(273+27)K=300K

末状态

=75cmHg+3cmHg=78cmHg

V2=(L+h)S=\6S

由理想气体状态方程可得

PM_生匕

工7；

代入数据解得

4=400K

4.（2022•四川省内江市第六中学模拟预测）如图所示，一支下端封闭上端开口的粗细均匀

玻璃管竖直放置，管内用长度分别为历=2cm和/Z2=6cm的两段水银柱封闭两部分理想气

体。当温度为17"C时，管内气柱的长度分别为L/=14.5cm和L尸29cm,大气压强p产76cmHg。

（1）当温度升高到27"C时，玻璃管足够长，求稳定后上段气柱的长度。

（2）若温度保持17"C不变，将玻璃管在竖直平面内缓慢旋转60。，要使上段水银柱不溢出，

求稳定后玻璃管至少需要多长？（结果保留两位小数）

瓦2

h22

【答案】（1）15cm：（2）53.14cm

【规范答题】（1）设玻璃管内截面积为S,对于上段气体初态时，气柱长温度

Z=290K,末态时，设气柱长为“，温度（=300K,由等压过程知

至=至

工T2

解得

A/=15cm

（2）对于上段气体初态时,气柱长14.5cm,压强（“0+九）cmHg,末态时，压强（p0+九sin30。）,

由等温变化

=PM

可得

"=14.69cm

同理对于下段气体初态时，气柱长&=29cm,压强〃2=（76+8）cmHg=84cmHg；末态时，

设气柱长为右’，压强〃J=（76+4）cmHg=80cmHg,由等温变化

〃2匕=P2匕

解得

Lz=30.45cm

则检定后玻璃管至少需要

L=14.69+30.45+2+6cm=53.14cm

5.(2022・安徽淮北•二模)如图所示，在一端封闭的U形管中用水银柱封闭一段空气柱，当

温度为27℃时被封空气柱长度为L=13cm,且左侧管中水银柱比右侧管中水银柱高h=3cm,

己知大气压强/?o=75cmHg0

(1)为使右侧管中水银柱比左侧管中水银柱高/?=3cm,封闭与体温度应变为多少K?

(2)若封闭气体的温度重新回到27C,向右侧开口端缓慢注入水银，注入的水银柱长度为

多少时右侧管中水银柱比左侧管中水银柱高3cm?

【答案】(1)400Kt(2)8cm

【规范答题】(I)设封闭气体初始状态参量分别为网、(、匕，温度变化后状态参量分别

为P-T?、V20由题意知

初状态

Pi=75cmHg-BcmHg-72cmHg

V；=L,S=I35

7；=273+27=300(K)

末状态

p2=75cniHg+3cmHg=78cmHg

匕=&S=16S

由理想气体状态方程可得

PM_

(T2

代入数据解得

T2=400K

(2)由题意知注入水银的过程中气体经历等温变化，设注入水银后空气柱的长度为心，则

初状态

pt=72cmHg,V；=2^5=135

末状态

〃3=78cmHg,匕=JS

由玻意耳定律得

=2M

代入数据解得

L、=12cm

则注入水银柱的长度为

d=（k-1^）x2+2h=8cm

6.（2022•河南・濮阳-高模拟预测）如图所示，玻璃泡中充有一定质量的理想气体，玻璃泡

与粗细均匀的玻璃管连接，玻璃管竖直插在水银槽中，玻璃管的内截面枳为O.lcn?,这时

环境温度为300K,大气压强为75cmHg,玻璃管中水银柱液面与水银槽中水银液面高度差

为15cm,水银柱以上玻墙管长为5cm,当环境温度升高到420K时，玻璃管中水银柱液而

与水银槽中水银液面高度差为5cm,水银槽足够大、足够深，求：

（1）玻璃泡的容积;

（2）若环境温度保持300K不变，符玻璃管缓慢向下移，当水银液面刚好上升到玻璃管上

管口时，玻璃管下移的距离。

【答案】（1）V=4.5cm3:（2）

【规范答题】（I）开始时封闭气体的压强

Pi=75cmHg-15cmHg=60cmHg

玻璃管中气体的体积

K=5x0.1cm3=0.5cm

升温后气体的压强

p2=75cmHg-5cmHg=70cmHg

玻境管中气体的体枳

匕=15x0.Icm，=1.5cm

设玻璃泡的容积为V,则根据理想气体的状态方程

Pi（v+M）〃式v+匕）

解得

V=4.5cm

（2）设水银上升到玻璃管上管口时,封闭气体的压强为03,则

PC+x）=〃y

解得

200口

P3=—cmHg

9007

则槽口水银面卜方玻璃管长为75-节=?cm,则玻璃管下移的距离

2535

ii=20cmcm=——cm«11.7cm

33

7.（2022•云南昆明•一•模）如图所示，新冠疫情期间，学校杀菌消毒用的压缩式喷雾器储液

桶的总容量为6.0L,现倒入5.0L的消毒药液后盖紧盖子，开始打气，每打一次都能把体积

为200mL、压强与大气压相同的空气打进储液桶，假设打气过程中药液不会向外喷出，储

液桶气密性良好，出液管体积及出液口与储液桶底间高度差不计，周围环境温度不变，气体

可视为理想气体，外界大气压恒为1.0xl（rPa。求：

（1）当打气20次后，喷雾器内空气的压强及这个压强下最多能喷出的药液体积：

（2）要使喷雾器内的药液一次性全部喷完，至少需要打气的次数。

【答案】（1）5.0x10sPa,4.0L：（2）25

【规范答题】（1）在将气体打进储液桶之前，有

Po=1.0xI（PPa,%=200mL=0.2L

倒入5.0L药液后，储液桶中气体部分的体积为

V=6.0L-5.0L=l.0L

打气过程，气体保持温度不变，根据玻意耳定律可得

〃o（K+2O%）=pM

联立解得

Pi=5.0x10sPa

药液喷出过程，气体温度保持不变，根据玻意耳定律可得

PM=RM

解得

匕=5.0L

因此能喷出的药液的体积为

AV=V2-Vl=4.0L

（2）设至少需要打气〃次，才能将喷器器内的药液•次性全部喷完，根据玻意耳定律可得

为(K+〃％)=%%

解得

H=M=6：()-L0=25

匕0.2

要使喷雾器内的药液一次性全部喷完，至少需要打气25次,:

8.（2022•广东.模拟预测）如图所示，两端封闭的直玻璃管竖直放置，一段水银将管内的理

想气体分隔为甲、乙两部分，两部分气体的温度相等、物质的量相同，它们的体积之比3=k

V2

请直接判断k大于I还是小于I,并求甲、乙两部分气体的压强之比令

【答案”>1,建

【规范答题】甲乙的物质的量相同即质量相同，乙气体的压强大可知体积小，甲的压强小可

知体积大

k>l

由于甲、乙两部分气体的温度相等、物质的量相同，根据理想气体状态方程可得

解得

且」

Pik

9.（2022.河南•三模）如图所示，内径相同的两U形玻璃管竖直放置在空气中，中间用细软

管相连，左侧U形管顶端封闭，右侧U形管开口，用水银将部分气体A封闭在左侧U形管

内，细软管内还有一部分气体。已知环境温度怛为17C,大气压强为/MmHg,检定时，A

部分气体长度为20cm,管内各液面高度差分别为％=8cm、^=10cmo求

①A部分气体的压强；

②现仅给A部分气体加热，当管内气体温度升高了40c时，A部分气体长度为22cm,求

此时右侧U形管液面高度差”。

A

【答案】®58cmHg；②12cm

【规范答题】①设左侧A部分气体压强为软管内气体压强为〃2,由图中液面的高度关

系可知,

P?=Pi+Pgh】

联立解得

Pt=Po-+/?,)=58cmHg

②由理想气体状态方程可得

必二电

《彳

其中

7；=(273+l7)K=29OK

(=(273+17+40)K=330K

解得

p\-60cmHg

由于空气柱长度增加2cm,如水银柱向右侧移动2cm,因此左侧U形管液面高度差为

—%—2cm—2cm—4cm

由

P；=PL"g(匕+优)

解得

%=12cm

10.(2022•广西•合山高中模拟预测)如图所示,粗细均匀的乜”形细玻璃管竖直放置，用水

银柱封闭一段长度力=10cm的空气柱(视为理想气体)，大气压强恒为po=76cmHg,竖直管

中水银柱的长度L/=6cm,水平管中水银柱的长度L2=9cm,环境的热力学温度恒为T尸300K。

(结果均保留一位小数)

(i)若将竖直管绕水平管的轴线缓慢转过90。(玻璃管水平)，求水平管中水银柱的长度L；

(ii)若竖直管不转动(保持竖直)，对管中空气柱缓慢加热，求竖直管中水银柱的长度变

为勺■时，空气柱的热力学温度乃。

【答案】(i)8.2cm；(ii)4067K

【规范答题】(i)转动前，管中空气柱的压强为

Pi=Po-k

设竖直管绕水平管的轴线缓慢转过90。后空气柱的氏度为x,根据玻意耳定律有

p、hS=poxS

解得

x=9.2cm

根据几何关系可知

L=L2-(h-A)=8.2cm

(ii)加热后，管中空气柱的压强为

〃2=〃。一吊

根据理想气体状态方程有

P\hS〃2.+.)S

=

—~r2-

解得

7；=406.7K

II.(2022•河北•模拟预测〉如图所示，粗细均匀的U形管，右端口封闭，左端口开口，右

管中用水银封闭着长10cm的理想气体，当气体的温度为27℃时，两管水银面的高度差为

5cm,外界大气压为75cmHg,若对封闭气体缓慢加热，为了使左、右两管中的水银面高度

差仍为5cm,求：

(1)气体升高后的温度为多少？

(2)若不给气体加热，保持气体温度不变，使玻璃管始终保持竖直状态向下做自由落体运

动，水银柱稳定时，左、右两管中水银液面高度差为多少？

【答案】(1)514.3K：(2)6-cm

3

【规范答题】(