高考数学易错题专项训练

高考数学易错题专项训练(四)

一、正误辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

1.归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推

理是由一般到特殊的推理.()

2.形如。+历(小〃£R)的数叫做复数；若。=0,且人中0时，则。+加为纯虚数.()

3.复数z=a+bi(a,Z?£R)与复平面内的点Z(a,b)、向量应=(mb)--对应.()

4.循环结构一定包含条件结构.()

5.从〃个不同元素中，任取〃?(〃w〃)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定顺序排成一

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.()

厂力+…+(?加〃一「//+…+a〃(〃£N*)中，展开式共有〃+1项，展开式

通项:7；+尸CM一方■(r二(),1,2,…，〃)，组合数C。叫第r+1项的二项式系数.()

7.二项展开式中二项式系数具有对称性a=ar(0Wk<〃)，满足C2+C1+C舛…+G；=2〃，

且中间一项(〃为偶数)或中间两项(〃为奇数)的二项式系数最大.()

8.离散型随机变量的分布列的两个性质：(l)pi20(i=l,2,…，〃)，(2)pi+p2H-----Fp〃=

1.()

9.数学期望的性质：(l)ESX+b)=aE(X)+/?,(2)若X〜8(”，〃)，则氏%)=叩.()

1().方差的性质：(l)£>3X+b)=a?D(X),(2)若X〜8(〃，p),则£)(%)二叩(1一〃).()

11.若事件A与8互斥，则P(4+8)=P(A)+P(⑶；若事件A与B相互独立，则P(A8)=

p(AD)

P(A)P(B)；条件概率公式P(仇4)=17k.()

12.独立重复试验的概率计算公式P(x=k)=a/(l—〃)"r表示在〃次独立重复试验中，事件

A恰好第k次发生的概率.()

13.若离散型随机变量X的分布列为P(X=r)="(i=l,2,…，〃).

(1)E(X)=X1/J1+XipiH-----\-Xipi-\----\~XnPn称为X的均值；

(2)D(X)=£(刘一E(X)户伊称为随机变量X的方差.()

尸1

14.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相

等，且是不放回抽样.()

>i(ad-he)2

6利用随机变量心=(,+为(f/)­"+")来判断”两个分类变量有关系”

的方法称为独立性检验.如果心的观测值攵越大，说明“两个分类变量有关系”的可能性越

小.()

16.对于古典概型，任何事件的概率为P(A)=A包含.的就基本稀事件费的个数古典概型的特点是：

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

(2)每个基本事件出现的可能性相等.()

17.几何概型的概率公式是

叫一构成事件4的区域长度(面积或体积)

"A)一试验全部结果所构成的区域长度(面积或体积).

几何概型的特点是：(1)每个基本事件发生可能性相等；(2)试验中基本事件有无限个.()

18.必然事件的概率P(E)=1,不可能事件的概率P(E)=0；反过来，概率为I的事件是必然

事件，概率为0的事件是不可能事件.()

19.平均数反映/数据取值的平均水平，标准差、方差描述r一组数据围绕平均数波动的大

小，标准差、方差越大，数据的分散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的分数

程度越小，越稳定.（）

20.概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，

它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率

就近似地当作随机事件的概率.（）

二、矫正训练

（一）选择题（共10小题）

2

1.下面是关于复数Z=：T的四个命题：

-1-T1

pi；|z|=2;pi-.zr=2i;“3：z的共枕复数为1+i；z的虚部为一1.其中真命题为（）

A.pi,〃3B.pi,pi

C.p2,p4D.〃3,

2.设复数zi=l—i,Z2=〃+2i,若日的虚部是实部的2倍，则实数。的值为（）

A.6B.-6

C.2D.-2

3.如图所示是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S=720,则在判断框中应填入关于攵

的判断条件是（）

A.e6?B.女27?

C.g8?D.g9?

4.如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点：1,

2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列｛而｝（〃£N*）的前12项，如下表

所示.

a\ai43(1446ai4849aioawa\i

X\y\X2尸X3户X4)'4X5ysXb)'6

按如此规律下去，则〃2013+。20“+。2015=（）

A.1004B.1006

C.1007D.2014

5.把3封信投到4个信箱，则不同的投法共有（）

A.24种B.4种

C.43种D.34种

6.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙3人不能相邻的排法有（）

A.A&A荆B.（AAASAT）种

C.种D.（Ai2）种

7.若在（2x+l）〃的展开式中，第3项的二项式系数与第8项的二项式系数相等，则其展开式

中所有项的系数之和等于（）

A.29B.2"C.39D.3"

8.下列说法：

①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；

②做几次随机试验，事件A发生/〃次，则事件A发生的概率为彳；

③频率是不能脱离〃次试验的试验结果，而概率是具有确定性的，不依赖于试验次数的理论

值；

④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.

其中正确的命题为（）

A.①③B.①③④

C.①④D.②③④

9.已知某次数学考试的成绩服从正态分布Ml16,64）,则成绩在140分以.上的考生所占的百

分比为（）

A.0.3%B.0.23%C.1.5%D.0.15%

10.在性别与吃零食这两个分类变量的计算中，下列说法不正确的是（）

①若K?的观测值为攵=6.635,我们有99%的把握认为吃零食与性别有关系，那么在1（）（）个

吃零食的人中必有99人是女性；

②从独立性检验可知有99%的把握认为吃零食与性别有关系时，我们说某人吃零食，那么此

人是女性的可能性为99%；

③若从统计量中求出有99%的把握认为吃零食与性别有关系，是指有1%的可能性使得出的

判断出现错误.

A.①②B.①③

C.②③D.③

（二」填空题（共6小题）

11.运行如图所示的程序框图，若输出的），值的范围是［0,101，则输入的x的值的范围是

12.已知圆的面积S（R）=7iR2,显然S'（R）=2兀R表示的是圆的周长，即C=2冗R.把该结论类比

到空间，写出球中的类似结论：.

13.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个数、十位和百位上的

数字之和为偶数的四位数共有个.（用数字作答）

14.在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个.用系统抽样的方法从中抽取

容量为20的样本，则二级品中每个个体被抽取到的概率是.

15.如图所示是某公司（共有员工300人）2013年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可

知，员工中年薪在1.4万元〜1.6万元之间的共有人.

16.若将一枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6点的正方体玩具)先后

抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为.

参考答案

一、1.V2.V3.J4.V5.5677.J8.V9.V10.V11.V

12.X

解析：P(x=k)=C加&I—/))""表示在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率.

13.V14.V

15.X

解析：独立性检验是假设“两个分类变量无关”的前提下，根据2X2列联表计算玄々值应

该很小，若公的观测值k很大，说明假设不合理，即“两个分类变量有关系”的可能性越

大.

16.V17.V

18.X

解析：在几何概型中，若随机事件所在的区域是一个单点，概率为0,但事件可能会发生；

如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，它的概率为1,但它不是必然事件.

19.V20.V

二、1.解析：本题最易出现的两个错误：①混淆复数z=〃+bi(a,〃£R)中的虚部是b还是

bi;②不理解共貌复数的概念，误以为z=a+万(a,〃£R)的共蛆复数为z=-(a+〃i).

C[因为复数Z=二；+；=一]_'所以|0=也，?=(-1—i)2=(n-i)2=2i,z的共朝复数为

—1+1,Z的虚部为一1.综上可知〃2,“4是真命题.故选C.]

2.解析：本题易出现的问题有两个方面，一是混淆复数的实部和虚部；二是计算于时，错用

运算法则导致失误.

rZ2a+2i(a+2i)(1+i)a—2+(2+a)i乂,七皿时口。一2

A[-=-j—=(1_0(1+i)-------2-------，故修复数的实部是亍，虚部是

审.由题意，知审=2*/,解得。=6.故选A.]

3.解析：容易出错的地方是不清楚这个判断条件是什么，本题是当不满足判断框中的条件时

结束循环，当判断框中的条件满足时执行循环，故应该从k=10开始按照递减的方式逐步进

行，直到S的输出结果为720.

C[第一次运行结果为S=10,A=9；第二次运行结果为S=IOX9=9O,2=8；第三次运行

结果为S=720,k=7.这个程序满足判断框的条件时执行循环，故判断条件是攵28?.故选

C.]

4.解析：本题中的“按如此规律下去”就是要求由题目给出的6个点的坐标和数列的对应关

系，归纳出该数列的一般关系.可能出现的错误有两种：一是归纳时找不准确“前几项”的

规律，胡乱猜测；二是弄错奇偶项的关系，本题中各个点的纵坐标对应数列的偶数项，并且

逐一递增，即G〃=〃(〃£N«),各个点的横坐标对应数列的奇数项，正负交替后逐一递增,并

且满足w“—3+〃4〃—I=0(〃WN*),如果弄错这些关系就会得到错误的结论，如认为当〃为偶数

时“"=〃，就会得到«2013+«20144-6/2015=2014的错误结论，而选D.

C42=1,。3=—1,44=2,05=2,06=3,。7=—2,制=4,…，这个数列的规律

是奇数项为1,—1,2,—2,3,—3,,,,,偶数项为1,2,3,,,,,故42013+42015=0,G2

014=1007.故42013+〃2014+〃2015=1007.故选C.J

5.解析：解决计数问题的基本策咯是合理分类和分步，然后应用分类加法计数原理和分步乘

法计数原理来计算.解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误.

误认为每个信箱有三种选择，所以不同的投法有34种，没有注意到一封信只能投在一个信

箱中.

C[第1封信投到信箱中有4种投法，笫2封信投到信箱有4种投法，第3封信投到信箱也

有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43和

方法，故选C.]

6.解析：本题易出现的错误是把“甲、乙、丙3人不能相邻”理解为“甲、乙、丙3人互不

相邻”的情况，使结果中遗漏甲、乙、丙3人中有两人相邻的情况.

B[在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙3人不

相邻的方法数，即A“一Ag-Ai故选B.J

7.解析：本题可能出现的错误主要是由于审题不细，急于求成，不注意题目中的关键信息，

误解题意，将第3项与第8项的二项式系数分别理解为C磊口CQ从而得出〃=11的错解.

C[在(2x+l)〃的展开式中，第3项的二项式系数是CN,第8项的二项式系数是CZ,依题

意，得CN=C,于是"=2+7=9.所以在(2x+l)9的展开式中，所有项的系数之和等于(2X1

+1)9=3,故选C.]

8.解析：对概率和频率的关系认识不清，导致出错.如对于说法②，认为事件发生的频率就是

事件发生的概率，再如对事件发生的概率的确定性认识不清，就可能认为说法③不正确等.

B[根据频率与概率的区别与联系可知正确的命题为①③④.]

9.解析：解本题易出现的错误主要有以下两个方面：一是对正态分布的理解不深刻，不能正

确得出该正态分布的两个重要参数小导致计算无从下手；二是对正态分布中随机变量

在三个区间内取值的概率数值记忆不扎实，导致计算出错.

D[依题意，得〃=116,。=8,所以〃一3^=92,〃+3。=14。，而服从正态分布的随机变量

在“+3G内取值的概率约为0.997,所以成绩在区间(92,140)内的考生所占百分比

1—997%

约为99.7%,从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为一-=0.15%.故选D.]

10.解析：误解独立性检验■的基本思想.如①中有99%的把握认为吃零食与性别有关系，可能

就认为是100个吃零食的人中必有99人是女性，不理解这里的99%是“性别与吃零食有关

系”这个结论成立的可能性.

A[由独立性检验的基本思想可得，只有③正确.故选A.]

11.解析：这是一个计算分段函数值的程序框图，写出这个分段函数，然后根据函数值的范

围确定自变量的范围即可.容易出错的地方有两个：一是对判断条件和函数值的对应关系不

清，如把xV一1时对应的函数解析式,写成y=f或y=x+1;二是对变量x的分类错误，木

题中对x的分类是xv—1,—x>l,可能漏掉其端点值，也可能把一iWxWl写成

了启1等.

’3—x,x<—\,

[—7,9][程序框图是计算分段函数y=<x2,的值.若xv—1,由0W3一

1,x>\

xW10,得一7<x〈一1：若一由0W.FW10,得一iWxWl：若x>l,由0<x+

1W10,得1GW9.故输入的x的范围是［-7,9J.故填［-7,9］.］

12.解析：该题易出现的问题是从平面圆类比到空间球的结论时缺乏对应特点的分析，误以

为是球的表面积的导数问题，而无法得到正确的结论.

以半径为尺的球的体积为V(R，)=4IR*其导函数表示的是球的表面积，即S=4兀旌［由类

44

比思想，可得半径为R'的球的体积为丫(b)=铲内，其导函数v(R)=1x3兀腔=4兀”，显

4

然表示的是球的表面积.所以结论是：以半径为尺的球的体积为V(R)=和R'3,其导函数表示

的是球的表面积，即S=4兀知2」

13.解析：本题可能出现两种错误：一是对三个数字之和是偶数进行分类时遗漏了两个奇

数，一个偶数的情况；二是在分类解决时忽视了对数字0的特殊考虑，导致增解或漏解.

324［当个位、十位和百位上的数字为三个偶数时：若选出的三个偶数中含有0,则把剩余

数字中任意一个放在千位上即可，方法数是C3A［C1=72；若选出的三个偶数不含。，此时只

能从剩余的非0数字中选一个放在千位上，方法数是A3a=18.故在这种情况下符合要求的

四位数共有72+18=90(个).

当个位、十位和百位上的数字为一个偶数、两个奇数时：若选出的偶数是0,则再选出两个

奇数，千位上只要在剩余数字中选一个放上即可，方法数为C3A3CL