2025年中考数学函数性质专项训练试卷

2025年中考数学函数性质专项训练试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x²-2x+3，下列关于该函数性质的说法中，正确的是（）A.该函数在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增B.该函数的最小值为1，最大值为+∞C.该函数的图像关于直线x=1对称D.该函数在x=2处取得极小值，在x=-1处取得极大值解析：函数f(x)=x²-2x+3可化为f(x)=(x-1)²+2，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为x=1。当x∈(-∞,1)时，(x-1)²单调递减，故f(x)单调递减；当x∈(1,+∞)时，(x-1)²单调递增，故f(x)单调递增。因此选项A正确。函数的最小值为2（当x=1时取得），无最大值，选项B错误。对称轴为x=1，选项C正确。函数在x=1处取得极小值，无极大值，选项D错误。参考答案：A2.若函数g(x)=|x-a|+|x-2|的最小值为3，则实数a的取值范围是（）A.a=3B.a∈(-∞,1]∪[3,+∞)C.a∈(-1,3)D.a∈(-∞,-1]∪[3,+∞)解析：函数g(x)=|x-a|+|x-2|表示数轴上点x到点a和点2的距离之和。当a=2时，g(x)=2|x-2|，最小值为0，不符合题意。当a≠2时，g(x)的最小值为|a-2|。由题意|a-2|=3，解得a=5或a=-1。故a的取值集合为{-1,5}，选项B、C、D均不符合。参考答案：A3.函数h(x)=sin(x+π/4)的图像经过平移后得到函数m(x)=sin(2x+φ)，若平移向量为(π/4,0)，则φ的值为（）A.π/4B.3π/4C.-π/4D.-3π/4解析：函数h(x)=sin(x+π/4)向右平移π/4个单位得到m(x)=sin[(x-π/4)+π/4]=sin(x)，即m(x)=sin(2x+φ)=sin(x)，对比可得2x+φ=x，即φ=-x=-π/4（当x=π/4时）。由于φ为常数，故φ=-π/4。参考答案：C4.已知函数f(x)=x³-3x+1，则方程f(x)=0在区间(-2,-1)内的实数根的个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：函数f(x)在(-2,-1)内单调性如下：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，故f(x)在(-2,-1)内单调递减。计算f(-2)=-5<0，f(-1)=1>0，由零点判定定理，f(x)=0在(-2,-1)内恰有一个实数根。参考答案：B5.函数y=1/(x-1)²的图像关于（）对称A.原点B.x轴C.y轴D.直线x=1解析：函数y=1/(x-1)²为偶函数，即f(-x)=f(x)，其图像关于y轴对称。参考答案：C6.已知函数f(x)=logₐ|x|（a>0且a≠1）在(0,+∞)上单调递减，则f(x)在(-∞,0)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.非单调D.无法确定解析：函数f(x)=logₐ|x|在(0,+∞)上单调递减，说明0<a<1。由于f(x)为偶函数，故f(x)在(-∞,0)上与(0,+∞)单调性相反，即单调递增。参考答案：A7.函数y=2sin(2x+π/3)-1的振幅、周期、初相位分别为（）A.2，π，π/3B.1，π/2，π/3C.2，2π，π/3D.1，π，-π/3解析：函数y=2sin(2x+π/3)-1中，振幅A=2，周期T=2π/ω=π，初相位φ=π/3。参考答案：C8.已知函数f(x)=x²+px+q，若f(x)=0的两根分别比函数g(x)=x²-2x-3的两根大1，则p+q的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析：函数g(x)=x²-2x-3的两根为x₁=-1，x₂=3，故f(x)=0的两根为x₁'=0，x₂'=4。由韦达定理，p=-x₁'-x₂'=-4，q=x₁'x₂'=0，故p+q=-4。参考答案：A9.函数y=|x|sin|x|在(-π,π)内的图像与x轴围成的封闭图形的面积为（）A.0B.πC.2πD.4π解析：函数y=|x|sin|x|为偶函数，故只需计算(0,π)部分面积。面积S=2∫₀^πxsinxdx=-2cosx|₀^π=4。参考答案：D10.若函数f(x)=x²+bx+c在x=1时取得极大值，则f(x)的图像不经过的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：函数f(x)在x=1时取得极大值，需f'(1)=2+1=0且f''(1)=2>0，矛盾。故f(x)在x=1时不可能取得极大值，选项均不正确。参考答案：无正确选项二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=√(4-x²)的定义域为_________。解：需4-x²≥0，即-2≤x≤2。参考答案：[-2,2]2.函数y=3cos(2x-π/4)+1的最大值为_________。解：cos(2x-π/4)的最大值为1，故y最大值为3×1+1=4。参考答案：43.若函数f(x)=2^x+1在区间[a,a+3]上的值域为[8,32]，则a的值为_________。解：f(x)在区间[a,a+3]上单调递增，故f(a)=8，f(a+3)=32，解得a=3。参考答案：34.函数y=1/(x²-1)的渐近线方程为_________。解：x²-1=0即x=±1，故渐近线方程为x=1和x=-1。参考答案：x=1，x=-15.函数f(x)=sin(x+π/6)-cos(x)的最小正周期为_________。解：f(x)=√3/2sinx+1/2cosx=sin(x+π/6)，周期为2π。参考答案：2π6.若函数g(x)=logₐ(x²-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是_________。解：x²-2x+3=(x-1)²+2在(1,+∞)上单调递增，为使g(x)单调递增，需0<a<1。参考答案：(0,1)7.函数y=tan(3x-π/4)的图像的一个对称中心是_________。解：令3x-π/4=kπ+π/2，得x=kπ/3+3π/16，取k=0，得x=3π/16。参考答案：(3π/16,0)8.函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为_________。解：f(-2)=-5，f(2)=7，f(-1)=0，f(1)=-1，最大值为7，最小值为-5，差为12。参考答案：129.函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期为_________。解：|sinx|+|cosx|的最小正周期为π/2。参考答案：π/210.若函数f(x)=x²+px+q的图像与x轴相切，且f(1)=3，则p+q的值为_________。解：f(x)与x轴相切，Δ=0且f(1)=3，解得p=-4，q=2，p+q=-2。参考答案：-2三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数y=cos(2x+π/3)的图像关于原点对称。解：cos(2x+π/3)为偶函数，图像关于y轴对称，不关于原点对称。参考答案：×2.若函数f(x)=x²+bx+c在x=1时取得极值，则b=2。解：f'(x)=2x+b，f'(1)=2+b=0，故b=-2。参考答案：×3.函数y=1/sinx在(0,π/2)上单调递减。解：sinx在(0,π/2)上单调递增，故1/sinx单调递减。参考答案：√4.函数f(x)=|x|在R上处处可导。解：|x|在x=0处不可导。参考答案：×5.若函数g(x)=logₐ|x|在(-∞,0)上单调递增，则a>1。解：logₐ|x|在(-∞,0)上单调递增，需a>1。参考答案：√6.函数y=2sin(π/4-x)的图像可由y=sinx向左平移π/4个单位得到。解：2sin(π/4-x)=√2cos(π/4+x)，需向右平移π/4个单位。参考答案：×7.函数f(x)=x³-3x+1在(-∞,+∞)上无最大值。解：f(x)在(-∞,+∞)上无最大值。参考答案：√8.函数y=|x|sin|x|是奇函数。解：|x|sin|x|是偶函数。参考答案：×9.函数f(x)=sin²x+cos²x在R上单调递增。解：f(x)=1为常数函数，不单调。参考答案：×10.函数y=1/(x-1)²在(1,+∞)上单调递减。解：1/(x-1)²在(1,+∞)上单调递减。参考答案：√四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x²-2x+1，求f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。解：f(x)=(x-1)²，对称轴x=1，f(-1)=4，f(1)=0，f(3)=3，最大值为4，最小值为0。2.函数y=2cos(3x+π/6)-1的振幅、周期、初相位分别为多少？解：振幅A=2，周期T=2π/3，初相位φ=-π/6。3.若函数f(x)=x³+px+q的图像经过点(1,2)且在x=1处切线斜率为3，求p、q的值。解：f(1)=1+p+q=2，f'(1)=3+1=3，解得p=0，q=1。4.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值是多少？解：y的最小值为3（当x=-1时取得）。5.函数f(x)=sin(2x+π/3)的图像经过哪些变换可得到函数g(x)=sin(2x-π/6)的图像？解：需向右平移π/4个单位。6.函数y=1/(x²-2x+3)的渐近线方程是什么？解：渐近线方程为x=1。7.函数f(x)=log₂(x²-3x+2)的定义域是什么？解：需x²-3x+2>0，解得x∈(-∞,1)∪(2,+∞)。8.函数y=2sin(x+π/4)-1的图像关于哪个点对称？解：关于点(π/4,-1)对称。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x²-2x+3，求f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。解：f(x)=(x-1)²+2，对称轴x=1，f(-1)=4，f(1)=2，f(3)=2，最大值为4，最小值为2。2.函数y=2cos(3x+π/6)-1的振幅、周期、初相位分别为多少？解：振幅A=2，周期T=2π/3，初相位φ=-π/6。3.若函数f(x)=x³+px+q的图像经过点(1,2)且在x=1处切线斜率为3，求p、q的值。解：f(1)=1+p+q=2，f'(1)=3+1=3，解得p=0，q=1。4.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值是多少？解：y的最小值为3（当x=-1时取得）。5.函数f(x)=sin(2x+π/3)的图像经过哪些变换可得到函数g(x)=sin(2x-π/6)的图像？解：需向右平移π/4个单位。6.函数y=1/(x²-2x+3)的渐近线方程是什么？解：渐近线方程为x=1。7.函数f(x)=log₂(x²-3x+2)的定义域是什么？解：需x²-3x+2>0，解得x∈(-∞,1)∪(2,+∞)。8.函数y=2sin(x+π/4)-1的图像关于哪个点对称？解：关于点(π/4,-1)对称。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.C4.B5.D6.A7.C8.A9.D10.无正确选项二、填空题1.[-2,2]12.413.314.x=1，x=-115.2π16.(0,1)17.(3π/16,0)2.1219.π/220.-2三、判断题