圆锥曲线典型试题及详细解答

圆锥曲线典型试题及详细解答考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√2/2，则椭圆C的短轴长与长轴长的比值是（）A.1/2B.√2/2C.1/√2D.√2/42.双曲线x²/a²-y²/b²=1的离心率为2，焦距为8，则该双曲线的标准方程是（）A.x²/4-y²/12=1B.x²/16-y²/12=1C.x²/4-y²/20=1D.x²/16-y²/20=13.抛物线y²=2px(p>0)的焦点到准线的距离是（）A.pB.2pC.p/2D.4p4.直线y=kx+b与椭圆x²/9+y²/4=1恒有交点，则实数k的取值范围是（）A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.[-2,2]C.(-∞,-3/2)∪(3/2,+∞)D.[-3/2,3/2]5.椭圆x²/25+y²/16=1的焦点到其右准线的距离是（）A.1B.2C.3D.46.双曲线x²/9-y²/16=1的左焦点到其左准线的距离是（）A.4/5B.8/5C.9/5D.16/57.过抛物线y²=8x的焦点F作一条直线交抛物线于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点，若AB的中点横坐标为2，则|AB|等于（）A.8B.16C.24D.328.点P(x,y)在椭圆x²/36+y²/25=1上运动，则P点到椭圆左、右焦点的距离之和的最大值是（）A.6B.10C.12D.209.点P在双曲线x²/16-y²/9=1上运动，则P点到双曲线左焦点的距离与到右准线的距离之差的绝对值是（）A.5B.7C.8D.1010.直线l:y=kx+1与双曲线x²-4y²=4相交于A,B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值是（）A.1/2B.1C.3/2D.2二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。11.椭圆x²/9+y²/4=1的焦点坐标是_______，离心率e=_______。12.双曲线x²/9-y²/16=1的渐近线方程是_______。13.抛物线y²=-12x的焦点坐标是_______，准线方程是_______。14.直线y=x+m与椭圆x²/8+y²/4=1恒有交点，则实数m的取值范围是_______。15.已知点A(1,2)在椭圆x²/25+y²/16=1的内部，点F为该椭圆的右焦点，若直线AF的斜率存在且为整数，则该直线的斜率k=_______。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分12分)已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，其右焦点F与抛物线y²=8x的焦点重合。(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点P在椭圆C上，求点P到直线x+2y-4=0距离的最大值。17.(本小题满分12分)已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的离心率为2，且点P(√3,1)在C上。(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点P作直线l与双曲线C的右支交于A,B两点，且|AB|=2√3，求直线l的方程。18.(本小题满分14分)已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点F在直线l:x-y+3=0上。(1)求抛物线C的标准方程；(2)设点A(3,0)，点M为抛物线C上的动点，求|AM|+|MF|的最小值。19.(本小题满分15分)直线l:y=kx+m与椭圆C:x²/9+y²/4=1交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点。(1)若k=1，m=1，求线段AB的中点坐标；(2)若k=1，且AB中点的横坐标为1/2，求实数m的值，并求此时直线l与椭圆C的公共弦长。20.(本小题满分16分)已知双曲线C:x²/4-y²/5=1的左、右焦点分别为F₁,F₂，点P在C上，且|PF₁|-|PF₂|=2。(1)求点P的轨迹方程；(2)设点A(3,0)，点M为轨迹上的动点，求|AM|+|MF₂|的最大值。试卷答案1.C2.B3.A4.D5.C6.C7.B8.C9.A10.C11.(0,±√5),√5/312.y=±4/3x13.(-3,0),x=314.(-∞,-6√2)∪(6√2,+∞)15.-316.解：(1)抛物线y²=8x的焦点为(2,0)。由题意，椭圆C的右焦点F(2,0)，离心率e=c/a=√3/2，得a²=4/(√3/2)²=16/3。又c²=a²-b²，所以b²=a²-c²=16/3-4=4/3。故椭圆C的标准方程为x²/(16/3)+y²/(4/3)=1，即3x²/16+3y²/4=1。(2)设点P(x₀,y₀)在椭圆C上，则3x₀²/16+3y₀²/4=1，即y₀²=(4/3)(1-x₀²/16)=(4/3)-x₀²/4。点P到直线x+2y-4=0的距离d=|x₀+2y₀-4|/√(1²+2²)=|x₀+2y₀-4|/√5。欲求d的最大值，只需求|x₀+2y₀-4|的最大值。令u=x₀+2y₀，则u²=x₀²+4y₀²+4x₀y₀=x₀²+4[(4/3)-x₀²/4]+4x₀√[(4/3)-x₀²/4]=-x₀²+16/3+4x₀√[(4/3)-x₀²/4]。令t=√[(4/3)-x₀²/4]，则x₀²=16/3-12t²，0<t≤2/√3。代入得u²=-16/3+16t²+4√3t(16/3-12t²)=-16/3+16t²+64√3t/3-48√3t³。令v=t+4√3/9，则t=v-4√3/9，且0<v≤8√3/9。u²=-16/3+16(v-4√3/9)²+64√3(v-4√3/9)/3-48√3(v-4√3/9)³。令w=v-4√3/9，则0<w≤4√3/9。u²=-16/3+16w²+64√3w/3-48√3w³。令f(w)=-16/3+16w²+64√3w/3-48√3w³，0<w≤4√3/9。求f(w)的最大值。f'(w)=32w+64√3/3-144√3w²。令f'(w)=0，得32w-144√3w²+64√3/3=0，即w(32-144√3w)+64√3/3=0。在(0,4√3/9]上，64√3/3>0，故w(32-144√3w)=0。得w=0(舍去，w∈(0,4√3/9])或w=32/(144√3)=2√3/27。当0<w<2√3/27时，f'(w)>0；当2√3/27<w≤4√3/9时，f'(w)<0。故f(w)在w=2√3/27处取得极大值。f(2√3/27)=-16/3+16(2√3/27)²+64√3(2√3/27)/3-48√3(2√3/27)³=-16/3+16(12/729)+128(3)/81-48(24√3)/(729√3)=-16/3+192/729+384/81-1152/729=-16/3+576/729=-16/3+256/243=-16(81)/729+256/243=-1296/729+768/729=-528/729=-176/243。故|u|_max=√(-176/243)=4√44/27。d_max=|x₀+2y₀-4|_max/√5=4√44/(27√5)=4√220/(27*5)=4√(4*55)/135=8√55/135。答案：d_max=8√55/135/√5=8√11/27。17.解：(1)双曲线C的离心率e=c/a=2，得c=2a。又c²=a²+b²，所以b²=c²-a²=4a²-a²=3a²。由点P(√3,1)在C上，代入x²/a²-y²/b²=1得(√3)²/a²-1²/(3a²)=1，即3/a²-1/(3a²)=1，3/a²-1/(9a²)=1，(27-1)/(9a²)=1，26=9a²，a²=26/9，a=√26/3。则b²=3a²=3*(26/9)=78/9=26/3。故双曲线C的标准方程为x²/(26/9)-y²/(26/3)=1，即9x²/26-3y²/26=1，x²/26-y²/8.67=1。(2)设直线l的方程为y-1=k(x-√3)。联立双曲线方程x²/26-y²/8.67=1和直线方程y=kx-k√3+1，得x²/26-(kx-k√3+1)²/8.67=1。整理得x²/26-(k²x²-2k²√3x+k²*3+2kx-2k√3+1)/8.67=1。令b²=8.67，得x²/26-(k²x²-2k²√3x+3k²+2kx-2k√3+1)/b²=1。去分母得b²x²/26-k²x²+2k²√3x-3k²-2kx+2k√3+1=b²。整理得(b²/26-k²)x²+(2k²√3-2k)x+(-3k²+2k√3+1-b²)=0。由韦达定理和弦长公式，x₁+x₂=-(2k²√3-2k)/(b²/26-k²)，x₁x₂=(-3k²+2k√3+1-b²)/(b²/26-k²)。|AB|²=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²=(x₁-x₂)²+(k(x₁-√3)-k(x₂-√3))²=(x₁-x₂)²(1+k²)=(x₁+x₂)²-4x₁x₂)(1+k²)。由题意|AB|=2√3，得(2√3)²=((2k²√3-2k)/(b²/26-k²))²-4((-3k²+2k√3+1-b²)/(b²/26-k²))(1+k²)。整理得12(b²/26-k²)²=(2k²√3-2k)²-4(-3k²+2k√3+1-b²)(1+k²)。代入b²=8.67，解得k=1(舍去，因为此时直线过左焦点，弦长为实轴长的2倍，不可能为2√3)或k=-3/4。故直线l的方程为y-1=-3/4(x-√3)，即3x+4y-3√3-4=0。答案：直线l的方程为3x+4y-3√3-4=0。18.解：(1)抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点F(p/2,0)。由题意，F在直线l:x-y+3=0上，代入得p/2-0+3=0，解得p=-6。但p>0，故此题条件矛盾，无法求解。假设题目意图为F在直线l:x-y-3=0上，则p/2-0-3=0，解得p=6。故抛物线C的标准方程为y²=12x。(2)设点M(x₀,y₀)在抛物线y²=12x上，则y₀²=12x₀。点A(3,0)。|AM|=√[(x₀-3)²+y₀²]=√[(x₀-3)²+12x₀]=√(x₀²-6x₀+9+12x₀)=√(x₀²+6x₀+9)=√[(x₀+3)²]=|x₀+3|。由抛物线定义，点M到焦点F(3,0)的距离|MF|=|x₀+3|。故|AM|+|MF|=|x₀+3|+|x₀+3|=2|x₀+3|。由于x₀≥0，所以|x₀+3|=x₀+3≥3。因此，|AM|+|MF|的最小值为2*3=6。当且仅当x₀=0时取到。答案：最小值为6。19.解：(1)联立椭圆方程x²/9+y²/4=1和直线方程y=x+1，得x²/9+(x+1)²/4=1。整理得x²/9+(x²+2x+1)/4=1，4x²+9(x²+2x+1)=36，4x²+9x²+18x+9=36，13x²+18x-27=0。由韦达定理，x₁+x₂=-18/13。线段AB的中点坐标为((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)=(-9/13,(x₁+1+x₂+1)/2)=(-9/13,(x₁+x₂+2)/2)=(-9/13,(-18/13+2)/2)=(-9/13,(-18/13+26/13)/2)=(-9/13,4/13*1/2)=(-9/13,2/13)。答案：线段AB的中点坐标为(-9/13,2/13)。(2)设AB中点为M(x₀,y₀)，由(1)知x₀=-9/13。直线l的方程为y-y₀=k(x-x₀)，即y-2/13=k(x+9/13)。将此直线方程代入椭圆方程x²/9+y²/4=1，得x²/9+[(k(x+9/13)+2/13)²]/4=1。整理得(4+9k²)x²+18k(k/13+1/13)x+[9(k²+1/13)²-36]=0。由Δ>0，得18²k²(k²+1/13+2/13)-4(4+9k²)[9(k²+1/13)²-36]>0。由中点坐标公式，x₁+x₂=-18k/(4+9k²)=-18/13，解得k=1/2。此时直线方程为y-2/13=1/2(x+9/13)，即2y-4/13=x+9/13，即13x-2y+13=0。将此直线方程代入椭圆方程x²/9+y²/4=1，得x²/9+[(13x+13)/2]²/4=1，x²/9+(169x²+338x+169)/16=1，16x²+9(169x²+338x+169)=144，16x²+1521x²+3042x+1521=144，1537x²+3042x+1377=0。由韦达定理，x₁+x₂=-3042/1537，x₁x₂=1377/1537。|AB|=√(1+k²)|x₁-x₂|=√(1+1/4)√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√5/2*√[(-3042/1537)²-4*1377/1537]=√5/2*√[(-3042)²/(1537²)-4*1377/(1537²)]=√5/2*√[(-3042)²-4*1377]/1537=√5/2*√[9257616-5508]/1537=√5/2*√[9252108]/1537=√5/2*√(4*2313027)/1537=√5/2*2√2313027/1537=√5*√2313027/1537=√(11565035)/1537。答案：直线l与椭圆C的公共弦长为√(11565035)/1537。20.解：(1)双曲线C:x²/4-y²/5=1的左、右焦点分别为F₁(-3,0),F₂(3,0)。由双曲线定义，点P到两焦点的距离之差为常数，即||PF₁|-|PF₂||=