2027年高考数学一轮复习(创新设计)第3节　圆的方程

数学

高考总复习第3节圆的方程INNOVATIVEDESIGN第八章

平面解析几何备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ群10136549701.理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.课标要求内容索引

知识诊断自测01

考点聚焦突破0203

课时对点精练

知识诊断自测011.圆的定义和圆的方程定义圆是平面上到定点的距离等于______的点的集合方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心C(a,b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)充要条件:________________圆心坐标:_______________半径r=D2+E2-4F>0

定长2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C:(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系:(1)|MC|>r⇔M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外;(2)|MC|＝r⇔M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上;(3)|MC|<r⇔M在______，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内.圆外圆上圆内常用结论与微点提醒1.几种特殊位置的圆的方程

标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点x2＋y2＝r2x2＋y2－r2＝0过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2x2＋y2＋Dx＋Ey＝0圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2x2＋y2＋Dx＋F＝0圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Ey＋F＝0与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0常用结论与微点提醒

常用结论与微点提醒3.圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上;(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)方程x2＋y2＝a2表示半径为a，圆心为(0，0)的圆.(

)(2)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0一定表示圆.(

)(1)当a＝0时，x2＋y2＝0表示点(0，0);当a≠0时，表示半径为|a|的圆.诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√×

×√2.(北师大选修一P44T2原题)已知圆C:2x2＋2y2＋4x－2y－1＝0，则圆心的坐标为____________，半径为____________.

3.(人教B选修一P110T4改编)若坐标原点不在圆x2＋y2－ay＋a－1＝0的内部，则实数a的取值范围是_________________.

[1,2)∪(2,+∞)

4.(人教A选修一P88T7改编)已知等腰三角形ABC的一个顶点为A(4，2)，底边的一个端点为B(3，5)，则另一个端点C的轨迹方程为_______________________.

(x-4)2+(y-2)2=10,x≠3,x≠5

考点聚焦突破02

D考点一圆的方程

(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为________________________.

(x-1)2+(y+1)2=5

∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.

∴M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.感悟提升求圆的方程的两种方法(1)待定系数法:①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.(2)几何法:根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程.

设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a>0，b>0，r>0)，

(2)(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________________________________________________________________

依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.①若圆过(0，0)，(4，0)，(－1，1)三点，___________________________.所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13;②若圆过(0，0)，(4，0)，(4，2)三点，所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5;③若圆过(0，0)，(4，2)，(－1，1)三点，

例2(1)(2026·湖州质检)由动点P向圆M:(x＋2)2＋(y＋3)2＝1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若四边形APBM为正方形，则动点P的轨迹方程为(

)A.(x＋2)2＋(y＋3)2＝4 B.(x＋2)2＋(y＋3)2＝2C.(x－2)2＋(y－3)2＝4 D.(x－2)2＋(y－3)2＝2B考点二与圆有关的轨迹问题

(2)(2026·长沙适应性考试)已知长为2的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程是____________.

x2+y2=1

感悟提升求解与圆有关的轨迹(方程)的方法(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法:利用圆的几何性质列方程;(4)代入法:找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.提醒要注意题目设问是求动点的轨迹还是动点的轨迹方程.训练2(1)已知圆C:(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是(

)A.y2＝4x B.x2＋y2－2x－2y－3＝0C.x2＋y2－2y－3＝0 D.y2＝－4xB

(2)设定点M(－5，0)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP(O为坐标原点)，则点P的轨迹方程为________________________.

(x+5)2+y2=4(x≠-3且x≠-7)易知动点P在x轴上时不满足条件，令y＝0，则(x＋5)2＝4，解得x＝－3或x＝－7，所以x≠－3且x≠－7.所以点P的轨迹方程为(x＋5)2＋y2＝4(x≠－3且x≠－7).

BC考点三与圆有关的最值问题

角度2

利用对称性求最值例4(2026·成都诊断)已知M(－1，2)，N是曲线C:x2＋y2－6x－2y＋9＝0上的动点，P为直线x＋2y＋2＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为__________.

如图，曲线C:x2＋y2－6x－2y＋9＝0是以C(3，1)为圆心，以1为半径的圆，则根据圆的性质可知，|PN|的最小值为|PC|－1，设M关于直线x＋2y＋2＝0的对称点为H(m，n)，

12

感悟提升1.与圆有关的最值问题的三种几何转化法感悟提升2.求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C上动点有关的折线段的最值问题的基本思路:(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.感悟提升

C

[3,7]

阿波罗尼斯圆拓展视野

B

课时对点精练03一、单选题1.圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(

)A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2D

A

C

D

5.圆M:(x－2)2＋(y－1)2＝1与圆N关于直线x－y＝0对称，则圆N的方程为(

)A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋2)2＋(y＋1)2＝1 D.(x－1)2＋(y－2)2＝1D圆M:(x－2)2＋(y－1)2＝1的圆心为(2，1)，半径为1，(2，1)关于直线x－y＝0的对称点是(1，2)，所以圆N的圆心是(1，2)，半径是1，所以圆N的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.故选D.6.(2026·广州模拟)已知A，B是☉C:(x－2)2＋(y－4)2＝25上的两个动点，P是线段AB的中点，若|AB|＝6，则点P的轨迹方程为(

)A.(x－4)2＋(y－2)2＝16 B.(x－2)2＋(y－4)2＝11C.(x－2)2＋(y－4)2＝16 D.(x－4)2＋(y－2)2＝11C

B

二、多选题8.已知曲线C:Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0，则(

)A.若A＝B＝1，则C表示一个圆B.若A＝B≠0，D2＋E2－4AF>0，则C表示一个圆C.若A＝B＝0，D2＋E2>0，则C表示一条直线D.若A≠0，B＝0，则C表示一条直线BC

即D2＋E2－4AF>0时表示一个圆，正确;C显然正确;D中，Ax2＋Dx＋Ey＋F＝0易知不一定表示一条直线，错误.9.设有一组圆Ck:(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(

)A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B.所有圆Ck均不经过点(3，0)C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个D.所有圆的面积均为4πABD圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确;令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确;由(2－k)2＋(2－k)2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误;由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.三、填空题10.(2023·上海卷)已知圆C:x2＋y2－4y－m＝0的面积为π，则m＝

.

-3

11.(2026·北京西城区质检)在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)，点P在圆O:x2＋y2＝9上运动，则线段AP的中点Q的轨迹方程是

.

10

四、解答题13.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求:(1)直角顶点C的轨迹方程;

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

14.在平面直