河北省2025-2026学年高三上学期开学学情检测数学试卷（含解析）

河北省2025-2026学年高三上学期开学学情检测数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则集合()A. B. C. D.2．若复数的共轭复数为，且满足，则复数z的虚部为()A.-6 B. C.6 D.6i3．“，，，，成等差数列”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．已知，，，则的最小值为(

)A.4 B. C.8 D.5．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为()A. B. C. D.6．已知，则()A. B. C. D.7．若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为(

)A. B. C. D.8．函数与函数的图像的所有交点的横坐标之积为()A. B.e C.1 D.2二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．人类对简单刺激的反应时间近似服从正态分布，记人类对两类不同简单刺激的反应时间（单位：ms）分别为随机变量X，Y，且，，则下列结论正确的是()A. B.C. D.10．已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是()A.的图像关于点中心对称B.C.在区间上单调D.为奇函数11．在矩形中，，，点E在线段上，点F在线段上，沿着线段向上折起，使A至的位置，在折叠过程中，记二面角的大小为，，当时，和C重合，则下列结论正确的是(

)A.存在某个位置，使得平面B.存在某个位置，使得C.翻折过程中线段形成的曲面的面积为D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．在一次文艺演出中有3个舞蹈类，4个歌曲类共7个节目，要求相同类型的节目不能相邻，那么节目的不同演出顺序共有________________种.13．已知椭圆C:的左、右焦点分别为，，过的直线与y轴交于点M，与椭圆C的一个交点为N，若，，则C的离心率为_______.14．在一个棱长为4cm的封闭正四面体容器（容器壁厚度忽略不计）内有四个半径相等的铁球，则铁球的最大半径为_______cm.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）设等差数列的公差为d，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.16．（15分）已知双曲线C：的离心率为，实轴长为4.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l:与C的右支交于A，B两点，O为坐标原点.(i)求k的取值范围；(ii)若直线l与y轴交于点P，且，求的面积.17．（15分）如图，在三棱锥中，，，，且平面平面.(1)证明：平面；(2)线段上是否存在一点E，使得二面角的正切值为，若存在，求出的值，并给出证明；若不存在，请说明理由.18．（17分）甲、乙两人进行一场投沙包游戏.投一次沙包算作一局游戏，每一局游戏中，其中一人负责投沙包，另一人负责接沙包.若一人投沙包后另一人不能接住，则投沙包者得1分，接沙包者得0分；若投沙包者投沙包后接沙包者能够成功接住，则接沙包者得1分，投沙包者得0分.第一局投沙包者随机确定，然后甲、乙轮流投沙包，已知甲投沙包时甲得1分的概率为，甲接沙包时甲得1分的概率为，各局游戏结果相互独立，得分领先2分者获胜.(1)求甲第一局游戏中得分为1分的概率；(2)求2局游戏后甲得分X的分布列和数学期望；(3)求恰好比赛四局甲获得游戏胜利的概率.19．（17分）已知函数的图像在处的切线方程为.(1)求m，n的值；(2)讨论方程解的个数；(3)证明：.（参考数据：）参考答案1．答案：B解析：易知集合，，故.故选：B.2．答案：A解析：设复数，则.故，即，，所以，.因此，故复数z虚部为-6.故选：A.3．答案：A解析：若，，，，成等差数列，则成立，充分性成立，若取，，，，依次为1，2，5，6，9，此时满足，但，，，，不成等差数列，故不能推出，，，，成等差数列，必要性不成立，故“，，，，成等差数列”是“”的充分不必要条件，故选：A.4．答案：C解析：由题意得，当且仅当，即，时，等号成立.故选：C.5．答案：C解析：∵单调递增，且，，∴；∵，在上单调递增，且，，∴；对于，∵，∴单调递增，且，，∴，∴，故选：C.6．答案：D解析：因为，所以，所以，所以.故选：D7．答案：C解析：由题可知圆，半径，圆，半径.∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交，∴，∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）.又，∴代表点到直线的距离的5倍.∵圆心到直线的距离为1，∴圆环内的点到直线的距离，∴的取值范围为.故选：C.8．答案：C解析：令，若x是的解，即，则，所以函数与函数的图像的所有交点的横坐标之积为1，故选：C9．答案：AD解析：∵，∴，故选项A正确；∵，∴，故选项B错误；∵，该正态曲线的对称轴为直线，∴由对称性可得，故选项C错误；令，，∵，，∴，，∴，，∵，∴根据正态曲线的特点可知：，∴，故选项D正确.故选：AD.10．答案：ABD解析：由题意，得的最小正周期为，所以，所以.令，得，所以的图像关于点中心对称，故A正确；当时，，故是函数图像的一条对称轴，所以，故B正确；当时，，函数不单调，故C错误；因为的图像关于点对称，将的图像向左平移个单位后的图像关于对称，所以为奇函数，故D正确.故选：ABD11．答案：BCD解析：对于A，因当时，和C重合，得为线段的中垂线，而直线与直线相交，因此直线与平面相交，故A错误；对于B，令，过作于O，由，，平面，得平面，而平面，则，又平面且，于是平面，而平面，则，当时，因，平面，则平面，又平面，故，故B正确；对于C，在折叠过程中，线段形成的曲面是以为半径，为母线的半个圆锥的侧面，因为，则曲面面积为，故C正确；对于D，因，则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，而C到平面的距离小于或等于，当平面平面时，平面，直线与平面所成角的最大值为，其正弦值为，D正确.故选：BCD12．答案：144解析：4个歌曲类节目顺序有种，3个舞蹈类节目分别穿插在歌曲类节目中，有种不同的演出顺序，由分步乘法计数原理得共有种不同的演出顺序.故答案为：14413．答案：解析：如图：∵，，∴为直角三角形，且为斜边的中点，∴，结合对称性知，∴，∴，∵，∴.故答案为：14．答案：解析：当四个铁球两两相切且和正四面体内切时，铁球半径最大，设此时铁球半径为r，则构成一个棱长为的正四面体，设I为正三角形的中心，连接，则，，即，解得.所以正四面体的中心O到底面ABC的距离为，又O也是正四面体容器的中心，且其棱长为4cm，同上得容器的高为，所以O到底面ABC的距离为，综上，，解得.故答案为：15．答案：(1)(2)解析：(1)由题可得：，解得，.∴(2)∵，∴.①∴.②①-②得：.所以16．答案：(1)(2)(i)(ii)解析：(1)由双曲线C的实轴长为4，得，由双曲线C的离心率为，得，得，所以双曲线C的方程为.(2)(i)设，由消去y得，由A，B都在双曲线C的右支上，得，解得，所以k的取值范围是.(ii)依题意，，，则，解得，而，则，，所以的面积.17．答案：(1)证明见解析(2)存在，，证明见解析解析：(1)取的中点M，连接，∵，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，又∵，，平面，∴平面.(2)存在，.假设存在E点满足要求，过E作，交于点F，过F作于G，连接，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴.又，平面，∴平面，又平面，∴.所以是二面角的平面角.设，∴，，，∴，解得，∴，∴.18．答案：(1)(2)分布列见解析，(3)解析：(1)记第一局甲投沙包为事件A，则第一局乙投沙包为事件，甲第一局游戏中得分为1分记作事件B，则.所以甲第一局游戏中得分为1分的概率为.(2)(2)X的所有可能取值为0，1，2，记“第一局甲投沙包”为事件A，则“第一局乙投沙包”为事件，当时,甲2局游戏均得0分,第一局甲投沙包的条件下,得0分的概率为:,第一局乙投沙包的条件下,得0分的概率为:.所以，当时,甲在2局游戏中,一局得0分,另一局得1分第一局甲投沙包的条件下,得1分的概率为:,第一局乙投沙包的条件下,得1分的概率为:.所以.当时,甲2局游戏均得1分,第一局甲先投的条件下,得2分的概率为:,第一局乙先投的条件下,得2分的概率为:.所以.所以X的分布列为X012P所以X的数学期望为.(3)恰好比赛四局且甲获得胜利，需四局中最后一局甲一定得1分，第三局甲得1分，前两局结束时甲得1分.所以甲先投的情况下，恰好比赛四局甲获得游戏胜利的概率为：，乙先投的情况下，恰好比赛四局甲获得游戏胜利的概率为：，记恰好比赛四局甲获得游戏胜利为事件C，则.19．答案：(1)，(2)无解(3)证明见解析解析：(1)函数，求导得，由的图像在处的切线方程为，得，所以，.(2)由(1)知，，其定义域为，当时，方程，依题意，当时，方程根的个数即为函数，在上的零点个数，求导得，当时，恒成立，函数在上单调递增，而，，因此，函数在上没有零点；当时，令，