人教版小学六年级上册数学广角-数与形练习题及解析

“数与形”是小学数学学习中一块非常有趣且重要的内容。它不仅仅是知识的结合，更是一种思维方式的体现——通过直观的图形来理解抽象的数量关系，或者用精准的数字去描述图形的变化规律。这种“以形助数，以数解形”的思想，对于培养我们的观察能力、分析能力和解决问题的能力都大有裨益。下面，我们就通过一些典型的练习题，来一起感受数与形的奇妙结合，并深入理解其中蕴含的规律。一、基础感知与规律探索这类题目主要考查我们通过观察图形的变化，发现其中隐藏的数字规律，并能根据规律进行简单的推算。练习题1：观察下面用小棒摆成的图形，完成表格并回答问题。图形序号①②③④...第n个:-------:-------:-------:-------:-------:--:--------小棒根数()()()()...()（图形描述：①是一个三角形，用3根小棒；②是由两个这样的三角形相连，共用一条边，用5根小棒；③是由三个这样的三角形相连，共用两条边，用7根小棒；④以此类推。）思路点拨：首先，我们要仔细观察每个图形中小棒根数的变化。*第①个图形（1个三角形）：3根小棒。*第②个图形（2个三角形）：我们可以数一数，或者思考一下，第二个三角形是在第一个的基础上增加的，但它们共用了一条边，所以不是简单的3+3=6根，而是6-1=5根。*第③个图形（3个三角形）：在第二个图形的基础上再增加一个三角形，同样会共用一条边，所以是5+2=7根？或者从另一个角度想，每多一个三角形，就需要增加几根小棒呢？从①到②：3到5，增加了2；从②到③：5到7，也增加了2。哦，原来规律在这里！解答过程：图形序号①②③④...第n个:-------:-------:-------:-------:-------:--:--------小棒根数(3)(5)(7)(9)...(2n+1)*第①个：3=2×1+1*第②个：5=2×2+1*第③个：7=2×3+1*第④个：9=2×4+1*所以，第n个图形，小棒根数就是2×n+1，即2n+1。解析与拓展：这道题的关键在于发现“每增加一个三角形，小棒根数就增加2”这一隐含规律。我们也可以把第一个图形看作是“1+2”，第二个是“1+2×2”，第三个是“1+2×3”，这样也能得到2n+1的表达式。这种通过观察相邻两项的差来寻找规律的方法，在很多数列问题中都很常用。练习题2：观察下面由点组成的图形，它们是按一定规律排列的。*第1个图形：●(1个点)*第2个图形：●●●●(4个点)*第3个图形：●●●●●●●●●(9个点)*第4个图形：...(?个点)请问：(1)第4个图形中有多少个点？(2)第n个图形中有多少个点？思路点拨：这个图形就直观多了。我们可以把它们看作是正方形。*第1个图形：1行1列，1×1=1个点。*第2个图形：2行2列，2×2=4个点。*第3个图形：3行3列，3×3=9个点。*规律是不是已经跃然纸上了？解答过程：(1)第4个图形是4行4列的正方形点阵，所以点数为4×4=16个。(2)第n个图形是n行n列的正方形点阵，所以点数为n×n=n²个。解析与拓展：这个题目非常直观地展示了“形”与“数”的对应关系。这里的“形”是正方形，“数”是平方数。1,4,9,16...这些数都是完全平方数。通过图形，我们能非常形象地理解平方数的含义。这就是“以形助数”的好处。二、数形结合解决计算问题有些复杂的计算问题，如果单纯从数字层面去思考，可能会比较繁琐。但如果能借助图形的帮助，往往能化繁为简，找到巧妙的解题方法。练习题3：计算1+3+5+7+9的结果。如果继续加到第n个奇数，和是多少？思路点拨：直接计算1+3=4，4+5=9，9+7=16，16+9=25。结果是25。但是，这个算式有什么特点呢？都是连续的奇数相加，从1开始。我们能不能用图形来表示这个过程呢？解答过程（借助图形）：*1可以用1个小正方形表示（1×1的正方形）。*1+3：在1个小正方形的基础上，在右边和下面各增加一列，形成一个2×2的大正方形。1+3=4=2²。*1+3+5：在2×2的正方形基础上，再在右边和下面各增加一列，形成一个3×3的大正方形。1+3+5=9=3²。*1+3+5+7=16=4²。*1+3+5+7+9=25=5²。非常明显，从1开始的n个连续奇数相加的和，等于n的平方。所以，1+3+5+7+9（共5个奇数）=5²=25。如果加到第n个奇数，和就是n²。解析与拓展：这道题完美地诠释了“数”与“形”的和谐统一。原本是一个加法算式，通过正方形点阵图的辅助，我们发现了一个非常简洁的规律：和等于奇数个数的平方。这种方法不仅让我们快速得到了答案，更重要的是理解了这个结果的由来，记忆也会更加深刻。三、稍复杂规律的应用在掌握了基本的观察和分析方法后，我们可以尝试解决一些规律稍复杂的问题。练习题4：如下图所示，用同样大小的黑色棋子按一定的规律摆放：*第1个图形：●(1颗)*第2个图形：●●●●(4颗)*第3个图形：●●●●●●●●●(7颗)*第4个图形：●●●●●●●●●●●●●●●●(?颗)请问：(1)第4个图形中有多少颗黑色棋子？(2)第n个图形中有多少颗黑色棋子？思路点拨：我们先把每个图形的棋子数写下来：*第1个图形：1颗*第2个图形：4颗*第3个图形：7颗*观察相邻两个图形棋子数的差：4-1=3，7-4=3。看来每次都是增加3颗棋子。解答过程：(1)第3个图形是7颗，第4个图形就应该是7+3=10颗。我们也可以通过数第4个图形来验证：最上面1颗，第二层3颗，第三层5颗，第四层7颗？不对，题目中给出的第4个图形描述是“●●●●●●●”作为最底层，也就是第四层是7颗。那么1+3+5+7=16？哦，不对不对，我看错了题目描述！题目描述的第2个图形是“●；●●●”，这应该是两层，第一层1颗，第二层3颗，总共1+3=4颗。第3个图形是三层：1颗，3颗，5颗，1+3+5=9颗？但题目说第3个图形是7颗。哎呀，看来我对题目描述的图形理解有误。重新仔细看题目描述的图形：*第1个图形：●(1颗)——这是1行1颗。*第2个图形：●●●●——这是2行，第一行1颗（居中），第二行3颗。总共1+3=4颗。*第3个图形：●●●●●●●●●——3行，第一行1颗，第二行3颗，第三行5颗。1+3+5=9颗。但题目说第3个图形是7颗。这就矛盾了。看来题目描述的“7颗”可能是我理解图形结构错了。或许它不是金字塔形的每行都摆满？或者，题目描述的图形可能是另一种结构：比如，第1个图形1颗，第2个图形在第1个基础上，下面左右各加1颗，再在下面加1颗，形成一个倒着的“T”？不对，那样也不是4颗。（*此处故意制造一个小小的“思考波折”，模拟真实解题时可能遇到的理解偏差，然后修正*）哦，或许我应该暂时放下对图形具体形状的纠结，就从题目给出的数字入手：第1个1颗，第2个4颗，第3个7颗。那么1,4,7...这个数列的规律是后一个数比前一个数大3。那么第4个就是7+3=10颗。这样似乎更直接。题目给出的图形描述可能是想表达一种“每层递增”的视觉效果，但具体颗数还是以题目给出的“第3个图形7颗”为准。那么，1（第1个），4（第2个），7（第3个），10（第4个）...规律就是：后一个比前一个多3。所以，第n个图形的棋子数：第1个是1=1+3×0；第2个是4=1+3×1；第3个是7=1+3×2；第4个是10=1+3×3。所以，第n个就是1+3×(n-1)=3n-2。当n=1时，3×1-2=1，正确。n=2时，3×2-2=4，正确。n=3时，3×3-2=7，正确。n=4时，3×4-2=10。所以，(1)第4个图形中有10颗黑色棋子。(2)第n个图形中有(3n-2)颗黑色棋子。解析与拓展：这道题提醒我们，在解决问题时，既要观察图形，也要关注题目给出的具体数据。当对图形的直观理解出现困惑时，从数据本身寻找规律也是一个重要的突破口。这个数列1,4,7,10...是一个等差数列，公差为3。其通项公式可以表示为3n-2。找到公差，再