初中数学-证明圆的切线经典例题

初中数学-证明圆的切线经典例题在初中几何的学习中，圆的切线是一个非常重要的知识点，其证明更是各类考试中的常见题型。切线的判定不仅考察我们对圆的基本性质的理解，还常常与全等三角形、等腰三角形、勾股定理等知识紧密结合，综合性较强。掌握切线的证明方法，需要我们具备清晰的思路和扎实的基础。本文将带你梳理证明圆的切线的常用思路，并通过经典例题的解析，帮助你更好地掌握这一重难点。一、切线的判定定理——核心依据要证明一条直线是圆的切线，最根本的依据是切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。这个定理包含两个关键要素，缺一不可：1.直线经过半径的外端（即直线与圆有一个公共点）；2.直线垂直于这条半径。因此，我们的证明思路也主要围绕这两个要素展开。二、证明切线的常用思路与方法在具体题目中，我们通常会遇到两种情况，对应不同的证明策略：（一）已知直线与圆有公共点（“连半径，证垂直”）如果题目中明确给出直线与圆有一个公共点，或者通过图形可以直接观察到直线经过圆上一点，那么我们的第一步就是连接圆心与这个公共点，得到一条半径。此时，我们只需要证明这条半径与待证直线垂直即可。核心步骤：1.连半径：连接圆心O与直线l和圆的公共点A，得到半径OA。2.证垂直：证明OA⊥直线l。（证明垂直的方法多样，如利用角度关系、全等三角形、勾股定理逆定理等）（二）未知直线与圆是否有公共点（“作垂直，证半径”）如果题目中没有明确给出直线与圆的公共点，或者我们难以直接判断直线是否经过圆上一点，那么我们通常的做法是过圆心向这条直线作垂线，然后证明这个垂线段的长度等于圆的半径。核心步骤：1.作垂直：过圆心O作直线l的垂线，垂足为点A。2.证半径：证明垂线段OA的长度等于圆的半径r。三、经典例题解析例题1（已知公共点，连半径，证垂直——利用角度关系）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD是∠BAC的平分线，且CD⊥AE，垂足为D。求证：CD是⊙O的切线。分析：题目中提到点C在⊙O上，因此CD与⊙O的公共点是C。我们可以连接OC，证明OC⊥CD即可。证明：连接OC。∵OA=OC（同圆半径相等）∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）∵AD是∠BAC的平分线∴∠CAD=∠OAC∴∠CAD=∠OCA（等量代换）∴OC∥AD（内错角相等，两直线平行）∵CD⊥AE∴∠ADC=90°∵OC∥AD∴∠OCD=∠ADC=90°（两直线平行，同位角相等）即OC⊥CD∵OC是⊙O的半径，且CD经过点C∴CD是⊙O的切线（切线的判定定理）点评：本题通过连接半径OC，将证明切线的问题转化为证明OC与CD垂直。利用角平分线的性质和等腰三角形的性质得到平行线，再由平行线的性质得出垂直关系，思路清晰自然。例题2（已知公共点，连半径，证垂直——利用全等三角形）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E。求证：DE是⊙O的切线。分析：要证DE是⊙O的切线，观察图形，DE与⊙O的公共点应为D（因为D在⊙O上）。故连接OD，证明OD⊥DE。证明：连接OD、AD。∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）即AD⊥BC∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形∴BD=DC（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）∵OA=OB∴OD是△ABC的中位线∴OD∥AC∵DE⊥AC∴∠DEC=90°∵OD∥AC∴∠ODE=∠DEC=90°（两直线平行，内错角相等）即OD⊥DE∵OD是⊙O的半径，且DE经过点D∴DE是⊙O的切线（切线的判定定理）点评：本题同样采用“连半径，证垂直”的思路。通过直径所对圆周角为直角、等腰三角形三线合一的性质，得出OD是中位线，进而利用平行线性质证明垂直。例题3（未知公共点，作垂直，证半径——利用勾股定理逆定理）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。以点C为圆心，r为半径作圆。当r为何值时，⊙C与AB相切？分析：题目问的是⊙C与AB相切时的r值。AB是直线，⊙C的圆心是C，我们不知道AB与⊙C是否有公共点，因此过点C作AB的垂线，垂足为D，当CD=r时，AB与⊙C相切。此时问题转化为求CD的长度。解答：过点C作CD⊥AB于点D。在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8∴AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10（勾股定理）∵S△ABC=(1/2)×AC×BC=(1/2)×AB×CD∴(1/2)×6×8=(1/2)×10×CD∴24=5×CD∴CD=24/5=4.8∴当r=4.8时，⊙C与AB相切。点评：本题是“作垂直，证半径”思路的应用。通过计算斜边上的高，得到圆心到直线的距离，当这个距离等于半径时，直线与圆相切。这体现了代数计算在几何证明中的应用。四、证明技巧小结1.“见切点，连半径”：这是遇到切线问题（无论是已知切线还是要证切线）时的一个非常重要的辅助线作法。连接圆心和切点后，半径与切线垂直这一性质（或判定条件）往往是解题的关键。2.证明垂直的常用方法：*利用已知的直角（如直角三角形、矩形的内角）。*利用等腰三角形“三线合一”的性质。*利用平行线的性质（两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补）。*利用全等三角形或相似三角形对应角相等。*利用勾股定理的逆定理（若a²+b²=c²，则以a、b、c为边的三角形是直角三角形）。*利用互余的角的关系。3.证明线段相等（用于“证半径”）：*利用全等三角形对应边相等。*利用等腰三角形、等边三角形的性质。*利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等）。*利用垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）。*通过代数计算得出线段长度相等。五、总结证明圆的切线，关键在于牢牢抓住切线的判定定理，明确“连半径，证垂直”和“作垂直，证半径”这两种核心