福建福州屏东中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建福州屏东中学2025-2026学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的虚部为（）A. B.0 C.1 D.6【答案】C2.向量，则（）A.“”是“”的必要条件B.“”是“”的充分条件C.“”是“”的必要条件D.“”是“”的充分条件【答案】D3.在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，则（）A. B.C. D.【答案】A4.如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（

）A. B. C. D.【答案】B5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】B6.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C7.海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（）A. B. C. D.【答案】D8.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之棊，其形露矣.”即将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示为鳖臑，平面，，，分别在棱，上，且，.若，则三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数（i为虚数单位），则下面结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】BD10.在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（）A.B.C.面积的最大值为D.若，角的平分线交于点，则【答案】BCD11.如图，矩形中，为的中点，为的中点，交于点，将沿直线翻折到，连接为的中点，则在翻折过程中，下列合题中正确的是（）A.翻折过程中，始终有平面平面 B.翻折过程中，的长是定值C.若，则 D.存在某个位置，使得【答案】ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是___________．【答案】##13.已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________.【答案】314.已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为________.【答案】8四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，.（1）若，求在上的投影向量的坐标；（2）设，若，求向量与的夹角的余弦值.解：（1）因为，所以，即，因为，，所以，，所以，解得，所以，所以，，故在上的投影向量为，故在上的投影向量的坐标为；（2）因为，所以，即，所以，所以，，所以，，，故.16.如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形,.．（1）求该几何体的表面积；（2）求该几何体的体积．解：（1）设是的中点，连接.因为是边长为6的正三角形，所以，且，所以该几何体的表面积.（2）连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高，则，所以.又正方体的体积为，所以该几何体的体积.17.在中，角的对边分别为．已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）已知，由正弦定理，得，显然，得，由，故.（2）由（1）知，且，，由余弦定理，则，解得（舍去），故.（3）由正弦定理，且，得，且，则为锐角，故，故，且；故.18.如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点．求证：（1）直线平面；（2）平面平面；（3）若正方体棱长为1，过，，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．（1）证明：连接SB，由EG为△CSB的中位线，可得EG∥SB，由EG⊄平面BDD1B1，SB⊂平面BDD1B1，可得EG∥平面BDD1B1；（2）证明：由EF∥DB，EF⊄平面BDD1B1，DB⊂∥平面BDD1B1，可得EF∥∥平面BDD1B1，又由（1）可得EG∥平面BDD1B1，EF∩EG＝E，可得平面EFG∥平面BDD1B1；（3）证明：取B1C1的中点N，连接A1N，NE，可得AE∥A1N，AE＝A1N，取A1D1的中点M，连接MC1，AM，可得MC1＝A1N，MC1∥A1N，可得截面AEC1M为平行四边形，且AE＝EC1＝AM＝MC1＝＝，所以截面的面积为×A1C1×ME＝××＝．19.已知三个内角的对边分别为，且，的内心、重心、外心、垂心依次记为点，如图所示．（1）求；（2）连接，并延长交边于点，用，做基底来表示；（3）被誉为“数学之王”的瑞士数学家欧拉，在1765年发表了令人赞美的欧拉线定理：设的外心，重心，垂心分别是，则三点共线（欧拉线），且，请运用欧拉线定理，求的值．解：（1）由余弦定理，得到，代入，得，则，又因为，所以.（2）设，其中，因为是内心，所以到的距离相等，所以，又，所以，所以，所以，，连