福建福州市福清市2025-2026学年高一下学期期中适应性练习数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建福州市福清市2025-2026学年高一下学期期中适应性练习数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得.2.若是任意两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于A选项，单位向量的方向不同时，不满足；对于B选项，，故不满足；对于C选项，，故错误；对于D选项，两个单位向量满足，故正确.故选：D.3.在中，已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，设，，，所以由余弦定理得，因为为的内角，所以.4.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是，其中，则原图形的面积为（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】直观图为直角三角形，由斜二测规则，轴与轴夹角为，所以直观图中三角形为等腰直角三角形因为,所以，.由斜二测画法原理，还原平面图形如下:，则原图形的面积为.5.已知复数，则z的虚部为（）A. B. C.2 D.2i【答案】C【解析】，则z的虚部为2.6.在中，已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为在中，，则，所以由正弦定理得，即，解得.7.在中，，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由正弦定理得，即，解得，又因为，则，，由题意知AC→所以向量在向量上的投影向量为(AC→cos8.在气象台A的正西方向400km处有一台风中心，它向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心300km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】设台风中心为B，为台风经过的路径所在的直线，则，过A作于C，则AC=ABsin45，∴气象台所在地会受到台风的影响，设以A为圆心，以为半径的圆与直线交于E，F两点，设，由余弦定理得是方程的根，方程整理得，，，则，则气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在下列向量中，与向量可以构成一组基底的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】不存在使1,3=λ1,2或3,5=λ1,2成立，所以A可知2,4=21,2，4,8=41,2，所以B10.下列命题正确的有（）A.三棱台的各侧棱所在直线必交于一点B.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形C.一条直线和一个点确定一个平面D.四边形可以确定一个平面【答案】AB【解析】对A，根据棱台的定义知三棱台的各侧棱所在直线必交于一点，故A正确；对B，根据正棱锥的特点知：正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故B正确；对C，当点在直线上时，不能确定平面，故C错误；对D，空间四边形不在一个平面内，故D错误．11.下列结论正确的是（）A.若复数z满足，则B.若复数，在复平面内分别对应向量，，则对应的复数为C.在复平面内，若复数z对应的点为，则复数对应的点在第一象限D.若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为【答案】BCD【解析】对于选项A：例如也满足，故A错误；对于选项B：因为，，所以，所以向量对应的复数为，故B正确；对于选项C：复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，故C正确；对于选项D：复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若一个三棱台的上、下底面面积分别为4，9，高为6，则该棱台的体积为__________.【答案】【解析】V台=13.已知复数，则__________.【答案】1【解析】，则.14.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，，则的面积为__________.【答案】【解析】由余弦定理得，即，即，即，解得或（舍去）.则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数.（1）若z为纯虚数，求m的值；（2）若复数z对应的点位于直线上，求复数z.解：（1）若z为纯虚数，则m2+2m-3=0m（2）复数z对应的点坐标为，若该点在直线上，则，整理得，解得或.当时，；当时，.16.已知圆柱的底面半径r和高h均为20cm.（1）若从圆柱的上底面挖去与该圆柱同底等高的圆锥，求剩下几何体的表面积；（2）若向圆柱装入的水，再放入半径为8cm的质地均匀的圆球.如果圆球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会溢出？解：（1）由题可知，圆柱的底面积为πr2=400圆柱的侧面积为2πrh=800与圆柱同底等高的圆锥的母线长为h2+r所以其侧面积为π×20×20所以剩下的几何体的表面积为400π（2）由题意得，圆柱的体积为πr2圆球在水中的部分的体积为23因为7544π<8000π-4096所以8000π所以水不会溢出来.17.如图，在平行四边形中，，，.设，.（1）用，表示，，；（2）用向量方法证明；（3）如果，，有怎样的位置关系？证明你的结论.解：（1）由已知，，.因为是平行四边形，所以，.又，故.EF=EG=GD=（2）由（1）知，.观察得GD=2故与共线，又因为EF,GD不重合，因此.（3）当时，.证明如下:由（1）可知，.所以EF⋅代入，得，所以.因此.18.已知的内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，，求的周长；（3）若的面积为，求a的最小值.解：（1）由余弦定理可得.已知，即.代入得，又，故.（2）已知，，，由正弦定理，得，，sinC=所以，的周长为.（3）由面积公式，代入，得，由余弦定理，结合基本不等式，得，即，当且仅当时取等号，故的最小值为.19.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线记为.（1）证明：；（2）若的面积为，，，求b，c；（3）是否存在，使得？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（1）取的中点，则，且.设，则.在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得.两式相加，得，所以.（2）由第（1）问结论和，，得，解得，即.又由余弦定理得，所以，即.因为的面积为，所以，即.将两式平方相加，得，所以.又，所以，即.因此是方程的两