福建龙岩第一中学等校2025-2026学年高一第二学期期中测试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建龙岩第一中学等校2025-2026学年高一第二学期期中测试数学试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为（）A.3 B. C. D.4【答案】A2.如图，点O为正六边形的中心，则（）A. B. C. D.【答案】D3.已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】B4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】C5.已知向量，满足，，，则在上的投影向量等于（）A. B. C. D.【答案】C6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S．若，，且，则（）A. B. C. D.【答案】C7.在菱形中，，，P为菱形所在平面内的动点，且，则的最小值为（）A.4 B. C. D.【答案】B8.已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2，6，高为4，P，Q分别是侧棱，的中点，经过P，Q作该正四棱台外接球的截面，则截面面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D9.若复数，则（）A.z的虚部为7 B.z在复平面内对应的点位于第三象限C. D.z是方程的一个根【答案】AD10.已知的内角的对边分别为，则（）A.若，则B.若，则是锐角三角形C.若，则D.若满足，的有两个，则边长的取值范围是【答案】ACD11.如图，在棱长为2的正方体中，Q为的中点，动点P在侧面内且满足，，，则下列结论正确的是（）A.若，则四面体的体积为B.若，则C.若存在点P，使平面，则长度的最小值是D.若，则的最小值为【答案】ABD12.如图，的斜二测画法的直观图是，其中，那么的面积为____．【答案】13.在梯形中，，，设（，），则____．【答案】##14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，且，则面积的最大值为____．【答案】16四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，．（1）若向量，求实数k的值；（2）若向量满足，求的值．解：（1）由，，得，．因为，所以，解得．（2）由，，得，，由，得，，解得，所以，则．16.已知复数（），且为实数，其中i为虚数单位．（1）求复数z；（2）在复平面内，设复数，，对应的点分别为A，B，C，若四个点A，B，C，D构成平行四边形，求点D对应的复数．解：（1）因为，所以，则，所以，所以．（2）由题意可知，，，所以，，．设，又为平行四边形，所以，即，解得，，故，即点D对应的复数为．17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若的平分线交边于点D，且，，求的面积．解：（1），，即，即，，，．（2）在中，由正弦定理得，．在中，由正弦定理得，．两式相除可得，即．在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，解得，．的面积．18.如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点．（1）求证：D，B，F，E四点共面．（2）设平面平面，求证：．（3）棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：连接．因为，分别为棱，的中点，所以，又在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以，，，四点共面．（2）证明：由（1）知，又平面，平面，所以平面．因为平面平面，平面，所以．（3）解：存在，且．理由如下：取的中点，连接，．因为，分别为，的中点，所以，，又，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以．设为的中点，所以，所以，又平面，平面，所以平面．故存在所求的点，且．19.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（1）已知．（ⅰ）求角B；（ⅱ）若，且为锐角三角形，求面积的取值范围．（2）设P为内一点，满足，若，，求实数的最小值．解：（1）（ⅰ）因为，所以由正弦定理得，又，所以，由，，所以，即，又，所以，得．（ⅱ）因为是锐角三角形，且，所以，，又，所以，则，因为，所以，则，从而，故面积的取值范围是．（2）因