福建泉州第五中学2025-2026学年高二下学期期中模拟卷3数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建泉州第五中学2025-2026学年高二下学期期中数学模拟卷3一、单选题1.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则等于（）A. B. C. D.【答案】A2.有五名同学站成一排照相，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻，则所有不同的排法有（）种A. B. C. D.【答案】A3.已知数列的前项和为，满足，则的值为（）A.63 B.126 C.128 D.254【答案】B4.已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（）A. B.2 C. D.3【答案】D5.设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知，则下列说法不正确的是（）A.B.C.若A，B是相互独立事件，则D.若A，B是互斥事件，则【答案】B6.已知函数对定义域内任意，都有，则正实数取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C7.在送教下乡活动中，某学校安排甲、乙、丙、丁、戊五名老师到3所乡学校工作，每所学校至少安排一名老师，且甲、乙、丙三名老师不同时安排在同一学校，则不同的分配方法总数为（）A.36 B.72 C.144 D.108【答案】C8.已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】A二、多选题9.若甲，乙，丙，丁，戊五人要前往A，B，C，D四个景区游玩且每个人都必须分配到游玩的景区，则下列说法正确的是（）A.若每个景区都必须有人游玩，则一共有240种分配方法.B.若每个景区都必须有人游玩且甲，乙二人不能去同一个地方，则一共有216种分配方法.C.若只能选择两个景区游玩且甲，乙二人必须去同一个地方，则一共有84种分配方法.D.若至多有一个景区没有人游玩，则一共有600种分配方法.【答案】ABC10.已知函数，则下列说法正确的有（）A.，都有两个极值点B.当时，仅有一个零点C.若的单调递减区间为，则在区间的值域为D.存在实数，使直线与的图象交于A、B、C三点，且B为中点【答案】BD11.将按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将”杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则下列说法正确的是（）A.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为B.在“杨辉三角”中，记第行的第个数为，则C.在“谢尔宾斯基三角形”中，第行全行都为黑色圆D.在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆少一个【答案】ABC三、填空题12.的展开式中含项的系数为___________.【答案】13.某学校有A，B两家餐厅，张同学第一天午餐随机地选择一家餐厅用餐.如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6.则张同学第二天去B餐厅用餐的概率为__________.【答案】14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则______．【答案】##四、解答题15.已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）求在区间上的值域.解：（1）由求导得，因为在处取得极值，所以，解得经验证，在处取得极值，符合题意.故.（2）由（1）可得，因为，所以当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增.因为，且，所以，故在区间上的值域为.16.已知甲盒中有2个红球，4个白球，乙盒中有3个红球，5个白球，这些球除了颜色外完全相同．（1）从甲盒中有放回地取球，每次取1个，共取3次，记这3次中取出红球的次数为随机变量，求的数学期望和方差；（2）从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为随机变量，求的分布列．解：（1）由题意知，所以，（2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，4，所以的分布列为：0123417.已知椭圆的离心率为，椭圆经过点．（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆的左、右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与不重合）．设直线的斜率为，直线的斜率为，且．（i）求证：；（ii）设弦的中点为，为坐标原点，直线与椭圆交于两点，求四边形面积的取值范围．解：（1）椭圆经过点，，设椭圆的半焦距为，则，，，椭圆的方程为：.（2）（i）连接，由椭圆方程知：，，设，，，，，又，，即，；（ii）易知直线斜率不为，可设直线方程为：，由得：，则，，，，，即，，又，，整理可得：，解得：，，，，，当时，与轴重合，即，此时；当时，，，则直线，即，由得：，，则点到直线的距离分别为，，且与异号；，，，，且，即；综上所述：的取值范围为.18.已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止.（1）经过2次操作后，记盒子中红球的个数为，求的分布列和数学期望.（2）记次操作后游戏终止的概率为.(i)求关于的表达式;(ii)求的最大值.解：（1）由题意知，的所有可能取值为0，1，2，且，，，所以的分布列为012的数学期望.（2）（i）由题意知：，当时，第次操作后游戏终止分两种情形：①第1次摸出的是黑球，则还需次摸球游戏才能终止，则；②第1次摸出的是红球，则剩下次摸球中，最后1次摸出红球，中间次摸出的都是黑球，则，所以，即当时，.又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，即.(ii)当时，，令，得，两边同时乘以得：，所以，即，当时上述不等式成立，故，当时，，因为是减函数，所以当时，，故，所以最大，即的最大值为.19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）若有两个极小值点，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值．解：（1）当时，，则，则，所以曲线在点处的切线方程为．（2），令，则，若，则，所以在上单调递增，所以，若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，故，因此当时，，单调递减；当时，，单调递增．（3）由（2）知时不符合题意；当时，易知在上单调递减，在上单调递增，，且，，当时，，故存在，使，又，故，