福建福州市台江区九校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（学生版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建福州市台江区九校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知平面向量，，若向量与共线，则（）A. B.2 C.5 D.2.复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（）A. B. C.1 D.3.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为15，圆台的侧面积为，则圆台较小底面圆的半径为（）A.7 B.6 C.5 D.34.在中，D为的中点，E为上一点，则（）A. B. C. D.5.如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，则原图形的面积是（）A.4 B. C.8 D.6.已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件7.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（）A. B. C. D.8.平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共30分）9.已知向量，，则（）A. B.向量,的夹角为C. D.在方向上的投影向量是10.下列说法正确的是（）A.B.C.若，则的最小值为2D.若是关于的方程的根，则11.对于有如下命题，其中正确的是（）A.若，则为钝角三角形B.若，且有两解，则的取值范围是C.在中，若，则不等式恒成立D.在中，若，则必是等边三角形三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.一个底面半径为2cm的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为1cm的实心铁球，沉入水底后，水未溢出容器，则水面升高了________cm．13.海上一观测站测得南偏西的方向上有一艘停止待维修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船距观测站海里，20分钟后测得海盗船位于距观测站20海里的处，再经___________分钟海盗船到达商船处．14.如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为______________.四、解答题（本大题共5小题，共77分）15.已知复数．（1）若是纯虚数，求的值；（2）若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围．16.如图，在平行四边形中，E为的中点，设.（1）用表示；（2）若，且，求.17.如图，在中，，，点D在线段BC上.（1）若∠ADC=，求AD的长；（2）若BD=2DC，△ADC的面积为，求AC的长.18.如图，在高为2的正三棱柱中，是棱的中点．（1）求该正三棱柱的体积；（2）求三棱锥的体积；（3）设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值．19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的