福建省泉州四校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省泉州四校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在的展开式中，含项的系数是（）A.21 B.84 C.-21 D.-84【答案】B【解析】展开式的通项为：，令，则，系数为故选:B.2.函数在处的瞬时变化率为（）A. B.1 C.6 D.12【答案】D【解析】因为，所以在处的瞬时变化率为12.故选：D.3.随机变量与满足，若，则（）A.8 B.5 C.4 D.2【答案】A【解析】.故选：A.4.遵义市为弘扬长征精神，计划将5本不同的《红色遵义》宣传册分给甲、乙、丙三个志愿者小屋．若要求每个志愿者小屋至少得到1本，则不同的分配方法共有（）A.150种 B.180种 C.240种 D.300种【答案】A【解析】第一步：分组将5本不同的宣传册分成3组，每组至少1本，有以下2种情况：①3－1－1型：分组数为（种）；②2－2－1型：分组数为（种）合计：（种）．第二步：分配将分好的3组宣传册分配给甲、乙、丙三个志愿者小屋，分配方式有（种）．根据分步乘法计数原理，得不同的分配方法共有（种）．故选：A．5.某人外出，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.2．若邻居浇水的概率为P，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.74，则实数P的值为（）A.0.9 B.0.85 C.0.8 D.0.75【答案】A【解析】记A为事件“盆栽没有枯萎”，W为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得，由对立事件的概率公式可得.由全概率公式可得，解得故选：A.6.已知函数的导函数满足：对任意的都有，若，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，则，因为对任意的都有，所以，所以在上单调递减，不等式等价于，即，所以，解得，故选：D．7.某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】事件：数学不排第一节，物理不排最后一节.若物理安排在第一节，其它4节课安排4科，作全排有种；若物理不在第一节，中间3节课任选一节上物理，余下的4节课去掉第1节课的3节课中任选一节上数学，最后剩下的3节课安排3科，做全排有种；综上，事件A的安排数有种；事件：化学排第四节.若物理安排在第一节，其它3节课安排3科，作全排有种；若物理不在第一节，中间前2节课任选一节上物理，余下的1节课和最后一节课任选一节上数学，最后剩下的2节课安排2科，做全排有种；综上，事件B的安排数有种；5科任意排有种，所以，，故满足条件的概率是.故选：B.8.若，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以，又，，所以，所以，设，则，当时，，仅当时等号成立，则在上单调递减，而，故，即，所以，综上所述，可得.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（）A.共有种排列方式 B.若两个“将”相邻，则有种排列方式C.若两个“将”不相邻，则有种排列方式 D.若同色棋子不相邻，则有种排列方式【答案】ACD【解析】A选项，由排列知识可得共有种排列方式，A正确；B选项，两个“将”捆绑，有种情况，再和剩余的4个棋子进行全排列，故共有种情况，B错误；C选项，两个“将”不相邻，先将剩余3个棋子进行全排列，共有4个空，再将两个“将”插空，故共有种情况，C正确；D选项，将2个黑色的棋子进行全排列，共有3个空，再将3个红色的棋子进行插空，则有种排列方式，D正确.故选：ACD10.如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉所著的《详析九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（）A.第2026行的第1013个数最大B.第8行所有数之和为256C.D.记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则【答案】BCD【解析】A错，因为第行的第rr≤2027个数是，由组合数性质可知，为的最大值，所以第行的第个数最大；B对，由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数之和为；C对，因为；D对，由题意知，故D正确.11.已知函数，其导函数为，下列说法正确的有（）A.若，则B.时，的单调递减区间为C.时，为的极值点D.时，无零点【答案】ABD【解析】易知的定义域为，，对于A，因为，则，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，当时，，由，解得，又在处有意义，所以的单调递减区间为，故B正确；对于C，当时，，因为，所以恒成立，当且仅当时取等号，故在区间上单调递增，则无极值点，故C错误；对于D，因为，当时，易知在区间上单调递减，又时，，，所以，使得，即，当时，，当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，则，令，则，当时，，则在区间上单调递增，所以，即，所以恒成立，无零点，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量X的分布列为X123P则的值为________________．【答案】21.2【解析】由表中数据可知，，根据离散型随机变量分布列的均值公式可知，故答案为：21.213.已知，，，则________.【答案】##0.5【解析】由，即，解得，又，即，解得，而，则，所以.故答案为：.14.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是________________．【答案】【解析】函数的定义域为，是奇函数，求导得，由基本不等式得：，当且仅当时取等号且，，在上严格单调递增，由，得，，分离参数得：，在上恒成立，令，利用，化简得，设，求导得，在上严格单调递增，的取值范围为：，令，求导得，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，在处取得最小值：，即在上的最小值为，要使恒成立，只需，即的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间和极值．解：（1）由题意知，则所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）的定义域为，由（1）知，令，得或；令，得或，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和．易知的极大值为，极小值为．16.甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球．（1）若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率；（2）若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率．解：（1）从甲箱中任取2个小球的事件数为，这2个小球同色的事件数为，所以这2个小球同色的概率为．（2）设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”，事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”，事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”，事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”，则事件，，彼此互斥．，，，，，，所以，所以取出的这个小球是白球的概率为．17.已知函数存在两个极值点、，记、．（1）若，求的值；（2）若曲线上存在点，使得，求的取值范围．解：（1）因为，则，因为函数有两个不等的极值点、，则，可得，令，解得，，因为，，此时、，所以，整理可得，解得.（2）因为、，则，所以点在线段的中垂线上.又在曲线上，则方程存在正数解，即在存在零点.可知，由可得，由可得，故在上单调递增，在上单调递减.因为，由零点存在定理可知，只需即可，可得，又因为，解得，所以的取值范围为.18.某种比赛采用“局胜”制（即累计先赢局者获得本场比赛胜利）．在该比赛中，选手甲对阵选手乙，假设每一局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为（每局比赛结果相互独立，不受之前战局影响，且无平局）．（1）当时，若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；（2）如果选择以下方案中的一种：方案一：若采用“5局3胜”制，甲累计先赢3局比赛结束的概率为．方案二：设甲乙赛满5局比赛，甲至少赢3局比赛的概率为．比较和的大小；（3）记“局胜”制比赛中甲获得最终胜利的概率为，记“局胜”制比赛中，甲在第一局输的条件下甲获得最终胜利的概率为，证明：．解：（1）由题意，，，即采用3局2胜制，所有可能值为2，3，则.则的分布列如下，23所以.（2）由题意，采用“5局3胜”制，甲只要取得3局比赛的胜利，比赛结束且甲获胜，则；在甲乙比赛满5局，甲至少取得3局比赛胜利，设甲赢的局数为，那么服从二项分布，即，则，所以.（3）设甲乙进行局比赛，甲赢的局数为，则，“局胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲要获得最终胜利可拆解为：若第2局甲输，则后续最多局比赛，甲至少胜局，若第2局甲胜，则后续最多局比赛，甲至少胜局，由全概率公式得，故.19.已知函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求实数a的取值范围；（3）若存在不等实数和，满足，且，求的取值范围．解：（1）函数中，当时，；当时，当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为，求导得，令，解得，当时，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；