福建漳州市第三中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题（教师版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建漳州市第三中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知函数，则（）A. B.2 C.3 D.6【答案】D2.下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，其中最小的是（）A. B.C. D.【答案】B3.已知随机变量X服从正态分布，若，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【答案】B4.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是（）A. B. C. D.【答案】D5.为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用2×2列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（）A.0.1% B.1% C.99% D.99.9%【答案】B6.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B7.如图，在直三棱柱中，，，，，为棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A8.若函数，且，则正实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.以下函数求导正确的有（）A. B.C. D.【答案】AD10.一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品．先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以，和表示由甲盒取出的产品是一等品，二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以表示由乙盒取出的产品是一等品的事件．则下列结论中正确的是（）A.； B.；C.事件与事件相互独立； D.．【答案】ABD11.如图，在棱长为3的正方体中，点P为线段上的一个动点，则（）A.三棱锥的体积为定值B.存在点P，使平面C.若，则二面角的余弦值为D.若，则过点，D，P三点的平面截正方体所得截面的周长为【答案】ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，则在上的投影向量为________．【答案】13.已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为_________．【答案】14.若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则__________.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数在处取得极小值，且极小值为.（1）求，的值；（2）求在上的值域.解：（1）由题意可得，因为在处取得极小值，且极小值为，所以，解得，此时，当，，当，，则满足在处取得极小值，故.（2）由(1)得，，当时，令解得，令解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为，又因为，所以在上的最小值为，故在上的值域为.16.某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为.256891620212810.9619.242227.5230.28（1）求的值；（2）现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望；（3）已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好.解：（1），，因为，即，解得.（2）5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值，所以可能取值为，，，，所以X的分布列为012期望.（3），，所以经验回归方程的拟合效果是不良好.17.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点，且．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：连接交于点，连接，因为是矩形，所以为中点，又为中点，所以，因为平面，平面；所以平面；（2）因为平面，是矩形，所以两两垂直，以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面的一个法向量，，令，得，所以点到平面的距离；（3）显然是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为．18.为了提高学生复习的效果，某中学提出了两种学习激励方案，其中甲方案：课前提前预习并完成同步小练习可以获得分，课前提前预习但没有完成同步小练习可以获得分，课前没有提前预习也没有完成同步小练习则扣除分（即获取分），其中对学生调查发现甲方案中三种情况的概率分别为、、；乙方案：每天多做一套试题则获得分，若不能按时多做一套试题则扣除分（即获取分），若每天多做一套试题的概率为，每位同学可以参加两次甲方案或乙方案（但是甲、乙两种方案不能同时参与，只能选择其一），且两次方案互不影响规定参加两次方案后获得的分数为正，则获得学校的嘉奖；获得的分数为负，则没有嘉奖.（1）若，试问学生选择哪种方案更容易获得嘉奖？请说明理由；（2）当在什么范围内取值时，学生参与两次乙方案后取得的平均分更高？解：（1）由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、、、，当取、、、时，学生参与两次甲方案获得奖品，，，，.所以，.随机变量的可能取值有：、、，当取、时，学生参与两次乙方案获得奖品.，，所以，.，因此，当时，学生选择乙方案更容易获得奖品；（2）由题意可得，，所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，.由题意得，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，.由题意可得，即，解得，又，则.因此，的取值范围是.19.已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.解：(1)当时，，，由于，故单调递增，注意到，故：当时，单调递减，当时，单调递增.(2)[方法一]分离参数：由得，，其中，①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；②.当时，分离参数a得，，记，，令，则，，故单调递增，，故函数单调递增，，由可得：恒成立，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；因此，,综上可得，实数a的取值范围是.[方法二]特值探路：当时，恒成立．只需证当时，恒成立．当时，．只需证明⑤式成立．⑤式，令，则，所以当时，单调递减；当单调递增；当单调递减．从而，即，⑤式成立．