广东惠州市博罗县2025-2026学年高一第二学期阶段性教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东惠州市博罗县2025-2026学年高一第二学期阶段性教学质量检测数学试题一、单选题（本小题共有8个小题，每小题5分，共40分）1.已知复数满足，则为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得到，所以.故选：C.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.3.如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（）A.12 B.24 C. D.【答案】A【解析】由斜二测画法的规则，可知原图是直角三角形，且，，故原图的面积为：，故选：A.4.在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（）A.30° B.60°C.30°或60° D.60°或120°【答案】A【解析】由正弦定理，代入已知条件

，，，可得，由三角形"大边对大角"的性质，

，因此

.5.已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（）A.0 B.1 C.8 D.4【答案】C【解析】由于向量在向量上的投影向量为，故可得，即，所以，故选：C.6.在中，，，则一定是（）A.等边三角形 B.等腰非等边三角形C.直角三角形 D.钝角三角形【答案】A【解析】在中，对于，由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，又，所以，又，所以由余弦定理可得，所以，即，所以，结合，可得一定是等边三角形.7.某舞台道具厂需定制一批圆锥形灯罩，要求灯罩的母线长度固定为（骨架支撑长度），同时为了保证灯光折射角度均匀，要求将灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，那么该规格的圆锥形灯罩的外接球的表面积是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，因为灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，所以，即，故所以圆锥的高为，设圆锥形灯罩的外接球的半径为，球心为，如图，，，，所以，即，解得所以圆锥形灯罩的外接球的半径为，表面积为故选：D.8.如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为（）A.4 B. C. D.6【答案】C【解析】，又，，又三点共线，，即得，易知，，当且仅当，即时，取等号，故选C.二、多选题（共3小题，每小题满分6分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.部分选对得部分分，有选错的得0分.）9.已知为复数，则下列说法一定正确的是（）A.和在复平面上所对应的点关于实轴对称B.C.D.若为纯虚数，则为实数【答案】ACD【解析】设.对于A，因，则和在复平面上所对应的点分别为和，显然关于实轴对称，故A正确；对于B，，，因，故，即B错误；对于C，，，故C正确；对于D，因为纯虚数，故可设，则，故D正确.故选：ACD.10.如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（）.A.该三棱台的侧面积为B.该三棱台的高为C.该三棱台的体积为D.若点在棱上，则的最小值为【答案】ACD【解析】对于A，在等腰梯形中，过向作垂线，垂足为E，在中，A1所以等腰梯形的面积为，所以，所以A正确；对于B，正三棱台中，取上、下底面的中心，，连接，，，则，，高，所以B错误；对于C，因为S上=1所以三棱台的体积V=13S对于D，把等腰梯形与展开置于同一平面，连结，易知，，，而边的中点到点的距离，因此当点为线段与的交点时，的最小值为，所以D正确.11.在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（）A.若，则为钝角三角形B.若，则C.若，且，则为直角三角形D.若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形【答案】AD【解析】对于A，由，可得，由正弦定理可得，所以，因为，所以，则为钝角三角形，故A正确；对于B，若，当，时，则，故B不正确；对于C，因为，分别为单位向量，所以的角平分线与垂直，所以，．又因为，即，因为，所以，故，所以为等边三角形，故C错误；对于D，因为，所以为的重心，由知为的外心，故为等边三角形，故D正确.故选：AD.三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡相应横线上）12.已知向量，，且，则______．【答案】【解析】因为，所以，解得，所以，故．13.在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是________；【答案】【解析】由题意可得,设的坐标为，解法一：平行四边形中，对角线互相平分，即与中点坐标相同，所以，解得，故点对应的复数是.解法二：由于，可得，故，故点对应的复数是.14.如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值为______．【答案】【解析】依题意，以为原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴，如图所示，因为，，，所以，则，，即为向量与的夹角，，，，.故答案为：.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面向量．（1）求与的夹角余弦值；（2）若，求实数的值．解：（1）由已知，，所以.（2）由已知，，因此由，可得，解得．16.如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A，小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里，角A为钝角，且．（1）求的值；（2）求的面积．解：（1）由题意知：在中，，，；由正弦定理得：，即，解得．（2）因为A、B、C、D四点共圆，所以，又A为钝角，故为锐角；所以，故．在中，，；由余弦定理得：，即，整理得：，解得（海里）（负值已舍去）；所以的面积为：（平方海里）．17.如图，正四面体棱长为4，E为的中点，，.（1）求四面体的表面积和体积；（2）求四面体的体积.解：（1）因为四面体为正四面体，所以四面体的每个面都是棱长为4的正三角形，且，所以四面体的表面积为；设正四面体的高为h，三角形的重心为O，则，∴.（2）因为是的中点，所以.因为，即点为的四等分点，所以.因为，即点为的三等分点，所以.所以，所以.综上所述，.18.在中，角的对边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，求周长的最小值；（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.解：（1）因为，所以，由余弦定理可得，因为，所以；（2）因为，所以，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，所以，即，所以当时，周长有最小值为；（2）由正弦定理可得，所以，，因为，所以，则，因为是锐角三角形，有，即，所以，，，因为，所