广东省佛山市南海区2026届3月高三统一测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省佛山市南海区2026届3月高三统一测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题可得集合，，所以.2.复数的虚部是（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以复数的虚部是.3.记的内角，，的对边分别为，，，设甲：为等腰三角形，乙：，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】因为，，所以，所以为等腰三角形，所以为等腰三角形是的必要条件；由为等腰三角形，可得或或，所以为等腰三角形是的不充分条件；所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.4.若，则（）A.40 B.41C. D.【答案】C【解析】令，则①，令，则②，得到.故选：C.5.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标为，所以，所以.6.设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得.设，则，得，又且点A在第一象限，因此，即.设直线的倾斜角为，,，得.7.甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意知恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章，则第3，4局必有甲胜，乙负，且前2局中，甲胜一局乙胜一局，所以所求概率为.8.定义：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数，则（）A.函数是偶函数B.函数在上单调递减C.D.【答案】C【解析】设，对于A，由题意得，则，所以是奇函数，即是奇函数，故A错误；对于B，由题意得，所以在上单调递增，即函数在上单调递增，故B错误；对于C，，所以是奇函数，，所以是偶函数，所以，所以原不等式为，即，由题意得恒成立，所以在R上单调递增，所以，且有，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，原不等式得证，故C正确.对于D，，所以原不等式为，由上得单调递增，且有当时，单调递增，所以，所以，与原不等式矛盾，故D错误.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.已知正方体的棱长为2，为的中点，为上的动点，则下列说法正确的是（）A.B.平面C.直线与平面所成角的正切值为D.三棱锥的体积为定值【答案】AD【解析】对于A：以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，由题意得，设，向量，，

故，A正确；对于B：平面即平面，直线过平面内一点且不在平面内，直线与平面相交，不平行，B错误；对于C：因为平面，则为在平面上的射影，所以即直线与平面所成角，在中，（是中点），，故，C错误；对于D：因为，平面，平面，故平面，上所有点到平面的距离恒为正方体棱长（定值），因此为定值，而，D正确.10.设，是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于，两点，则下列说法正确的是（）A.双曲线的两条渐近线夹角为 B.的最小值为C.当时，的面积为1 D.的周长最小值为【答案】ACD【解析】对于A：双曲线的渐近线方程为，一条渐近线的倾斜角为，由对称性可知，两条渐近线的夹角为，A正确；对于B：由双曲线的定义可得，所以，又，所以，因为，所以，B错误；对于C：，故，即A在以为直径的圆上，由，解得，所以，所以，C正确；对于D：由双曲线定义可得，所以周长，当轴时，最小，将代入双曲线方程，得，故，所以，D正确.11.已知数列的每一项都是整数．当为奇数时，有；当为偶数时，有．记为数列的前项和，若，，则（）A.数列为递增数列B.的最小值为32C.若，则的最小值为2649D.若，则的最大值为86【答案】ABC【解析】当为奇数时，有，即；当为偶数时，有，即．所以若，，则当为奇数时，；当为偶数时，．所以数列为递增数列，所以正确.由题可知，，，，所以，，.所以的最小值为.所以B正确.由A项分析知，当为奇数时，；当为偶数时，．所以，，，，……，.累加得，，所以.所以C正确.若，结合C分析得，当为奇数时，，所以，即.，所以D不正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________．【答案】【解析】由题可知，，，所以．13.记为等比数列的前项和，若，，成等差数列，则等比数列的公比为________．【答案】【解析】设公比为，由题意得，即，所以，故，又，解得.14.函数在区间上存在零点，则的最小值为________．【答案】【解析】设为在上的零点，则，即点在直线上，又为点到原点的距离的平方，原点到直线的距离为，因此，即的最小值即为在上能成立，令函数，求导得，函数在上单调递增，则，，所以的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，，且恒成立．（1）求的解析式；（2）记的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，求．解：（1）由，得，而，则，由恒成立，得，即，，因此，解得，而，则，所以的解析式为.（2）由（1）得，，而，解得，由，解得，由余弦定理得，由正弦定理，得．16.如图，和所在平面垂直，且，．（1）证明：；（2）求平面和平面的夹角的余弦值．（1）证明：过在平面内作，过在平面内作，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，而平面，所以，于是，，两两垂直，如图，以为原点建立空间直角坐标系，，，．所以，．因为，所以；（2）解：由（1）知，而平面的法向量为，设平面的法向量为，则，取，可得，，所以．因为．所以平面和平面的夹角的余弦值为.17.现有8张大小质地完全相同的卡片，其中4张是红色，4张是蓝色.从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为，然后进行如下操作：从袋子中随机摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子中始终保持3张卡片．记经过次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为．（1）求；（2）当时，求随机变量的分布列和数学期望；（3）求随机变量的数学期望．解：（1）依题意，.（2）当时，若摸出红色卡片，则的值为1，若摸出蓝色卡片，则的值为3，所以，，所以的分布列为13数学期望为.（3）的取值为0，1，2，3．，，，．的取值为0，1，2，3．，，，，所以随机变量的数学期望为.18.已知函数，其中为正实数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）当取最小值时，若，为正实数，且，证明：．（1）解：当时，，．所以，又．所以所求的切线方程为，即．（2）（ⅰ）解：，因为，设二次函数的判别式为，①当，即时，，所以在单调递增，所以，所以．②，即时，设的两个根为，，且，由韦达定理，可得，即，所以，所以在单调递减，在单调递增．所以当时，有，与不符合，舍去．综上所述，的取值范围为．（ⅱ）证明：由（ⅰ）得，的最小值为2，在单调递增，且，即因为，为正实数，且，所以．不妨设，则，，所以，．又，所以，即．所以，所以．所以，即．19.设椭圆的上焦点为，过且斜率为的直线与该椭圆交于，两点．当与轴垂直时，有，其中为坐标原点．（1）求该椭圆的离心率；（2）设点，且满足：对任意的斜率，都有．（ⅰ）证明：；（ⅱ）定义：若无穷数列是公比为的等比递减数列，则其所有项之和为，其中为数列的首项．记的面积为，求数列的所有项和的最小值（结果用或表示）．（1）解：由可得．设，当与轴垂直时，有，所以．即，即．即，化简得，因为，所以