小学数学五年级下册“找次品”问题建模教学设计

小学数学五年级下册“找次品”问题建模教学设计一、教学基本信息（一）课题名称：探索最优策略：从“找次品”到问题建模（二）学科与学段：小学数学五年级下册（三）课时安排：第1课时（新授课）二、教材与学情分析（一）教材分析【基础】“找次品”问题是小学数学经典的教学内容，通常编排在五年级下册“数学广角”中。该内容并非要求学生掌握具体的解题技巧，而是以“找次品”这一生活化的操作活动为载体，引领学生经历观察、猜测、试验、推理、验证等数学活动过程，感受数学思想方法的优化与魅力。其核心在于渗透“优化”思想和“逻辑推理”能力，特别是通过“化繁为简”、“三分法”等策略，培养学生解决复杂问题的模型意识和应用意识。教材编排通常从简单的3个、5个零件入手，逐步过渡到8个、9个乃至更多，引导学生在对比中发现“尽可能平均分成3份”这一最优策略的数学本质。（二）学情分析【基础】五年级学生已经具备了一定的逻辑思维能力和动手操作能力，他们喜欢挑战性的问题，乐于在小组合作中交流、探讨。在此之前，学生已经学习了简单的逻辑推理，对“天平”这一测量工具也有生活经验，知道天平平衡则两盘物体等重，不平衡则下沉一端较重（或轻）。然而，学生面对“至少称几次能保证找到次品”这类问题时，最初的思维往往是盲目的、无序的，缺乏系统性和策略性。他们容易忽略“保证找到”的含义，也较难自主发现分组的最优策略。因此，教学的关键在于创设认知冲突，引导学生在不断尝试、比较和反思中，从具体操作中抽象出数学模型，感悟优化思想的精髓。三、教学目标与核心素养（一）教学目标1.知识与技能【基础】：通过观察、猜测、试验、推理等活动，初步理解“找次品”问题的含义，探索并掌握“找次品”的最优策略，即把待测物品尽可能平均分成3份。能够运用最优策略解决物品总数在3个、5个、8个、9个等情境下的找次品问题。2.过程与方法【重要】：经历从多样化方案中寻找最优方案的过程，体会逻辑推理的严密性，感悟“化繁为简”、“优化”、“建模”等数学思想。通过小组合作、画图记录、交流讨论等方式，提高分析问题、解决问题和归纳总结的能力。3.情感态度与价值观【重要】：在探究活动中，培养勇于探索、严谨求实的科学态度和合作交流的意识。感受数学与生活的密切联系，体会数学思考的乐趣和价值，树立学好数学的信心。（二）核心素养指向1.模型意识：能够将生活中的“找次品”问题抽象为数学问题，并用数学语言（如图示、符号）表达思维过程，建立解决此类问题的数学模型。2.优化思想：在解决问题的多种策略中，通过分析、比较，寻求最简捷、最高效的方法，理解“最优”的含义。3.推理意识：能够有条理地表达自己的思考过程，依据已知条件（天平的平衡或不平衡）进行合情推理和演绎推理，得出正确结论。四、教学重难点【难点】【高频考点】（一）教学重点：经历探索“找次品”最优策略的过程，理解并掌握“尽可能平均分成3份”的方法。（二）教学难点：理解“尽可能平均分成3份”的道理，并能运用此策略分析和解决物品个数更多的找次品问题，形成初步的数学模型。五、教学方法与准备（一）教学方法：情境创设法、引导探究法、小组合作法、比较归纳法。充分发挥教师的主导作用和学生的主体地位，让学生在“做中学”、“思中悟”。（二）教学准备：1.教师：多媒体课件（PPT包含天平动画、操作演示、问题情境），记录表，磁性教具（代表零件和天平）。2.学生：每组准备一架模拟天平（或用尺子代替）、若干个围棋子或硬币（充当零件）、探究记录单。六、教学实施过程【核心环节，占绝大部分篇幅】（一）创设情境，激趣导入（预计5分钟）1.故事引入：同学们，今天老师给大家带来一个工厂里的故事。质检员王师傅接到一个紧急任务：有81瓶口香糖，其中有一瓶少了几粒，重量略轻，是次品。如果只能用天平称，并且只能在天平两端放瓶子，不算砝码，大家觉得王师傅至少要称几次才能保证找到这瓶轻的次品呢？（学生自由猜测，产生认知冲突：81太多了，不好想，可能需要很多次。）2.揭示课题：同学们的想法很多，但到底需要几次呢？直接研究81个有些困难，在数学研究中，当我们遇到复杂问题时，通常会采用“化繁为简”的策略，从较小的数目开始研究，寻找其中的规律。今天这节课，我们就一起来探索《“找次品”问题建模》。（板书课题：探索最优策略：从“找次品”到问题建模）【设计意图】通过一个富有挑战性的问题情境，激发学生的好奇心和探究欲。同时，顺势渗透“化繁为简”的数学思想，为后续的探究活动指明方向。（二）初步探究，感知策略（预计10分钟）1.问题1：从3个零件中找1个次品（已知次品轻一些）。（1）【基础操作】课件出示：有3瓶口香糖，其中一瓶少了几粒，重量较轻，是次品。至少称几次，就一定能找到这瓶次品？（2）小组合作：请同学们用手中的学具（用3个棋子代替口香糖，用尺子代替天平）模拟称一称，并把你们的想法和称的过程在小组内说一说。（3）汇报交流：请小组代表上台用磁性教具演示。预设有两种情况：一种是一次称1瓶和1瓶，如果平衡，剩下那瓶就是次品；如果不平衡，轻的那瓶就是次品。另一种是一次称2瓶和1瓶（即左边放2瓶，右边放1瓶），但这种方法一次称不出结果，因为不知道右边1瓶是轻还是重。（4）教师引导，达成共识【重点】：通过对比，学生发现第一种方法最合理。无论天平平衡还是不平衡，都只需要称1次就能确定次品。教师板书：3个物品，称1次。（5）思维建模【核心素养点】：引导学生用图示法记录思维过程。教师在黑板上示范用简单图形和箭头表示称的过程。例如：将3个零件编号为①、②、③。称①和②。1.2.如果平衡，则③是次品。2.3.如果不平衡，则轻的一边（如①）是次品。4.问题2：从5个零件中找1个次品（已知次品轻一些）。（1）【进阶探究】课件出示：有5瓶口香糖，其中一瓶是次品（轻一些）。至少称几次，就一定能找到这瓶次品？（2）独立探究与合作交流：学生先独立思考，可以用学具摆一摆，也可以画一画。然后小组内交流各自的称法，并讨论哪种方法更好。（3）汇报不同策略，并记录【重要】：策略一：分成2份（2，2，1）。称两个2瓶。（第一次称：左右各放2瓶）如果平衡，则剩下的1瓶是次品，共1次。如果不平衡，则次品在较轻的2瓶中。再将这2瓶分成（1，1）称第二次，轻的为次品，共2次。→结论：保证找到次品，至少需要称2次。策略二：分成3份（2，2，1）。称两个2瓶。（同上，分析过程相同）结果也是2次。策略三：分成3份（1，1，3）。称两个1瓶。（第一次称：左右各放1瓶）如果平衡，则次品在剩下的3瓶中。问题转化为“从3个中找1个轻的”，根据前面经验，需要再称1次（共2次）。如果不平衡，则轻的那1瓶就是次品，只需1次。→这种情况，运气好时1次找到，运气不好时需要2次。“至少称几次”是指“保证能找到”，所以要考虑最坏情况。所以结论也是至少需要称2次。（4）对比分析，初步感知优化方向【难点】：引导学生观察这三种策略，虽然结果都是2次，但分法不同。提问：如果次品可能重，也可能轻呢？哪种分法更可靠？（引导学生思考策略三的不稳定性，以及策略一、二逻辑更清晰）但有没有更好的分法？比如分成（1，2，2）和分成（2，2，1）本质是一样的。那么如果我们尝试分成（1，1，3）和（2，2，1）的本质区别是什么？（分的份数不同，每份数量不同）引导学生初步感受，可能分成3份，并且尽量让每份数量接近，会更有优势。（5）教师小结：看来，分的方法不同，思考的过程和保证找到的次数也可能不同。我们不仅要找到次品，还要思考怎样称能最快保证找到，这就是“优化策略”。（三）深入探究，建构模型（预计15分钟）1.聚焦核心问题：从8个和9个零件中找1个次品（已知次品轻一些）。（1）【核心探究1】研究8个零件。A.提出任务：如果是8个零件，其中一个是次品（轻一些），至少称几次保证找到？B.小组探究：各小组自主选择分组方式，用学具模拟称量，并填写探究记录单（包括分法、称的次数、推理过程）。教师巡视指导，收集不同分法的案例。C.汇报交流，展示不同分法（预设）：分法一：分成（4，4）。称一次，如果平衡？不可能平衡，因为只有一个次品轻，所以肯定不平衡，次品在轻的4个中。问题转化为从4个中找1个轻的。4个怎么称？最优是分成（1，1，2）或者（2，2）。如果是（1，1，2），先称两个1瓶，如果平衡，次品在剩下的2瓶中，需要再称一次；如果不平衡，轻的即为次品。这样第二次称后可能还需要第三次？我们来仔细算：第一次称（4，4）→轻的4个。第二次称（2，2）→轻的2个。第三次称（1，1）→找到次品。总共3次。分法二：分成（3，3，2）。第一次称两个3瓶。如果平衡，次品在剩下的2瓶中。第二次称这两个，轻的即为次品。共2次。如果不平衡，次品在轻的3瓶中。问题转化为从3个中找1个轻的，根据前面经验，需要再称1次。第一次+第二次=2次。→结论：保证找到次品，至少需要称2次。分法三：分成（2，2，2，2）或其他非3份的分法，称的次数会更多。D.对比优化【重点】：将分法一（4，4）的3次和分法二（3，3，2）的2次进行对比。提问：为什么同样是8个，分法不同，保证找到的次数却不同？哪种分法更优？优在哪里？引导学生发现：（3，3，2）这种分法，第一次称完，无论平衡还是不平衡，次品被锁定在数量较少的范围里（要么是2个，要么是3个）。而（4，4）的分法，第一次称完，次品锁定在4个里，范围较大。这说明，分成的份数和每份的数量，直接影响后续称的次数。将物品分成3份，并且让这三份的数量尽可能接近，似乎能最快缩小范围。（2）【核心探究2】研究9个零件。A.提出任务：有了对8个的研究经验，我们再来看看9个零件，其中一个是次品（轻一些），至少称几次保证找到？你觉得怎样分可能最好？B.学生独立思考后小组交流。C.汇报交流（预设）：分法一：分成（3，3，3）。第一次称两个3瓶。如果平衡，次品在剩下的3瓶中。从3个中找1个轻的，需要1次。共2次。如果不平衡，次品在轻的3瓶中。从3个中找1个轻的，也需要1次。共2次。→结论：保证找到次品，至少需要称2次。分法二：分成（4，4，1）。第一次称两个4瓶。如果平衡，次品就是剩下的1个，共1次。如果不平衡，次品在轻的4瓶中。问题转化为从4个中找1个轻的。4个的最优策略是什么？根据前面，4个（2，2，？）我们分析过，4个至少需要2次才能保证找到。所以，如果第一次不平衡，总共需要1+2=3次。要保证找到，必须考虑最坏情况，即需要3次。→结论：至少需要称3次。D.再次对比优化【重中之重】：引导学生对比9个的两种分法。显然（3，3，3）的分法优于（4，4，1）的分法。为什么？因为（3，3，3）将总数平均分成了3份，第一次称完后，无论哪种情况，次品都被锁定在最多3个的范围内，这个范围很小。而（4，4，1）虽然也是3份，但不平均，导致最坏情况下次品被锁定在4个的范围内，需要更多次数。2.归纳建模，提炼最优策略【核心素养点】【热点】：（1）回顾与比较：引导学生回顾从3个、5个、8个、9个物品中找次品的过程和结论。1.3.3个（1,1,1）：称1次。2.4.5个（2,2,1）：称2次。（当时未发现最优，但对比8、9后，反思5个是否也有更好的分法？引导思考（2,2,1）本质上是不是最接近平均分3份？5分3份，怎么分最平均？是（2,2,1）还是（1,2,2）或（1,1,3）？显然（2,2,1）让两份相等，另一份为1，这是最接近的。如果用（1,1,3），最坏情况是3个，需要2次？实际上（1,1,3）第一次如果平衡，剩下3个需要1次，总共2次；如果不平衡，1次。最坏也是2次。所以5个的最优也是2次，但（2,2,1）的推理更均衡。）3.5.8个（3,3,2）：称2次。（最接近平均分的3份）4.6.9个（3,3,3）：称2次。（平均分成3份）（2）总结规律【难点】：通过以上分析，大家发现了什么？当把待测物品分成3份时，并且让这三份的数量尽可能平均（也就是尽可能一样多，或者相差1个），这样能最快保证找到次品。这就是“找次品”问题的最优策略。（3）数学原理解释：为什么是3份？因为天平一次称量，有三种可能的结果：左轻、右轻、平衡。对应这三种结果，将物品分成3份，就能充分利用天平提供的三种信息，一次称量就能将次品的范围缩小到其中的一份中。而分成2份，只能利用到两种信息（左轻或右轻），如果平衡，次品在哪？无法判断，除非天平外还有一份。所以，分成3份是最大化利用一次称量信息的策略。而要“尽可能平均”，是为了让最坏情况下，那份的数量尽可能小，从而减少后续称量的次数。（4）教师板书建模过程：问题情境（找次品）→化繁为简（从少量开始）→操作探究（模拟称量、画图记录）→对比分析（找出不同分法的优劣）→归纳策略（尽可能平均分3份）→建立模型（用最优策略解决问题）。（四）应用模型，解决问题（预计7分钟）1.回归初始问题，验证模型【重要】：（1）课件出示开头的81瓶口香糖问题。现在你能运用我们刚刚发现的“法宝”来解决它吗？（2）学生独立思考，尝试推理，小组内交流推理过程。（3）全班汇报，共同推演：1.2.第一次：将81瓶平均分成3份，每份27瓶。称其中两份。平衡，次品在第三份27瓶中；不平衡，次品在轻的那份27瓶中。→锁定在27瓶。2.3.第二次：将27瓶平均分成3份，每份9瓶。称其中两份。→锁定在9瓶。3.4.第三次：将9瓶平均分成3份，每份3瓶。称其中两份。→锁定在3瓶。4.5.第四次：将3瓶平均分成3份，每份1瓶。称其中两瓶。→找到次品。5.6.结论：至少需要称4次保证找到。（4）惊叹与反思：原来只需要4次！和我们刚开始的猜测相比，是不是很神奇？这就是数学模型的威力。同时，我们也可以反向验证：为什么不是3次？因为3次最多能处理多少个？引导学生初步感知最优策略下的“称量能力”是有上限的，为后续学习埋下伏笔。7.分层练习，巩固模型：（1）基础练习：有10个零件，其中一个是次品（稍轻），至少称几次保证找到？怎么称？（引导学生运用策略：10尽量平均分3份，即（3，3，4）。第一次称两个3份，如果平衡，次品在4个中，需要再称几次？4个按最优策略（1，1，2）需要2次，所以总共1+2=3次。如果不平衡，次品在3个中，需要再称1次，总共2次。最坏情况3次。所以至少称3次。）（2）拓展思考：如果次品不知道是轻还是重，只知道与正品重量不同，我们的策略还适用吗？为什么？（此问作为课后思考题，激发学生进一步探索的兴趣。）（五）课堂总结，拓展延伸（预计3分钟）1.总结收获【基础】：（1）知识上：今天我们学习了什么？（“找次品”问题的解决方法，最优策略：把待测物品分成3份，要尽量平均分。）（2）方法上：我们是怎样获得这个知识的？（用了化繁为简、动手操作、比较归纳、建立模型等方法。）（3）思想上：你有什么感受？（数学思考很有趣，优化思想很重要，模型让复杂问题变简单。）2.布置作业【分层】：（1）基础作业：完成课后练习第1、2题（关于找次品的基本题目）。（2）探究作业【选做】：利用今天学到的规律，尝试探究：当知道次品是轻还是重时，用天平称n次，最多能从多少个零件中找出次品？（如：称1次最多能从几个中找？称2次最多能从几个中找？并尝试把