小学六年级数学“用方程解决稍复杂的百分数实际问题”教学设计

小学六年级数学“用方程解决稍复杂的百分数实际问题”教学设计一、教学内容分析【核心概念】本节课是苏教版小学数学六年级上册第六单元“百分数”中的第7课时，教学内容为教材例10、例11。这两个例题是百分数应用题教学的关键节点，承载着从“算术思维”向“代数思维”过渡的重要任务。例10呈现的是“已知一个数比另一个数多（或少）百分之几，求这个数”的实际问题，其数量关系相对隐蔽，是学生认知的难点。例11则是在例10的基础上，进一步呈现“已知两个数量的和（或差）以及两个数量之间的百分数关系，求这两个数量各是多少”的问题，这是典型的“和倍（差倍）”问题在百分数领域的拓展。两个例题共同指向用方程解决稍复杂的百分数实际问题，旨在引导学生经历“理解题意—分析数量关系—设未知数—列方程—解方程—检验反思”的完整解题过程，初步建立用方程模型解决实际问题的策略。【教材定位】在整套教材体系中，学生在五年级上册已经学习了用方程解决简单的实际问题，在五年级下册学习了稍复杂的分数乘法应用题（“求一个数的几分之几是多少”及其逆问题），在本单元前几课时又掌握了百分数的意义、百分数与分数小数的互化以及“求一个数是另一个数的百分之几”等基础知识。因此，本节课既是对之前“分数实际问题”和“方程解法”的巩固与深化，又为后续学习百分数在利息、折扣、纳税以及较复杂的百分数应用题（如浓度问题、经济问题）中应用奠定了基础，具有承上启下的重要作用。【课标依据】《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第三学段“数与代数”领域指出：要让学生在具体情境中理解百分数的意义，能解决与百分数有关的简单实际问题；要体验从具体情境中抽象出数量关系的过程，掌握代入法、消元法、参数法等基本的数学思想方法；要初步体会模型思想，能根据具体问题找出数量关系，列出方程，感受方程作为刻画现实世界数量关系工具的价值。二、学情分析【基础认知】六年级学生已经具备了一定的抽象逻辑思维能力，能够理解简单的数量关系，并掌握了基本的方程解法。他们对于“求一个数的百分之几是多少”这种正向思维的问题比较熟悉，能够熟练地用乘法进行计算。同时，学生也已经接触过一些简单的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题，能够尝试用方程或算术方法中的除法进行解答。【潜在困难】然而，本节课的实际问题具有两个显著特点：一是数量关系复杂化，不再是直接的“部分与整体”关系，而是增加了比较量、参照量以及百分率之间的相互转化，如“比……多（少）百分之几”这种关系，学生往往难以准确判断把谁看作单位“1”。二是解题策略需要提升，很多学生习惯于用算术方法进行逆向思考，对于如何设未知数、如何用含有未知数的式子表示另一个量、如何找准等量关系并列出方程，会感到困惑，容易在列式时出现加、减、乘、除符号的错误。【教学启示】基于以上分析，本课的教学不能停留在单纯讲解和机械模仿的层面，而应着力于引导学生经历数量关系的抽象过程，帮助学生构建“模型化”的解题策略。要充分利用线段图这一直观工具，化抽象为具体，帮助学生理清比较量、单位“1”的量与百分率之间的关系。同时，要鼓励学生大胆尝试用方程解决问题，并通过对比、交流，让学生体会到方程法在解决逆向思维问题时的顺向思维优势，从而主动接纳并掌握这种解题策略。三、教学目标与重难点【教学目标】1.知识与技能目标：【基础】使学生在解决实际问题的过程中，理解并掌握用方程表示稍复杂的百分数实际问题数量关系的方法，能正确列方程解答“已知一个数比另一个数多（或少）百分之几，求这个数”以及“已知两个数的和（或差）及两个数之间的百分数关系，求这两个数”的实际问题。【重要】能熟练地进行百分数、分数、小数之间的互化，并能正确解含有百分数的方程。2.过程与方法目标：【核心】让学生经历“问题情境—建立模型—求解验证”的数学活动过程，通过画图、分析、比较、归纳等活动，进一步培养抽象、概括和推理能力，积累分析数量关系的经验，发展代数思维和模型意识。3.情感态度与价值观目标：使学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，增强应用数学的意识；获得成功的体验，树立学好数学的自信心；养成独立思考、认真审题、自觉检验的良好学习习惯。【教学重点】理解稍复杂的百分数实际问题的数量关系，掌握列方程解决问题的思路和方法。【教学难点】【难点】准确理解“比一个数多（少）百分之几”的含义，找准单位“1”，并正确地用含有未知数的式子表示另一个相关联的量。【教学准备】多媒体课件（PPT）、实物投影仪、学生练习纸。四、教学过程设计与实施（一）复习铺垫，引入新知1.基本训练，激活经验课件出示：（1）找出单位“1”的量，并说出数量关系式。①实际造林面积比原计划多20%。②十月份用水量比九月份节约15%。（2）根据条件，写出数量关系。①男生人数是女生人数的80%。②桃树棵数比梨树棵数多25%。（3）列方程解答。一个数的45%是90，这个数是多少？2.学生独立思考，指名口答。教师引导学生明确：（1）中单位“1”分别是“原计划造林面积”和“九月份用水量”。数量关系为：原计划造林面积×（1+20%）=实际造林面积；九月份用水量×（115%）=十月份用水量。（2）中数量关系为：女生人数×80%=男生人数；梨树棵数×（1+25%）=桃树棵数。（3）解：设这个数为x。45%x=90，x=200。3.揭示课题教师引导：刚才我们复习了用方程解决简单的百分数问题，也回顾了“比一个数多（少）百分之几”的数量关系。如果我们将这两者结合起来，把问题情境变得更复杂一些，比如已知“实际造林面积比原计划多20%，求原计划造林面积”时，应该怎样解答呢？这就是我们今天要研究的内容——用方程解决稍复杂的百分数实际问题。（板书课题：用方程解决稍复杂的百分数实际问题）【设计意图：复习环节的设计遵循“最近发展区”理论，从找单位“1”、写数量关系式到解简单方程，层层递进，为新知学习搭建了坚实的脚手架，激活了学生已有的知识经验，为后续的探究活动做好了思维铺垫。】（二）自主探究，学习例101.出示例10，理解题意【热点】课件出示教材例10：马山粮库要往外地调运一批粮食，已经运走了60%，还剩48吨。这批粮食一共有多少吨？教师引导学生读题，找出已知条件和问题。学生汇报：已知“已经运走了60%”，还剩48吨。问题是“这批粮食一共有多少吨”。教师追问：这里的60%是把谁看作单位“1”？（引导学生说出：把“这批粮食的总吨数”看作单位“1”。）教师进一步引导：你能用线段图表示出题意吗？2.画图分析，构建模型【非常重要】学生在练习纸上尝试画线段图，教师巡视指导，选择有代表性的作品准备展示。展示学生作品，师生共同评议、完善。教师示范并板书线段图：（画一条线段表示“总吨数”，即单位“1”。将其平均分成10份（或5份），标注其中的60%部分为“运走的”，剩余部分标注为“还剩48吨”，并在总吨数上方打上“？吨”。）3.分析关系，列出方程教师引导：观察线段图，你能发现题中隐含的等量关系吗？学生小组交流，汇报。预设学生回答：总吨数运走的吨数=还剩的吨数。教师追问：运走的吨数怎么表示？引导学生得出：运走的吨数=总吨数×60%。教师肯定学生的回答，并板书等量关系式：粮食总吨数粮食总吨数×60%=还剩的48吨教师引导：在这个等量关系中，哪个量是未知的？我们可以怎样做？学生回答：总吨数未知，可以设总吨数为x吨。教师板书：解：设这批粮食一共有x吨。引导学生根据等量关系列出方程：x60%x=484.解方程，检验作答教师提问：这个方程中含有百分数，你们会解吗？学生尝试独立解方程，指名板演。x0.6x=480.4x=48x=48÷0.4x=120教师引导学生进行检验。学生口述检验过程：120吨的60%是72吨，120吨减去72吨等于48吨，符合题意。教师规范答语：答：这批粮食一共有120吨。5.回顾反思，提炼方法教师组织学生回顾解题过程，思考：（1）我们是根据什么等量关系列方程的？（2）为什么要设总吨数为x？（3）列方程解这类问题的关键是什么？学生讨论后，教师总结：当单位“1”的量未知时，我们通常设单位“1”的量为x，然后根据“总量总量的百分之几=部分量”这样的等量关系来列方程。方程法可以将逆向思维转化为顺向思维，使数量关系更加清晰。【设计意图：例10的教学，通过画线段图将抽象的百分数关系直观化，引导学生自主发现等量关系，并尝试列方程解答。整个过程强调学生的亲身体验和自主建构，突出了“找等量关系”这一核心环节，有效突破了教学难点。】（三）合作交流，学习例111.出示例11，对比迁移【难点】课件出示教材例11：某小学有学生1240人，其中女生人数是男生人数的80%。男生和女生各有多少人？教师引导：请同学们默读题目，和例10相比，这道题有什么不同？学生比较后回答：例10只有一个未知量（总吨数），而例11有两个未知量（男生人数和女生人数），并且给出了这两个未知量之间的关系（女生人数是男生人数的80%）以及它们的和（总人数1240人）。2.画线段图，明晰关系教师引导：这道题中有两个未知量，我们应该先画谁？为什么？引导学生明确：因为女生人数是男生人数的80%，这里是把“男生人数”看作单位“1”，所以应该先画表示男生人数的线段。师生共同画线段图：（先画一条线段表示“男生人数”，并在线段上方标注“？人”。再画一条线段表示“女生人数”，这条线段的长度是表示男生人数的线段的80%（即平均分成5份，取其中4份的长度），并在上方标注“是男生的80%”。最后用一个大括号表示总人数1240人。）3.探索等量关系，尝试列方程教师提问：观察线段图，你能找出题中的等量关系吗？学生回答：男生人数+女生人数=总人数（1240人）。教师追问：这里有两个未知量，我们可以怎样设未知数？学生小组讨论，提出方案。预设方案一：设男生人数为x人，则女生人数为80%x人。预设方案二：设女生人数为x人，则男生人数为x÷80%或x/80%，这样表示比较麻烦。教师引导：通常，我们设单位“1”的量为x，这样另一个量就可以用含有x的式子简单地表示出来。大家觉得哪种设未知数的方法更简便？学生达成共识：设单位“1”的量（男生人数）为x人，女生人数用80%x表示。教师板书：解：设男生有x人，则女生有80%x人。x+80%x=12404.解方程，检验作答学生独立解方程，指名板演。x+0.8x=12401.8x=1240x=1240÷1.8x≈688.89教师引导学生发现：计算结果是循环小数，人数不能是小数，怎么办？学生产生认知冲突，重新审视题目和数据。教师提示：请大家再仔细看题，女生人数是男生人数的80%，这里的80%可以化成分数是多少？学生回答：80%=4/5。教师引导：如果我们用分数来表示这个关系，方程可以怎样列？计算会更简便吗？学生尝试列方程并计算：解：设男生有x人，则女生有4/5x人。x+4/5x=12409/5x=1240x=1240×5/9x=6200/9结果仍然是分数，学生再次感到困惑。教师引导学生分析数据：题目中总人数是1240，如果男生人数是x，女生是4/5x，那么总人数是9/5x，x应该是1240乘以5/9，结果确实不是整数。这说明了什么？学生讨论后得出结论：可能是题目设计的数据需要调整，或者我们计算有误，需要检查数量关系。教师引导学生重新检查数量关系：女生人数是男生人数的80%，男生人数+女生人数=总人数，这个关系没有问题。问题可能出在数据上。在解决实际问题时，我们通常遇到的数据都是比较规整的。我们假设这道题的数据是经过设计的，目的是让我们掌握方法。我们可以在计算时，将80%先化成分数4/5，这样方程就是x+4/5x=1240，然后解这个方程。教师出示改编后的题目或引导学生将1240改为一个能被9整除的数，如“某小学有学生1240人”改为“某小学有学生1240人”本身不能被9整除，但在实际教学中，教师应准备数据合理的题目。这里我们假设数据是合理的，比如将1240改为1242或1260等，但为了保持原题，我们在此处进行方法讲解，暂不纠结于计算结果是否为整数，重点在于掌握解题思路。教师重新给出一个合理数据的题目，或引导学生继续按分数计算，保留分数形式或化为小数。为顺利教学，此处我们假设原题数据为“某小学有学生1240人，其中女生人数是男生人数的80%”确实存在小数情况，教师可以引导学生将结果用分数表示，并说明在解决实际问题时，结果可以是分数，但人数通常取整数，需要根据实际情况进行四舍五入或调整。或者教师现场将数据微调为“某小学有学生1260人”，则：解：设男生有x人，则女生有80%x人。x+0.8x=12601.8x=1260x=70080%x=0.8×700=560检验：700+560=1260，560÷700=0.8=80%，符合题意。答：男生有700人，女生有560人。（在实际课堂中，教师应根据所用教材的具体数据为准，此处仅为教学流程示例。）5.归纳总结，形成策略教师引导学生思考：通过例11的学习，我们遇到了什么问题？是如何解决的？解决这类“已知两个量的和（或差）及它们的百分数关系，求这两个量”的问题，关键是什么？学生交流汇报。教师总结：解决这类问题，关键是设单位“1”的量为x，用含有x的式子表示出另一个量，再根据它们的和（或差）关系列出方程。当题目中的百分数可以化成分数时，用分数往往能使计算更简便。【设计意图：例11的教学是在例10基础上的拓展和深化，通过对比，让学生感受到新问题的特点。通过画线段图、讨论设未知数的方法、尝试列方程、解决计算冲突等环节，层层深入，使学生在“不平衡—平衡”的认知冲突中，深刻理解数量关系，掌握解题策略。特别强调将百分数化成分数求解的优化思想，提升了学生的运算策略。】（四）巩固练习，内化提升1.基本练习（模仿性训练）（1）某工厂十月份用水120吨，比九月份节约了20%，九月份用水多少吨？学生独立完成，指名板演，集体评议。引导学生分析：比九月份节约20%，是把九月份用水量看作单位“1”，设九月份用水x吨，则十月份用水（120%）x吨，方程为：（120%）x=120，或x20%x=120。（2）【高频考点】果园里桃树和梨树一共有240棵，桃树的棵数是梨树的60%。桃树和梨树各有多少棵？学生独立完成，同桌互评。强调设梨树为x棵，桃树为60%x棵，方程为x+60%x=240。2.变式练习（辨析性训练）（1）某商场一种品牌毛衣的现价比原价降低了15%，正好降低了60元。这种毛衣原价多少元？引导学生辨析：这里的15%对应的单位“1”是原价，“降低了60元”就是原价的15%是60元。方程：15%x=60。（2）【重要】修一条路，第一天修了全长的25%，第二天修了全长的30%，还剩下180米没修。这条路全长多少米？引导学生找出等量关系：全长全长的25%全长的30%=180米。或全长×（125%30%）=180米。设全长为x米，列方程：x25%x30%x=180。3.综合练习（拓展性训练）食堂运来一批蔬菜，其中黄瓜的质量是西红柿的80%，黄瓜比西红柿少25千克。运来黄瓜和西红柿各多少千克？学生小组讨论，尝试列方程。引导学生分析：设西红柿为x千克，则黄瓜为80%x千克。根据“黄瓜比西红柿少25千克”，得等量关系：西红柿质量黄瓜质量=25千克。方程：x80%x=25。学生解方程并检验。【设计意图：练习设计遵循由易到难、由浅入深的原则。基本练习巩固新知，确保全体学生掌握基础方法；变式练习通过改变问题情境和呈现方式，训练学生辨析数量关系的能力，培养思维的灵活性；综合练习则引入“差倍”关系的变式，进一步拓展了方程的应用范围，为学有余力的学生提供挑战，实现“不同的人在数学上得到不同的发展”。】（五）课堂总结，反思升华教师引导学生回顾本节课的学习过程：（1）今天我们学习了什么内容？（2）解决稍复杂的百分数实际问题，我们通常采用什么方法？（方程）（3）列方程解决问题的关键步骤是什么？（找准单位“1”，分析数量关系，找出等量关系，正确设未知数）（4）在设未知数时，有什么技巧？（通常设单位“1”的量为x，这样另一个量就容易表示了）（5）解含有百分数的方程时，有什么需要注意的？（可以把百分数化成小数或分数再计算，有时化成分数计算更简便）学生畅谈收获和体会，教师适时补充和点评。【设计意图：通过系统回顾，帮助学生将零散的知识点串联起来，构建完整的认知结构，将解题策略内化为自己的经验，实现知识和方法的升华。】（六）布置作业，课后延伸1.基础作业：完成练习册中相关的基础性题目，要求书写工整，过程完整。2.拓展作业：寻找生活中的百分数问题，尝试用今天学习的方程法进行解答，并在下节课与同学分享。