江西省宜春市丰城市第九中学2025-2026学年高二上学期开学考试（日新班）数学试卷（含解析）

丰城市第九中学2025-2026学年高二上学期开学考试（日新班）数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则()A. B. C. D.2．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是(

)A. B. C. D.3．已知，，，则()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.54．已知四面体的顶点坐标为、、、,则该四面体外接球的表面积为()A.B.C.D.5．将4个A类节目和2个B类节目编制成节目单，则前3个有B类节目的不同排列方式有()A.144种 B.432种 C.576种 D.720种6．设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上的一点P作l的垂线，垂足为Q，若，则(

)A. B. C. D.7．若随机变量X服从二项分布,则取得最大值时,()A.2或3B.2C.3D.48．方程的所有正数解之和为().A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知函数的部分图象如图所示，则(

)A.的最小正周期为B.当时，的最大值为3C.函数在区间上有2个极值点D.函数在点处的切线方程为10．已知，则()A. B.C. D.11．如图，在正方体中，点E，F，G，H分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是(

)A.异面直线与所成角的正弦值为B.平面C.直线与是异面直线D.过A，E，G三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知平面向量，，若，则________________.13．已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是________________.14．设且，，记a，c中较大的数为M，则M的最小值为________________.四、解答题:本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：组别个人赛团体赛获奖一等奖二等奖三等奖高一20206050高二162910550(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和均值.16．（15分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.(1)求A；(2)若，且的面积为，求的周长.17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，P为的中点.(1)证明:.(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.18．（17分）甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观.每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去约定先赢两局者获胜，比赛结束.根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局.(1)若第一局由甲、乙对战，求进行两局比赛后，比赛结束的概率；(2)若第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率；(3)判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大.19．（17分）已知椭圆过点，短轴长为4.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点，若椭圆C上的点到H的距离的最小值是，求正实数m的值；(3)椭圆C与y轴的交点为A、B（点A位于点B的上方），直线与椭圆C交于不同的两点M、N.设直线与直线相交于点G，求的最小值.参考答案1．答案：B解析：根据题意，原式，移项得，即，所以，解得，即，所以.故选：B.2．答案：C解析：，由题意可得得，故实数a的取值范围为3．答案：C解析：由，可得，则.故选：C.4．答案：C解析：设球心为,则满足:,即,解得:,所以半径,因此该四面体外接球的表面积为.故选:C.5．答案：C解析：前3个节目有B类节目分为有一个B类节目和有两个B类节目两种情况，则共有：，所以前3个有B类节目的不同排列方式有576种.故选：C.6．答案：C解析：作出示意图如图所示：则抛物线的性质，可得，又，所以可得的倾斜角为，则可得，从而.故选：C.7．答案：A解析：由题可知化简得解得,又,所以或3.故选A.8．答案：C解析：由，所以，则或，当时，，，，所以，，，此时不能成立；当时，，，，所以，，此时，即，由，可得；综上，所有正根的和为.故选：C9．答案：ACD解析：由图可知，，，即，又有，因此，，即，又有，因此，，综上，.对于A，的最小正周期为，故A正确；对于B，当时，，，，故的最大值为2，B错误；对于C，令，则，，当时，，当时，，当时，（舍），当时，（舍），故函数在区间上有2个极值点，一个是，一个是，C正确；对于D，，，斜率，根据直线的点斜式方程，函数在点处的切线方程为，即，故D正确；故选：ACD.10．答案：AB解析：对于A，等式右边最高次数为7，故，A正确；对于B，令，则，B正确；对于C，的系数为，C错误；对于D，令，则，D错误.故选：AB.11．答案：ABD解析：对于A，如图所示，取的中点O，连接，，因为，，，所以四边形为平行四边形，所以，故或其补角即为异面直线与所成角，设正方体的棱长为a，在中，，，，所以，即异面直线与所成角的正弦值为，故A正确；对于B，由选项A可知，，平面，平面，所以平面，故B正确；对于C，如图所示，连接，因为，，所以，所以A，C，E，H四点共面，所以直线与直线共面，故C错误；对于D，如图所示，取的中点K，连接，，连接，，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，，同理，，所以，，所以四边形为平行四边形，则过A，E，G三点的平面截正方体所得的截面为四边形，又，所以四边形为菱形，故D正确，故选：ABD12．答案：/解析：因为，，所以，因为，则，则，解得.故答案为：.13．答案：解析：如图，设以为圆心，a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A，B两点，则到渐近线的距离，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以.故答案为：14．答案：解析：，，，故，当且仅当时等号成立.故答案为：15．答案：(1)(2)分布列见解析，均值为解析：（1）记“任取1名学生，该学生获得一等奖”为事件A，“任取1名学生，该学生来自高一”为事件B，由题意，获奖学生共有（人），则，，故.（2）由已知可得，X的可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为012.16．答案：(1)(2)解析：（1）因为，由正弦定理得，因为，可得，所以，若，则，不合题意，故，所以，又因为，所以.（2）因为的面积为，可得，可得，又因为，所以，由余弦定理，可得，所以，所以的周长为.17．答案：(1)证明见详解(2)解析：（1）连接，，，，平面平面，且平面平面，平面，平面，平面，，在矩形中，易知，则，即，，平面，平面，又平面，；（2）取的中点M，连接，分别以，，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，，，，Q为的中点，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，故，则直线与平面所成角的正弦值为.18．答案：(1)(2)(3)第一局由甲、丙对战，甲胜的概率最大；说明见解析解析：（1）记甲、乙、丙第i局比赛获胜分别为事件，，记比赛两局结束为事件M，则所以.则第一局由甲、乙对战，进行两局比赛，比赛结束的概率为.（2）记第一局由乙、丙对战且甲获胜为事件N，则所以则第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率为；（3）由（2）可得第一局由乙丙对战，甲胜的概率为，同理第一局由甲、乙对战，甲胜的概率为，第一局由甲、丙对战，甲胜的概率为，因为，所以第一局由甲、丙对战，甲胜的概率最大.19．答案：(1)(2)或(3).解析：（1）由题意得椭圆过点，且短轴长为4，可得，解得，可得椭圆C的方程为；（2）设椭圆上任一点为，故，则，则点Q到H的距离为，由于在椭圆上，所以，令二次函数，其对称轴为，而，当时，解得，此时，解得或（舍），当时，解得，此时二次函数在上单调递