山西省大同市煤矿第一中学校2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

煤矿第一中学校2025-2026学年第二学期高一期末考试数学试题一、单选题1．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，，若，则实数（

）A． B．1 C． D．3．设为两个平面，为两条直线，则下列结论中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则或4．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（

）A． B． C． D．5．已知的内角的对边分别为，若，则是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形6．在正四面体中，E，F，G分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．已知两个随机事件A，B相互独立，，则（

）A．0.68 B．0.76 C．0.88 D．0.988．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A． B． C． D．二、多选题9．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C发生的概率分别为p，2p，，则下列结论正确的是（

）A． B．若，则C．若与C是对立事件，则 D．事件A，B不相互独立10．在中，，，，则（

）A． B．的面积为C．外接圆直径是 D．内切圆半径是11．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（

）

A．存在点使得B．若点满足，则动点的轨迹长度为C．若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形D．当点在侧面，且满足时，二面角的最大角的正切值为2三、填空题12．已知复数z满足，则的最小值为_____．13．如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米．14．已知在平行四边形ABCD中，，，，点E，F分别在边BC，CD上，，则的最大值为__________.四、解答题15．在中，角的对边分别为，满足．(1)求角；(2)若，，求的面积．16．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为中点，.

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.17．某市组织数学建模大赛，从参加比赛的名学生中随机抽取名学生的成绩进行样本分析（满分为分，按照，，…，分成六组），并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中．

(1)求图中的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表）(2)根据成绩，准备给成绩较高的的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分；(3)若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是，求落在中的样本数据的平均数和方差．18．在中，角的对边分别为，且向量.(1)求角；(2)若的面积为，点为边的中点，求的长.19．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=2.(1)证明:平面PBE⊥平面PAB；(2)求点D到平面PBE的距离；(3)求平面PAD和平面PBE所成锐二面角的余弦值.

1．D【详解】由，得复数在复平面内对应的点为，位于第四象限．故选：D．2．A【详解】因为，所以，解得．故选：A．3．C【详解】对于A：当直线在平面内时，即，此时也可能满足，但根据定义，直线在平面内，线面不平行，故A错误；对于B：当时，若，则，此时，不成立，故B错误；对于C：由，经过直线的平面如果与平面有交线，由线面平行的性质定理知且，又，所以，而，所以，故C正确；对于D：在正方体中，设平面为平面，平面为平面，则两平面的交线为.设直线为，则，但不与垂直，也不与垂直，故D错误.故选：C.4．B【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.故选：B.5．D【详解】由正弦定理，又已知，所以，所以，因为，所以，，又，所以，同理可得，所以是等腰直角三角形.6．B【详解】由于分别是中点，所以，可得是异面直线与所成角（或其补角），设正四面体的边长为，则，，所以.7．C【详解】事件，相互独立，，，;.8．D【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为、中点，，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即，故选D．解法二:设，分别为中点，，且，为边长为2的等边三角形，又中余弦定理，作于，，为中点，，，，，又，两两垂直，，，，故选D.9．ABD【详解】对于A，因是互斥事件，故，故A正确；对于B，若，则，故B正确；

对于C，若与C是对立事件，则，即，得，故C错误；对于D，因为互斥，所以，故，所以事件不相互独立，故D正确.故选：ABD10．ACD【详解】解：，由于在中，则，故，A正确；，B错误；设外接圆半径为，，C正确；设内切圆半径为，则，即，解得，D正确.故选：ACD.11．ACD【详解】设正方体棱长为，为中点，对A：如图：

在正方体中，对角线A1C⟂若取动点落在的边上，则平面，由线面垂直性质得：A1C⟂AP，所以存在满足条件的点对B：如图

建立空间直角坐标系：，，设，，AP⟂BF，所以，即，在正方体表面，满足该式的动点轨迹为矩形（分别为中点），矩形邻边长：，轨迹周长，故B错误；对C：如图：

依次取：为中点，为中点，为中点，为中点，为中点，顺次连接，得六边形，由中位线定理：IJ//所以平面，平面，又是平面内的两条相交直线，所以平面平面，若在六边形边上，则平面，所以平面，即动点的轨迹为六边形，因为正方体棱长为，所以，该六边形六条边长全部相等，每个内角均为，六边形是正六边形，所以动点的轨迹是正六边形，故C正确；对D：如图：

由以上坐标系知，且正方体棱长为，侧面内所有点横坐标恒为，设，其中设，代入距离公式：，即，在侧面矩形内，该方程表示以为圆心、半径的一段圆弧，因为CD⟂BC,CD⟂CC所以CD⟂平面，又因为平面平面，平面，平面，根据二面角平面角定义，即为二面角的平面角，在矩形内，过作PQ⟂BC延长线，垂足为，中，，越大，二面角越大，即最大化，因为，则当取圆弧上切点时，，，所以，即二面角最大角的正切值为，故D正确.12．2【详解】方法一：几何法

复数在复平面内对应的点为，表示点在以为圆心、半径的圆上，表示点到原点的距离．圆心到原点的距离为，因为圆上点到原点的最小距离圆心到原点距离半径，即．方法二：代数法设，由得，即，所以，由圆的范围，得，当时，．13．【详解】由题设，由正弦定理知，即，所以米．故答案为：．14．5【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，则，设，，其中，，则，，由，可得，即，所以，所以当时，取得最大值5.故答案为：15．(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理，可得，即，因为，可得，所以，又因为，所以.（2）因为，，且由余弦定理知，即，解得，所以的面积为．16．(1)连接交于点，连接，由四边形为正方形，可知为中点，为中点，所以，又平面，平面，所以平面.(2)【详解】（1）略（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．

17．(1)，众数为(2)分．(3)；【详解】（1）依题意可知，，又，解得，

由图可知样本数据的众数落在区间内，所以估计样本数据的众数为125．（2）由（1）可知，即成绩落在中的频率为，成绩落在中的频率为0.25，则获得一等奖学生的最低分应落在中．

设获得一等奖学生的最低分为x，则有，解得，即估计获得一等奖学生的最低分约为138分．（3），

.18．(1)(2)【详解】（1）因为，所以，由正弦定理得，由余弦定理得因为，所以.（2）解法一：因为，所以，则即，又，所以，则，所以.故.所以，所以.在中，由余弦定理可得，即.解法二：因为，所以，则即，又，所以，则，所以.故.所以，所以.由余弦定理得：，所以，又由极化恒等式得：所以，所以解法三：因为，所以，则即又，所以，则，所以.故.所以，所以.由余弦定理得：，所以由平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍得所以所以

19．（1）证明：连接BD，由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，可知是正三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB//CD，所以因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE.又平面PAB，平面PAB，AB∩PA=A，所以BE⊥平面PAB，又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.（2）；（3）【详解】(1)略；(2)因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AB.又PA=2，AB=1，所以.因为正三角形BCD中，BC=1，E是CD的中点，所以.因为BE⊥平面PAB，平面PAB，所以BE⊥PB，所以因为，PA⊥底面ABCD，设点D到平面PBE的距离为d，所以，而所以，即点D到平面PBE的距离为.(3)延长BE、AD，交于点F，连PF，则PF为平面PAD和平面PBE的交线.取AD中点H，连BH，过B作，垂足为I，连HI.由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，可知是正三角形，因为H是AD的中点，所以.因为PA⊥底面ABCD，平面ABCD，所以.PA⊥BH.又平面PAD，平面PAD，AD∩PA=A，