陕西省渭南市蒲城县桥山中学2025-2026学年高二上学期第三次质量检测数学试卷（含解析）

蒲城县桥山中学2025-2026学年高二上学期第三次质量检测数学试题一、单选题1．已知，，，若，，共面，则（

）A．0 B．1 C．2 D．－12．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（

）A． B． C． D．或3．已知空间三点，则下列命题正确的是（

）A．若为的中点，则点的坐标为B．若四边形为平行四边形，则点的坐标为C．向量与向量夹角为D．以为邻边的平行四边形面积为4．如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（

）A． B． C． D．5．已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（

）A． B． C． D．6．已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，则点到平面的距离为（

）

A． B． C． D．8．如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，且，为的重心，则与底面所成的角满足（

）A． B．C． D．二、多选题9．下列结论不正确的是（

）．A．过点，的直线的倾斜角为B．直线恒过定点C．直线与直线之间的距离是D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是510．已知平面的法向量分别是，直线的方向向量为，则（

）A．B．C．可以作为空间的一个基底D．在上的投影向量的模长为211．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，则下列说法中正确的是（

）A． B．C．向量与的夹角是 D．与AC所成角的余弦值为三、填空题12．设，，向量，，，且，，则等于_____.13．在长方体中，，，点M满足，则点M到直线的距离为_____.14．以椭圆的对称轴为坐标轴，若该椭圆短轴的一个端点与两焦点是一个正三角形的三个顶点，焦点在轴上，且，则椭圆的标准方程是______．四、解答题15．已知向量.求：(1)(2)16．已知抛物线上的点到焦点F的距离为6．(1)求抛物线C的方程；(2)过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段的中点，求直线l方程．17．如图，在直三棱柱中，，为的中点，.(1)求异面直线与夹角的余弦值(2)求点平面的距离.18．如图，在四棱锥中，底面，四边形为矩形，且，为线段上一点，满足，设，．(1)求实数的值；(2)求二面角的余弦值．19．如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，.(1)证明：平面；(2)若圆锥的母线长为4，求二面角的正弦值.20．如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点．(1)设平面平面，若P为的中点，求证：；(2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

1．D【详解】因为，，，若，，共面，则存在实数使得：，则，解得.故选：D.2．D【详解】因为，所以，则或.故选：D3．D【详解】对于A，因为为的中点，所以，即，故A错误；对于B，因为四边形为平行四边形，所以，由，设，则，所以，解得，即，故B错误；对于C，由，，则，，，所以，所以向量与向量夹角为，故C错误；对于D，由C知，，，，所以以为邻边的平行四边形面积为：，故D正确.故选：D.4．B【详解】解：，，．故选：B．5．D【详解】因为，，，所以，所以，，所以向量在上的投影向量是，所以向量在上的投影向量的坐标是，故选：D.6．C【详解】设，又，得，即点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，又过定点，又，所以在圆外，设点到直线的距离为，点在圆上，直线恒过点，点到直线的距离的最大值，等于圆心到直线的距离与半径之和的最大值，圆心到直线的距离的最大值为，所以点到直线的距离的最大值为.故选：C.7．B【详解】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

所以，，，，所以，.设平面的法向量，所以令，解得，，所以平面的一个法向量，又，所以点到平面的距离.故选：B.8．B【详解】以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，所以，．易知平面的一个法向量为，则，所以，.故选：B9．ABC【详解】A选项，过点，的直线的斜率为，设直线倾斜角为，则，由于，故过点，的直线的倾斜角不为，A错误；B选项，直线变形得到，令，解得，故直线恒过点，B错误；C选项，直线变形为，故与直线之间的距离是，故C错误；D选项，在平面直角坐标系中画出，，两点都在轴上方，画出关于轴的对称点，连接，与轴交于点，则即为的最小值，则，D正确.故选：ABC10．AC【详解】对于A，因为，所以，则，故，故A正确；对于B，因为，，所以，则，若，则，或，故B不正确；对于C，由选项A，B解析可知，由的坐标可知不共线，所以不共面，则可以作为空间的一个基底，故C正确；对于D，在上的投影向量的模长为，故D不正确．故选：AC.11．AB【详解】因为以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，所以，，则，所以A正确；，则，故，所以B正确；显然为等边三角形，则.因为，且向量与的夹角是，所以与的夹角也是，所以C不正确；因为，所以，所以，所以D不正确.故选：AB12．3【详解】因为，，，所以，因为，所以，得，故，故.故答案为：13．/【详解】以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，则，得，则向量在上的投影向量的模长为，又，则点M到直线的距离为.故答案为：14．【详解】设椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆短轴的一个端点为，如图，已知是正三角形，可得，联立，解得，∴椭圆的标准方程是．故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1），，，故.（2），，，，因为向量夹角范围是，所以.16．(1).(2).【详解】（1）由题设，抛物线准线方程为，∴抛物线定义知：，可得，∴.（2）由题设，直线l的斜率存在且不为0，设，联立抛物线方程，有，整理得，则，又P是线段的中点，∴，即，故.17．(1)(2)【详解】（1）由题意可得，，又，所以以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，由，，可得，则有，，，所以，，所以所以异面直线与夹角的余弦值（2）设平面的一个法向量为，，，所以，即，令，则，，所以，向量，则点平面的距离18．(1)(2)【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，∴，设，∵，，∴，∴，，，∴，∵，∴，解得．（2）由（1）中建立的空间直角坐标系得，，，，，∴，，设平面的法向量为，则，取，得，设平面的法向量为，则，取，得，∴，由图知，二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为．19．(1)证明：由题知，平面，，故以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，，，，，平面，平面.(2)【详解】（1）略（2）由题知，，由（1）可知，为平面的一个法向量，，，设平面的法向量为，则，，令，得，则，二面角的正弦值为.20．(1)设的中点为，连接，因为P