2026年天津市高一数学第二十八章复数与数列综合题库试卷

2026年天津市高一数学第二十八章复数与数列综合题库试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知复数z满足|z-2|+|z+2|=6，则z在复平面内对应的点构成的图形是（）A.以（2，0）、（-2，0）为焦点的椭圆B.以（2，0）、（-2，0）为端点的射线C.以（2，0）、（-2，0）为顶点的等腰梯形D.以（2，0）、（-2，0）为顶点的正方形解析：由复数模的几何意义，|z-2|+|z+2|=6表示到点（2，0）和（-2，0）的距离之和为6的点的轨迹。根据椭圆定义，当两定点距离小于动点距离和时，轨迹为椭圆。此处|2-（-2）|=4<6，故为椭圆。选项A正确。2.若复数z=1+i，则z³的虚部为（）A.0B.2C.-2D.4解析：z³=(1+i)³=1+3i+3i²+3i³=1+3i-3-i=-2+2i，虚部为2。选项B正确。3.等差数列{aₙ}中，a₁=5，公差d=-2，则前n项和Sₙ的最小值为（）A.10B.8C.-10D.-12解析：Sₙ=na₁+n(n-1)/2d=5n-n(n-1)=10n-n²。该二次函数开口向下，顶点为n=5时，Sₙ=25-25=0。但需注意n为正整数，故最小值在n=4或5时取到，S₄=S₅=-10。选项C正确。4.已知数列{bₙ}满足b₁=1，bₙ₊₁=2bₙ+1，则b₅的值为（）A.31B.63C.127D.255解析：该数列是递推数列，可转化为bₙ₊₁+1=2(bₙ+1)，即{bₙ+1}是首项为2、公比为2的等比数列。bₙ+1=2ⁿ，b₅=2⁵-1=31。选项A正确。5.若数列{cₙ}的前n项和为Sₙ=3n²-2n，则c₅的值为（）A.24B.30C.36D.42解析：cₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=3n²-2n-[3(n-1)²-2(n-1)]=6n-5。c₅=6×5-5=25。选项无正确答案，需修正题目。6.已知复数z₁=2-3i，z₂=1+i，则z₁•z₂的模长为（）A.5B.√10C.√13D.7解析：z₁•z₂=(2-3i)(1+i)=2+2i-3i-3i²=5-i，模长|5-i|=√(5²+（-1）²)=√26。选项无正确答案，需修正题目。7.等比数列{aₙ}中，a₂=6，a₅=162，则该数列的公比q为（）A.3B.2C.-3D.-2解析：a₅=a₂q³⇒162=6q³⇒q³=27⇒q=3。选项A正确。8.已知数列{dₙ}的前n项和为Sₙ=n²+n，则d₄的值为（）A.16B.20C.24D.28解析：dₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=n²+n-[（n-1）²+(n-1)]=2n。d₄=2×4=8。选项无正确答案，需修正题目。9.若复数z满足|z|=2且argz=π/3，则z的代数形式为（）A.1+iB.√3+iC.2√3+iD.2+i解析：z=|z|e^(iarg)=2(cos(π/3)+isin(π/3))=2(1/2+√3/2i)=1+√3i。选项B正确。10.已知数列{eₙ}的前n项和为Sₙ=2^n-1，则e₄的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：eₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2^n-1-[2^(n-1)-1]=2^n-2^(n-1)=2^(n-1)。e₄=2³=8。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z=3+4i，则z的共轭复数为________。参考答案：3-4i解析：共轭复数是将虚部取相反数，即3-4i。2.已知复数z₁=1-2i，z₂=3+i，则z₁+z₂的实部为________。参考答案：4解析：z₁+z₂=(1-2i)+(3+i)=4-i，实部为4。3.等差数列{aₙ}中，a₁=2，d=3，则a₁+a₂+a₃+a₄+a₅的值为________。参考答案：35解析：S₅=5a₁+5×4/2×d=5×2+10×3=35。4.等比数列{bₙ}中，b₁=1，q=2，则b₄+b₅+b₆+b₇的值为________。参考答案：240解析：b₄+b₅+b₆+b₇=2³+2⁴+2⁵+2⁶=2³(1+2+4+8)=64×15=240。5.已知数列{cₙ}的前n项和为Sₙ=n²，则c₃的值为________。参考答案：6解析：c₃=S₃-S₂=3²-2²=9-4=6。6.若复数z满足|z|=1且argz=π/4，则z²的代数形式为________。参考答案：0+i解析：z²=2(cos(π/2)+isin(π/2))=0+i。7.已知数列{dₙ}满足dₙ₊₁=3dₙ-2且d₁=1，则d₅的值为________。参考答案：65解析：d₂=3×1-2=1，d₃=3×1-2=1，d₄=3×1-2=1，d₅=3×1-2=1。需修正题目。8.若复数z₁=2+i，z₂=1-2i，则|z₁-z₂|的值为________。参考答案：√13解析：|z₁-z₂|=|（2+i）-(1-2i)|=|1+3i|=√10。需修正题目。9.已知数列{eₙ}的前n项和为Sₙ=2n²-n，则e₄的值为________。参考答案：21解析：e₄=S₄-S₃=2×4²-4-[2×3²-3]=32-4-15=21。10.若复数z=1+i，则z³的实部为________。参考答案：-2解析：z³=(1+i)³=1+3i-3-i=-2+2i，实部为-2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z₁=3+4i，z₂=2-3i，则z₁•z₂是纯虚数。解析：z₁•z₂=(3+4i)(2-3i)=6-9i+8i-12i²=18-i，不是纯虚数。错误。2.等差数列{aₙ}中，若aₙ=aₘ，则n=m。解析：若公差d=0，则所有项相等，n可等于m。若d≠0，则n=m。错误。3.等比数列{bₙ}中，若bₙ=bₘ，则n=m。解析：若公比q=1，则所有项相等，n可等于m。若q≠1，则n=m。错误。4.若复数z满足|z|=1，则z²一定是实数。解析：z=cosθ+isinθ，z²=cos2θ+isin2θ，当θ=π/4时，z²=-√2/2+i√2/2，不是实数。错误。5.数列{cₙ}的前n项和为Sₙ=n²+n，则{cₙ}是等差数列。解析：cₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=n²+n-[（n-1）²+(n-1)]=2n，是等差数列。正确。6.若复数z₁、z₂满足|z₁|=|z₂|，则z₁=z₂。解析：z₁=1+i，z₂=-1-i，|z₁|=|z₂|=√2，但z₁≠z₂。错误。7.等差数列{aₙ}中，若aₙ>0，则Sₙ一定大于0。解析：若首项a₁<0且公差d<0，则存在n使aₙ=0，此时Sₙ≤0。错误。8.等比数列{bₙ}中，若bₙ>0，则Sₙ一定大于0。解析：若首项b₁<0且公比q<0，则存在n使bₙ=0，此时Sₙ≤0。错误。9.若复数z₁、z₂满足z₁•z₂是实数，则z₁、z₂互为共轭复数。解析：z₁=1+i，z₂=1-i，z₁•z₂=2，是实数，但z₂不是z₁的共轭复数。错误。10.数列{dₙ}的前n项和为Sₙ=2^n-1，则{dₙ}是等比数列。解析：dₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2^n-1-[2^(n-1)-1]=2^(n-1)，是等比数列。正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.复数z=3+4i，求z的模长和辐角主值。解析：模长|z|=√(3²+4²)=5，辐角θ=arctan(4/3)，约等于53.13°。2.等差数列{aₙ}中，a₁=5，d=-2，求S₁₀的值。解析：S₁₀=10×5+10×9/2×(-2)=50-90=-40。3.等比数列{bₙ}中，b₁=2，q=3，求b₅的值。解析：b₅=2×3⁴=162。4.已知数列{cₙ}的前n项和为Sₙ=n²+n，求c₄的值。解析：c₄=S₄-S₃=16+4-[9+3]=6。5.若复数z₁=1+i，z₂=2-i，求z₁+z₂的代数形式和三角形式。解析：z₁+z₂=3-i，模长|z₁+z₂|=√10，辐角θ=arctan(-1/3)，约等于-18.43°。6.等差数列{aₙ}中，a₃=7，a₇=15，求该数列的通项公式。解析：4d=a₇-a₃=15-7=8⇒d=2，a₁=a₃-2d=3，aₙ=3+2(n-1)=2n+1。7.等比数列{bₙ}中，b₂=6，b₅=162，求该数列的通项公式。解析：3q³=162/6=27⇒q=3，b₁=6/3=2，bₙ=2×3^(n-1)。8.已知数列{dₙ}的前n项和为Sₙ=2^n-1，求dₙ的通项公式。解析：dₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=2^n-1-[2^(n-1)-1]=2^(n-1)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.复数z=1+i，求z³的值。解析：z³=(1+i)³=1+3i+3i²+3i³=1+3i-3-i=-2+2i。2.等差数列{aₙ}中，a₁=2，d=5，求S₁₀的值。解析：S₁₀=10×2+10×9/2×5=20+225=245。3.等比数列{bₙ}中，b₁=3，q=2，求b₅的值。解析：b₅=3×2⁴=48。4.已知数列{cₙ}的前n项和为Sₙ=n²+n，求c₅的值。解析：c₅=S₅-S₄=25+5-[16+4]=10。5.若复数z₁=2+i，z₂=1-2i，求z₁•z₂的值。解析：z₁•z₂=(2+i)(1-2i)=2-4i+i-2i²=4-3i。6.等差数列{aₙ}中，a₃=9，a₇=21，求该数列的通项公式。解析：4d=21-9=12⇒d=3，a₁=6，aₙ=6+3(n-1)=3n+3。7.等比数列{bₙ}中，b₂=4，b₅=64，求该数列的通项公式。解析：3q³=64/4=16⇒q=2，b₁=2，bₙ=2×2^(n-1)=2ⁿ。8.已知数列{dₙ}的前n项和为Sₙ=3^n-1，求dₙ的通项公式。解析：dₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=3^n-1-[3^(n-1)-1]=2×3^(n-1)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.C4.A5.D6.C7.A8.B9.B10.A二、填空题1.3-4i2.43.354.2405.66.0+i7.需修正题目8.√109.2110.-2三、判断题1.×2.×3