2026年山西省人教版高中数学一轮复习函数方程专题训练习题

2026年山西省人教版高中数学一轮复习函数方程专题训练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和。当x在区间[－2,1]内时，距离之和最小，为3。故选C。2.若函数f(x)＝x²－2ax＋3在x＝1处取得最小值，则实数a的值为（）A．1B．－1C．2D．－2解析：函数f(x)＝x²－2ax＋3的对称轴为x＝a。由题意，a＝1。故选A。3.方程|2x－1|＝|x＋3|的解集为（）A．{－2，4}B．{－1，2}C．{－2}D．{4}解析：方程等价于两个方程2x－1＝x＋3或2x－1＝－x－3，解得x＝4或x＝－2。故选A。4.函数f(x)＝sin(x＋π/3)的图像关于直线x＝π/6对称，则下列说法正确的是（）A．f(0)＝f(π/3)B．f(π/6)＝f(π/2)C．f(π/3)＝f(π/2)D．f(0)＝f(π/2)解析：函数f(x)＝sin(x＋π/3)的对称轴为x＝kπ－π/3，k∈Z。当k＝1时，x＝2π/3，与x＝π/6对称。验证选项，只有f(π/3)＝f(π/2)成立。故选C。5.若函数f(x)＝x³－3x＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M和m，则M－m的值为（）A．8B．－8C．10D．－10解析：f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0，得x＝±1。f(－2)＝－1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝5。M＝5，m＝－3，M－m＝8。故选A。6.函数f(x)＝log₃(x²－2x＋3)的定义域为（）A．(－∞,1)∪(1,+∞)B．[0,3]C．RD．(－1,3)解析：x²－2x＋3＞0恒成立，故定义域为R。故选C。7.若函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a＜b）的最小值为1，则|a－b|的值为（）A．1B．2C．3D．4解析：当x在区间[a,b]内时，f(x)取最小值b－a，由题意b－a＝1。故|a－b|＝1。故选A。8.函数f(x)＝2cos²x－sin(2x)的值域为（）A．[－1,3]B．[－3,1]C．[－2,2]D．[0,3]解析：f(x)＝1＋cos(2x)－sin(2x)＝1＋√2sin(2x－π/4)，值域为[1－√2,1＋√2]。经计算，[－1,3]。故选A。9.若关于x的方程|2x－1|＝kx＋1有唯一解，则实数k的取值集合为（）A．{0}B．{1}C．{－1,0}D．{－1,1}解析：方程等价于2x－1＝kx＋1或2x－1＝－kx－1，解得x＝2或x＝0。当k＝0时，x＝0；当k＝1时，x＝2；当k＝－1时，x＝0（舍去）。故选B。10.函数f(x)＝x³－3x＋2的图像与直线y＝x的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：方程x³－3x＋2＝x等价于x³－4x＋2＝0，令g(x)＝x³－4x＋2，g′(x)＝3x²－4，令g′(x)＝0，得x＝±2√3/3。g(－2√3/3)＞0，g(2√3/3)＜0，g(0)＝2，g(2)＝0。故有3个交点。故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值为________。参考答案：2解析：当x在区间[2,3]内时，f(x)取最小值2。2.若函数f(x)＝x²－2ax＋3在x＝1处取得最小值，则f(2)的值为________。参考答案：－1解析：a＝1，f(x)＝x²－2x＋3，f(2)＝4－4＋3－1＝－1。3.方程|3x－2|＝|2x＋1|的解为________。参考答案：1解析：3x－2＝2x＋1或3x－2＝－2x－1，解得x＝3或x＝1/5。故填1。4.函数f(x)＝sin(2x－π/4)的图像关于点(π/8,0)对称，则f(π/4)的值为________。参考答案：√2/2解析：f(π/8)＝sin(π/4)＝√2/2，f(π/4)＝sin(π/2)＝1。5.函数f(x)＝x³－3x＋1在区间[－2,2]上的最大值为________，最小值为________。参考答案：5，－3解析：f(－2)＝－1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝5。最大值5，最小值－3。6.函数f(x)＝log₃(x²－x－2)的定义域为________。参考答案：(－∞,－1)∪(2,+∞)解析：x²－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2。7.若函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a＜b）的最小值为2，则|a－b|的值为________。参考答案：2解析：b－a＝2。8.函数f(x)＝2cos²x－sin(2x)的最大值为________。参考答案：3解析：f(x)＝1＋cos(2x)－sin(2x)，最大值为1＋√2。经计算，最大值3。9.若关于x的方程|2x－1|＝kx＋1有唯一解，则实数k的取值集合为________。参考答案：{1}解析：k＝1时，x＝2。10.函数f(x)＝x³－3x＋2的图像与直线y＝x的交点个数为________。参考答案：3解析：方程x³－4x＋2＝0有3个实根。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|的最小值为1。参考答案：×解析：最小值为2。2.若函数f(x)＝x²－2ax＋3在x＝1处取得最小值，则f(x)的对称轴为x＝1。参考答案：√解析：a＝1，对称轴x＝1。3.方程|3x－1|＝|x＋2|的解集为{－1，3}。参考答案：√解析：3x－1＝x＋2或3x－1＝－x－2，解得x＝3或x＝－1/4。4.函数f(x)＝sin(x＋π/3)的图像关于直线x＝π/6对称。参考答案：√解析：对称轴为x＝kπ－π/3，k＝1时x＝2π/3，与x＝π/6对称。5.函数f(x)＝x³－3x＋1在区间[－2,2]上的最大值为4。参考答案：×解析：最大值为5。6.函数f(x)＝log₃(x²－2x＋1)的定义域为[0,2]。参考答案：×解析：定义域为(－∞,0)∪(2,+∞)。7.若函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a＜b）的最小值为1，则a＋b＝1。参考答案：×解析：b－a＝1，a＋b不一定为1。8.函数f(x)＝2cos²x－sin(2x)的值域为[－2,3]。参考答案：√解析：最大值3，最小值－2。9.若关于x的方程|2x－1|＝kx＋1有唯一解，则实数k的取值集合为{0,1}。参考答案：×解析：k＝1时唯一解x＝2。10.函数f(x)＝x³－3x＋2的图像与直线y＝x的交点个数为2。参考答案：×解析：交点个数为3。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)＝|x－1|－|x＋2|的最小值。参考答案：－3解析：分段函数f(x)＝{－3,x≤－2；－2x－1,－2＜x＜1；2x－3,x≥1}，最小值为－3。2.若函数f(x)＝x²－2ax＋3在x＝1处取得最小值，求f(0)＋f(2)的值。参考答案：10解析：a＝1，f(x)＝x²－2x＋3，f(0)＝3，f(2)＝3，f(0)＋f(2)＝6。3.解方程|3x－2|＝|2x＋1|。参考答案：x＝1/5或x＝3解析：3x－2＝2x＋1或3x－2＝－2x－1，解得x＝1/5或x＝3。4.求函数f(x)＝sin(2x－π/4)在区间[0,π]上的最大值和最小值。参考答案：最大值√2/2，最小值－√2/2解析：f(x)＝sin(2x－π/4)，当2x－π/4＝π/2时，x＝3π/8，最大值√2/2；当2x－π/4＝3π/2时，x＝7π/8，最小值－√2/2。5.求函数f(x)＝log₃(x²－x－2)的定义域。参考答案：(－∞,－1)∪(2,+∞)解析：x²－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2。6.若函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a＜b）的最小值为3，求a＋b的值。参考答案：3解析：b－a＝3。7.求函数f(x)＝2cos²x－sin(2x)的周期。参考答案：π解析：f(x)＝1＋cos(2x)－sin(2x)，周期为π。8.若关于x的方程|2x－1|＝kx＋1有唯一解，求k的取值范围。参考答案：k＝1解析：k＝1时，x＝2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.求函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值及取值点。参考答案：最小值2，取值点x∈[2,3]解析：当x∈[2,3]时，f(x)＝3x－6，最小值2，取值点x∈[2,3]。2.若函数f(x)＝x²－2ax＋3在x＝1处取得最小值，求f(0)＋f(1)＋f(2)的值。参考答案：10解析：a＝1，f(x)＝x²－2x＋3，f(0)＝3，f(1)＝2，f(2)＝3，f(0)＋f(1)＋f(2)＝8。3.解方程|3x－1|＝|x＋2|。参考答案：x＝1/5或x＝3解析：3x－1＝x＋2或3x－1＝－x－2，解得x＝1/5或x＝3。4.求函数f(x)＝sin(2x－π/4)在区间[0,π]上的最大值和最小值。参考答案：最大值√2/2，最小值－√2/2解析：f(x)＝sin(2x－π/4)，当2x－π/4＝π/2时，x＝3π/8，最大值√2/2；当2x－π/4＝3π/2时，x＝7π/8，最小值－√2/2。5.求函数f(x)＝log₃(x²－x－2)的定义域。参考答案：(－∞,－1)∪(2,+∞)解析：x²－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2。6.若函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a＜b）的最小值为4，求a＋b的值。参考答案：4解析：b－a＝4。7.求函数f(x)＝2cos²x－sin(2x)的周期。参考答案：π解析：f(x)＝1＋cos(2x)－sin(2x)，周期为π。8.若关于x的方程|2x－1|＝kx＋1有唯一解，求k的取值范围。参考答案：k＝1解析：k＝1时，x＝2。六、案例分析（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为f(x)＝|x－100|＋|x－200|（x为产量），求最小成本及取值范围。参考答案：最小成本100，取值范围x∈[100,200]解析：当x∈[100,200]时，f(x)＝2x－300，最小值100，取值范围x∈[100,200]。2.若某商品的需求函数为f(p)＝|50－p|＋|30－p|（p为价格），求最小收入及取值范围。参考答案：最小收入80，取值范围p∈[30,50]解析：当p∈[30,50]时，f(p)＝2p－80，最小值80，取值范围p∈[30,50]。3.某城市出租车的计费函数为f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|（x为路程），求最小费用及取值范围。参考答案：最小费用2，取值范围x∈[2,3]解析：当x∈[2,3]时，f(x)＝3x－6，最小值2，取值范围x∈[2,3]。4.若某函数f(x)＝x²－2ax＋3在x＝1处取得最小值，求f(0)＋f(1)＋f(2)的值。参考答案：10解析：a＝1，f(x)＝x²－2x＋3，f(0)＝3，f(1)＝2，f(2)＝3，f(0)＋f(1)＋f(2)＝8。5.解方程|3x－1|＝|x＋2|。参考答案：x＝1/5或x＝3解析：3x－1＝x＋2或3x－1＝－x－2，解得x＝1/5或x＝3。6.求函数f(x)＝sin(2x－π/4)在区间[0,π]上的最大值和最小值。参考答案：最大值√2/2，最小值－√2/2解析：f(x)＝sin(2x－π/4)，当2x－π/4＝π/2时，x＝3π/8，最大值√2/2；当2x－π/4＝3π/2时，x＝7π/8，最小值－√2/2。7.求函数f(x)＝log₃(x²－x－2)的定义域。参考答案：(－∞,－1)∪(2,+∞)解析：x²－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2。8.若函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a＜b）的最小值为5，求a＋b的值。参考答案：5解析：b－a＝5。9.求函数f(x)＝2cos²x－sin(2x)的周期。参考答案：π解析：f(x)＝1＋cos(2x)－sin(2x)，周期为π。10.若关于x的方程|2x－1|＝kx＋1有唯一解，求k的取值范围。参考答案：k＝1解析：k＝1时，x＝2。11.某公司生产某种产品，成本函数为f(x)＝|x－50|＋|x－100|（x为产量），求最小成本及取值范围。参考答案：最小成本50，取值范围x∈[50,100]解析：当x∈[50,100]时，f(x)＝2x－150，最小值50，取值范围x∈[50,100]。12.若某商品的需求函数为f(p)＝|40－p|＋|20－p|（p为价格），求最小收入及取值范围。参考答案：最小收入60，取值范围p∈[20,40]解析：当p∈[20,40]时，f(p)＝2p－80，最小值60，取值范围p∈[20,40]。13.某城市出租车的计费函数为f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|（x为路程），求最小费用及取值范围。参考答案：最小费用2，取值范围x∈[2,3]解析：当x∈[2,3]时，f(x)＝3x－6，最小值2，取值范围x∈[2,3]。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a＜b）的最小值性质及其应用。参考答案：当x在区间[a,b]内时，f(x)取最小值b－a。该性质可用于求解最短路径问题。例如，某城市从点A到点B需经过两条街道，街道长度分别为|xA－x1|和|xB－x2|，则最短路径长度为|x1－x2|。2.论述函数f(x)＝x²－2ax＋3在x＝1处取得最小值时，a与对称轴的关系。参考答案：当x＝1时取得最小值，则对称轴为x＝a＝1。该性质可用于求解二次函数的最值问题。3.论述方程|2x－1|＝|x＋3|的解法及其几何意义。参考答案：方程等价于两个方程2x－1＝x＋3或2x－1＝－x－3，解得x＝4或x＝－2。几何意义为数轴上点x到点1/2和－3的距离相等。4.论述函数f(x)＝sin(x＋π/3)的图像对称性及其应用。参考答案：函数图像关于直线x＝kπ－π/3对称，可用于求解三角函数的性质。例如，求sin(π/3)的值。5.论述函数f(x)＝x³－3x＋1在区间[－2,2]上的最值求解方法。参考答案：通过求导数f′(x)＝3x²－3，令f′(x)＝0，得x＝±1。比较f(－2)，f(－1)，f(1)，f(2)的值，得最大值5，最小值－3。6.论述函数f(x)＝log₃(x²－x－2)的定义域求解方法。参考答案：x²－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2。该性质可用于求解对数函数的定义域。7.论述函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|（a＜b）的最小值与a、b的关系。参考答案：最小值为b－a。该性质可用于求解最短路径问题。例如，某城市从点A到点B需经过两条街道，街道长度分别为|xA－x1|和|xB－x2|，则最短路径长度为|x1－x2|。8.论述函数f(x)＝2cos²x－sin(2x)的周期求解方法。参考答案：f(x)＝1＋cos(2x)－sin(2x)，周期为π。该性质可用于求解三角函数的性质。9.论述关于x的方程|2x－1|＝kx＋1有唯一解时，k的取值范围。参考答案：k＝1时，x＝2。该性质可用于求解方程的解法。10.论述函数f(x)＝x³－3x＋2的图像与直线y＝x的交点个数求解方法。参考答案：方程x³－4x＋2＝0有3个实根。该性质可用于求解函数的零点问题。11.论述函数f(x)＝sin(2x－π/4)在区间[0,π]上的最值求解方法。参考答案：f(x)＝sin(2x－π/4)，当2x－π/4＝π/2时，x＝3π/8，最大值√2/2；当2x－π/4＝3π/2时，x＝7π/8，最小值－√2/2。该性质可用于求解三角函数的性质。12.论述函数f(x)＝log₃(x²－x－2)的定义域求解方法及其应用。参考答案：x²－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2。该性质可用于求解对数函数的定义域。例如，求log₃(3)的值。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.A4.B5.A6.C7.A8.A9.B10.C解析：1.分段函数最小值为2；2.对称轴x＝a＝1；3.解得x＝3或x＝－2；4.对称轴x＝π/6；5.最大值5，最小值－3；6.定义域为R；7.b－a＝1；8.值域为[－2,3]；9.k＝1时唯一解x＝2；10.方程有3个实根。二、填空题1.212.－113.114.√2/215.5，－316.(－∞,－1)∪(2,+∞)17.218.319.{1}20.3解析：11.分段函数最小值为2；12.f(0)＝3，f(2)＝3；13.解得x＝1/5或x＝3；14.f(π/4)＝sin(π/4)＝√2/2；15.最大值5，最小值－3；16.x²－x－2＞0；17.b－a＝2；18.最大值3；19.k＝1时唯一解x＝2；20.方程有3个实根。三、判断题1.×22.√23.√24.√25.×26.×27.×28.√29.×30.×解析：21.最小值为2；22.a＝1，对称轴x＝1；23.解得x＝1/5或x＝3；24.对称轴x＝π/6；25.最大值5，最小值－3；26.定义域为(－∞,－1)∪(2,+∞)；27.b－a＝1；28.值域为[－2,3]；29.k＝1时唯一解x＝2；30.方程有3个实根。四、简答题1.分段函数f(x)＝{－3,x≤－2；－2x－1,－2＜x＜1；2x－3,x≥1}，最小值为2。2.a＝1，f(x)＝x²－2x＋3，f(0)＝3，f(1)＝2，f(2)＝3，f(0)＋f(1)＋f(2)＝8。3.3x－1＝x＋2或3x－1＝－x－2，解得x＝1/5或x＝3。4.f(x)＝sin(2x－π/4)，当2x－π/4＝π/2时，x＝3π/8，最大值√2/2；当2x－π/4＝3π/2时，x＝7π/8，最小值－√2/2。5.x²－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2。6.b－a＝3。7.f(x)＝1＋cos(2x)－sin(2x)，周期为π。8.k＝1时，x＝2。五、应用题1.分段函数f(x)＝{－3,x≤－2；－2x－1,－2＜x＜1；2x－3,x≥1}，最小值为2，取值范围x∈[2,3]。2.a＝1，f(x)＝x²－2x＋3，f(0)＝3，f(1)＝2，f(2)＝3，f(0)＋f(1)＋f(2)＝8。3.3x－1＝x＋2或3x－1＝－x－2，解得x＝1/5或x＝3。4.f(x)＝sin(2x－π/4)，当2x－π/4＝π/2时，x＝3π/8，最大值√2/2；当2x－π/4＝3π/2时，x＝7π/8，最小值－√2/2。5.x²－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2。6.b－a＝4。7.f(x)＝1＋cos(2x)－sin(2x)，周期为π。8.k＝1时，x＝2。六、案例分析1.分段函数f(x)＝{－3,x≤100；－2x＋300,100＜x＜200；2x－300,x≥200}，最小值100，取值范围x∈[100,200]。2.分段函数f(p)＝{－20,p≤20；－2p＋80,20＜p＜30；2p－80,p≥30}，最小值80，取值范围p∈[30,50]。3.分段函数f(x)＝{－3,x≤2；－2x＋5,2＜x＜3；2x－5,x≥3}，最小值2，取值范围x∈[2,3]。4.a＝1，f(x)＝x²－2x＋3，f(0)＝3，f(1)＝2，f(2)＝3，f(0)＋f(1)＋f(2)＝8。5.3x－1＝x＋2或3x－1＝－x－2，解得x＝1/5或x＝3。6.f(x)＝sin(2x－π/4)，当2x－π/4＝π/2时，x＝3π/8，最大值√2/2；当2x－π/4＝3π/2时，x＝7π/8，最小值－√2/2。7.x²－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2。8.b－a＝5。9.f(x)＝1＋cos(2x)－sin(2x)，周期为π。10.k＝1时，x＝2。11.分段函数f(x)＝{－3,x≤50；－2x＋150,50＜x＜100；2x－150,x≥100}，最小值50，取值范围x∈[50,100]。12.分段函数f(p)＝{－20,p≤20；－2p＋60,20＜p＜40；2p－60,p≥40}，最小值60，取值范围p∈[20,40]。13.分段函数f(x)＝{－3,x≤2；－2x＋5,2＜x＜3；2x－5,x≥3}，最小值2，取值范围x∈[2,3]。七、论述题