2026年辽宁省人教版高中数学选修第九册单元测试卷

2026年辽宁省人教版高中数学选修第九册单元测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修第九册第3章《极坐标与参数方程》中，若点P的极坐标为（4，π/3），则其直角坐标为（）A.（2，2√3）B.（-2，2√3）C.（2√3，-2）D.（-2√3，-2）解析：极坐标（ρ，θ）与直角坐标（x，y）的转换关系为x=ρcosθ，y=ρsinθ。代入ρ=4，θ=π/3，得x=4cos(π/3)=2，y=4sin(π/3)=2√3，故选A。注意θ为锐角时sinθ>0，cosθ>0，故x，y均正。2.已知曲线C的参数方程为x=t^2-1，y=2t+1（t为参数），则曲线C的普通方程为（）A.y^2=4x+4B.y^2=4x-4C.x^2=4y-4D.x^2=4y+4解析：消参法。由y=2t+1得t=(y-1)/2，代入x=t^2-1得x=((y-1)/2)^2-1，化简为y^2=4x+4。注意参数方程消参时需检验是否遗漏解，此处无遗漏。3.在极坐标系中，曲线ρ=2cosθ与ρ=4sinθ的交点坐标为（）A.（√2，π/4）B.（2，π/2）C.（√2，3π/4）D.（0，0）解析：联立方程组ρ=2cosθ，ρ=4sinθ，平方相加得ρ^2=2ρsinθ，即ρ=2sinθ。代入ρ=2cosθ得2cosθ=2sinθ，即tanθ=1，θ=π/4。此时ρ=2cos(π/4)=√2，故交点为（√2，π/4）。4.若曲线C的极坐标方程为ρ=4sin(θ+π/6)，则曲线C关于直线θ=π/2的对称曲线方程为（）A.ρ=4cos(θ+π/6)B.ρ=4cos(θ-π/6)C.ρ=-4cos(θ+π/6)D.ρ=-4cos(θ-π/6)解析：对称变换。直线θ=π/2的直角坐标方程为y=x，极坐标下为θ=π/4。将ρ=4sin(θ+π/6)中的θ替换为π/2-θ，得ρ=4sin(π/4-θ+π/6)=4sin(π/2-θ)=4cosθ，即ρ=4cos(θ-π/6)。5.已知点A的极坐标为（5，π/3），点B的直角坐标为（1，√3），则|AB|的长度为（）A.4B.3√2C.5√2D.6解析：坐标转换。点A直角坐标为（5cos(π/3)，5sin(π/3)）即（2.5，5√3/2）。点B坐标为（1，√3）。|AB|=√[(2.5-1)^2+(5√3/2-√3)^2]=√[1.5^2+(3√3/2)^2]=√[2.25+27/4]=√[6.25]=2.5。6.参数方程x=t+1/t，y=t-1/t（t为参数）表示的曲线不经过的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：分析符号。当t>0时，x=t+1/t≥2（均值不等式），y=t-1/t≥0，故在第一象限；当t<0时，x=t+1/t<0，y=t-1/t>0，故在第二象限；当t→0时，x→+∞，y→-∞，曲线穿过原点。综上，不经过第三象限。7.曲线ρ=2(1+cosθ)的形状是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析：标准极坐标方程。ρ=2(1+cosθ)可化为ρ=4cosθ/2，即ρ=4cosθ。转换为直角坐标方程为ρ^2=4ρcosθ，即x^2+y^2=4x，化简为(x-2)^2+y^2=4，表示以（2，0）为圆心，半径为2的圆。8.已知曲线C的参数方程为x=2cosα，y=3sinα（α为参数），则曲线C的离心率为（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/2解析：参数方程化为普通方程x/2=cosα，y/3=sinα，平方相加得x^2/4+y^2/9=1，这是椭圆方程。a=3，b=2，c=√(9-4)=√5，离心率e=c/a=√5/3。9.极坐标方程ρ=secθ+2cscθ表示的曲线是（）A.直线B.圆C.抛物线D.双曲线解析：化简ρ=1/cosθ+2/sinθ，通分得ρsinθ+2ρcosθ=2，即ρsinθ+ρcosθ=2。转换为直角坐标方程为y+x=2，表示过（2，0）的直线。10.若曲线C的参数方程为x=t^2-2t+3，y=t^2+2t-1（t为参数），则曲线C的顶点坐标为（）A.（1，-1）B.（2，-3）C.（0，0）D.（3，-1）解析：将x，y表示为t的函数，x=(t-1)^2+2，y=(t+1)^2-2。当t=1时，x取最小值2，y=0；当t=-1时，x=4，y=-4。曲线为抛物线，顶点在x=1处取得最小值，此时y=-1，故顶点为（1，-1）。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.极坐标方程ρ^2=4sin^2θ表示的曲线的直角坐标方程为__________。参考答案：x^2=4y解析：两边平方得ρ^2=4ρ^2sin^2θ，即ρ^2=4ρsinθ，转换为直角坐标方程ρ^2=4y，即x^2+y^2=4y，化简为x^2=(2y)^2，故x^2=4y。2.参数方程x=1+2cosθ，y=3+2sinθ（θ为参数）表示的曲线的普通方程为__________。参考答案：(x-1)^2+(y-3)^2=4解析：这是圆的标准参数方程，圆心为（1，3），半径为2，故普通方程为(x-1)^2+(y-3)^2=4。3.极坐标方程ρ=4cos(θ-π/4)表示的曲线的直角坐标方程为__________。参考答案：(x-√2/2)^2+(y+√2/2)^2=4解析：转换为直角坐标方程ρ^2=4ρ(cosθcos(π/4)+sinθsin(π/4))，即ρ^2=4ρ(√2/2cosθ+√2/2sinθ)，化简为ρ^2=2√2ρcosθ+2√2ρsinθ，即x^2+y^2=2√2x+2√2y，移项后完成平方得(x-√2/2)^2+(y+√2/2)^2=4。4.参数方程x=t+1/t，y=t^2+1/t^2（t为参数）表示的曲线的普通方程为__________。参考答案：y=x^2+2（x≠0）解析：由x=t+1/t得x^2=t^2+1/t^2+2，即x^2-2=y，故y=x^2-2。注意t≠0时x≠0。5.极坐标方程ρ=2sinθ+4cosθ表示的曲线的直角坐标方程为__________。参考答案：x^2+y^2-4x-2y=0解析：ρ=2sinθ+4cosθ，平方得ρ^2=4ρsinθ+8ρcosθ，转换为直角坐标方程x^2+y^2=4y+8x，移项得x^2+y^2-4x-2y=0。6.曲线C的参数方程为x=2cosα，y=3sinα（α为参数），则曲线C上任意一点到原点的距离为__________。参考答案：√13解析：参数方程表示椭圆x^2/4+y^2/9=1，半长轴a=3，半短轴b=2，焦距c=√(9-4)=√5，任意点到原点的距离范围是[a-c，a+c]，即[3-√5，3+√5]，最小值为√13。7.极坐标方程ρ=2secθ表示的曲线的直角坐标方程为__________。参考答案：x=2解析：ρ=2secθ即ρ=2/cosθ，转换为直角坐标方程ρcosθ=2，即x=2。8.参数方程x=1+2cosθ，y=2+2sinθ（θ为参数）表示的曲线的圆心坐标为__________。参考答案：（1，2）解析：这是圆的标准参数方程，圆心为（h，k），即（1，2）。9.极坐标方程ρ=4cosθ-3sinθ表示的曲线的直角坐标方程为__________。参考答案：(x+3/2)^2+(y-2/2)^2=13/4解析：ρ=4cosθ-3sinθ，平方得ρ^2=16ρcosθ-12ρsinθ，转换为直角坐标方程x^2+y^2=16x-12y，移项后完成平方得(x+3/2)^2+(y-2/2)^2=13/4。10.参数方程x=t^2-1，y=t^2+1（t为参数）表示的曲线的普通方程为__________。参考答案：y=x+2（x≥-1）解析：由x=t^2-1得t^2=x+1，代入y=t^2+1得y=x+2。注意t^2≥0，故x≥-1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.极坐标方程ρ=2cosθ与ρ=2sinθ表示的曲线是两个相交的圆。参考答案：正确解析：ρ=2cosθ表示圆心为（1，0），半径为1的圆；ρ=2sinθ表示圆心为（0，1），半径为1的圆。两圆相交于（√2/2，√2/2）和（√2/2，√2/2）。2.参数方程x=cosα，y=sinα（α为参数）表示的曲线是单位圆。参考答案：正确解析：这是单位圆的标准参数方程，满足x^2+y^2=1。3.极坐标方程ρ=4sin(θ+π/3)表示的曲线是椭圆。参考答案：错误解析：ρ=4sin(θ+π/3)=4(sinθcos(π/3)+cosθsin(π/3))=2sinθ+2√3cosθ，转换为直角坐标方程x^2+y^2=2y+2√3x，化简为(x-√3)^2+(y-1)^2=4，表示圆。4.参数方程x=t+1/t，y=t-1/t（t为参数）表示的曲线关于原点对称。参考答案：正确解析：令t'=-t，则x'=-t-1/t=-x，y'=-t+1/t=-y，曲线关于原点对称。5.极坐标方程ρ=2cosθ表示的曲线是直线。参考答案：错误解析：ρ=2cosθ转换为直角坐标方程为ρ^2=2ρcosθ，即x^2+y^2=2x，化简为(x-1)^2+y^2=1，表示圆。6.参数方程x=2cosθ，y=3sinθ（θ为参数）表示的曲线的离心率为√5/3。参考答案：正确解析：这是椭圆x^2/4+y^2/9=1，a=3，b=2，c=√(9-4)=√5，离心率e=c/a=√5/3。7.极坐标方程ρ=2sinθ+2cosθ表示的曲线是抛物线。参考答案：错误解析：ρ=2sinθ+2cosθ，平方得ρ^2=4ρsinθ+4ρcosθ，转换为直角坐标方程x^2+y^2=4y+4x，化简为(x-2)^2+(y-2)^2=8，表示圆。8.参数方程x=t^2，y=2t（t为参数）表示的曲线是抛物线。参考答案：正确解析：消参t=y/2，得x=(y/2)^2=y^2/4，即y^2=4x，表示抛物线。9.极坐标方程ρ=4cos(θ-π/4)表示的曲线关于x轴对称。参考答案：正确解析：将θ替换为-θ，ρ=4cos(-θ+π/4)=4cos(θ-π/4)，曲线关于x轴对称。10.参数方程x=1+2cosθ，y=1+2sinθ（θ为参数）表示的曲线的圆心坐标为（1，1）。参考答案：正确解析：这是圆的标准参数方程，圆心为（h，k），即（1，1），半径为2。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求极坐标方程ρ=4cosθ的圆心坐标和半径。参考答案：圆心（2，0），半径2解析：转换为直角坐标方程ρ^2=4ρcosθ，即x^2+y^2=4x，化简为(x-2)^2+y^2=4，圆心（2，0），半径2。2.求参数方程x=2cosα，y=2sinα（α为参数）的普通方程。参考答案：x^2+y^2=4解析：平方相加得x^2+y^2=4，表示以原点为圆心，半径为2的圆。3.求极坐标方程ρ=2sinθ+4cosθ的圆心坐标和半径。参考答案：圆心（2，1），半径√5解析：平方得ρ^2=4ρsinθ+8ρcosθ，转换为直角坐标方程x^2+y^2=4y+8x，化简为(x-2)^2+(y-1)^2=5，圆心（2，1），半径√5。4.求参数方程x=t+1/t，y=t-1/t（t为参数）的普通方程。参考答案：y=x（x≠0）解析：由x=t+1/t得x^2=t^2+1/t^2+2，即x^2-2=y，故y=x^2-2。注意t≠0时x≠0。5.求极坐标方程ρ=3cos(θ-π/3)的直角坐标方程。参考答案：(x-3√3/2)^2+(y-3/2)^2=9解析：ρ=3cos(θ-π/3)=3(cosθcos(π/3)+sinθsin(π/3))=3(√3/2cosθ+1/2sinθ)，平方得ρ^2=9ρ(√3/2cosθ+1/2sinθ)，转换为直角坐标方程x^2+y^2=9√3/2x+9/2y，化简为(x-3√3/2)^2+(y-3/2)^2=9。6.求参数方程x=1+2cosθ，y=3+2sinθ（θ为参数）的圆心坐标和半径。参考答案：圆心（1，3），半径2解析：这是圆的标准参数方程，圆心（1，3），半径2。7.求极坐标方程ρ=2cosθ+3sinθ表示的曲线的直角坐标方程。参考答案：(x-3/2)^2+(y+2/2)^2=13/4解析：平方得ρ^2=4ρcosθ+6ρsinθ，转换为直角坐标方程x^2+y^2=4x+6y，化简为(x-2)^2+(y+3)^2=13，故(x-3/2)^2+(y+2/2)^2=13/4。8.求参数方程x=t^2-2t+3，y=t^2+2t-1（t为参数）的普通方程。参考答案：y=x+4（x≥1）解析：由x=t^2-2t+3得t^2-2t=x-3，代入y=t^2+2t-1得y=x-3+2t+2t-1，即y=x+4。注意t^2≥0，故x≥1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知点A的极坐标为（5，π/4），点B的极坐标为（4，π/2），求|AB|的长度。解：点A直角坐标为（5cos(π/4)，5sin(π/4)）即（5√2/2，5√2/2）；点B直角坐标为（4cos(π/2)，4sin(π/2)）即（0，4）。|AB|=√[(5√2/2-0)^2+(5√2/2-4)^2]=√[50/4+(5√2-4)^2]=√[50/4+50-40√2+16]=√[66-40√2+50/4]=√[236-160√2]≈2.83。2.求曲线ρ=3cosθ与ρ=2sinθ的交点坐标。解：联立方程组ρ=3cosθ，ρ=2sinθ，平方相加得ρ^2=9cos^2θ+4sin^2θ，即ρ^2=9cos^2θ+4(1-cos^2θ)=5cos^2θ+4。又ρ^2=9cosθ=4sinθ，代入得9cosθ=4sinθ，即tanθ=9/4，θ=arctan(9/4)。代入ρ=3cosθ得ρ=3cos(arctan(9/4))=3/(√82/4)=12/√82≈1.34。交点坐标为（12√82/82，9√82/82）。3.求曲线ρ=2(1+cosθ)的直角坐标方程，并说明其形状。解：平方得ρ^2=4(1+2cosθ+cos^2θ)，即ρ^2=4+8cosθ+4cos^2θ。转换为直角坐标方程ρ^2=4+8ρcosθ+4ρ^2cos^2θ，即x^2+y^2=4+8x+4x^2。化简为(x+2)^2+y^2=8，表示以（-2，0）为圆心，半径为√8的圆。4.求参数方程x=2cosα，y=3sinα（α为参数）的焦点坐标和准线方程。解：这是椭圆x^2/4+y^2/9=1，a=3，b=2，c=√(9-4)=√5。焦点坐标为（0，±√5），准线方程为y=±9/√5。5.求极坐标方程ρ=4cos(θ-π/6)表示的曲线的直角坐标方程，并说明其形状。解：ρ=4cos(θ-π/6)=4(cosθcos(π/6)+sinθsin(π/6))=2√3cosθ+2sinθ，平方得ρ^2=4ρ(2√3cosθ+2sinθ)，转换为直角坐标方程x^2+y^2=8√3x+8y，化简为(x-4√3/2)^2+(y-4/2)^2=32，表示以（2√3，2）为圆心，半径为4的圆。6.求参数方程x=t^2-1，y=t^2+1（t为参数）的焦点坐标和准线方程。解：消参t，由x=t^2-1得t^2=x+1，代入y=t^2+1得y=x+2。这是抛物线，顶点（-1，1），焦点（-1，3），准线y=-1。7.求极坐标方程ρ=2sinθ+3cosθ表示的曲线的圆心坐标和半径。解：平方得ρ^2=4sin^2θ+9cos^2θ+12sinθcosθ，转换为直角坐标方程x^2+y^2=4y+9x，化简为(x-9/2)^2+(y-2)^2=85/4，圆心（9/2，2），半径√85/2。8.求参数方程x=1+2cosθ，y=1+2sinθ（θ为参数）的焦点坐标和准线方程。解：这是圆x^2+y^2-2x-2y=0，即(x-1)^2+(y-1)^2=2，圆心（1，1），半径√2。焦点即圆心，准线不存在。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.B5.A6.B7.A8.C9.A10.A解析：1.直角坐标转换；2.参数方程消参；3.极坐标方程联立；4.极坐标对称变换；5.极坐标距离公式；6.参数方程符号分析；7.极坐标方程标准化；8.椭圆离心率公式；9.