向量知识点相关试题及详细答案

向量知识点相关试题及详细答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(1,k)，b=(3,-2)，若a//b，则实数k的值为（）A.-3/2B.3/2C.-2/3D.2/32.向量u=2i-3j，v=-i+2j，则向量u-v的坐标为（）A.(3,-5)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(-3,5)3.已知向量a=(1,√3)，b=(2,0)，则向量a与b的夹角θ的余弦值为（）A.1/2B.√3/2C.1/4D.-1/24.设a=(1,-2)，b=(x,1)，若a⊥b，则实数x的值为（）A.-1/2B.1/2C.2D.-25.已知点A(1,2)，B(3,0)，向量AB的坐标表示为（）A.(2,-2)B.(-2,2)C.(3,-2)D.(-2,-3)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。6.若向量a=(3,-1)，b=(-1,2)，则向量a·b的值为_______。7.已知向量u=(1,-1)，v=(a,2)，若|u+v|=√10，则实数a的值为_______。8.若向量a=(1,1)，b=(1,k)，且a⊥b，则实数k=_______。9.已知向量m的模长为5，方向与向量n=(3,4)相同，则向量m的坐标表示为_______。三、解答题：本大题共6小题，共55分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10.(本小题满分8分)已知向量a=(2,-1)，b=(-1,3)，求：(1)向量a+b的坐标；(2)向量a-b的坐标；(3)向量3a-2b的坐标。11.(本小题满分8分)已知点A(2,3)，B(1,-1)，C(-3,4)。(1)求向量AB和向量BC的坐标；(2)判断向量AB和向量BC是否共线。12.(本小题满分9分)已知向量a=(1,2)，b=(x,1)，且a⊥b，c=(1,-1)，求向量b的坐标以及向量c与b的夹角θ的余弦值。（θ∈[0,π]）13.(本小题满分9分)在平面直角坐标系中，已知点P(1,2)，Q(3,0)，向量u=(1,k)。(1)若向量PQ与u平行，求实数k的值；(2)若向量PQ与u垂直，求实数k的值。14.(本小题满分10分)已知向量a=(3,0)，b=(0,4)。(1)求向量a+b的模长；(2)若向量c满足|c|=5且c与a+b的方向相同，求向量c的坐标。15.(本小题满分11分)已知向量p=(1,λ)，q=(λ,1)，且λ为非零实数。(1)若向量p与q的夹角为45°，求实数λ的值；(2)设向量u=p+q，向量v=p-q，求向量u与v的数量积u·v，并判断向量u与v是否垂直。试卷答案一、选择题：1.A2.C3.A4.D5.A二、填空题：6.-37.±38.-19.(15/5,20/5)=(3,4)三、解答题：10.解：(1)向量a+b=(2,-1)+(-1,3)=(2+(-1),-1+3)=(1,2)。(2)向量a-b=(2,-1)-(-1,3)=(2-(-1),-1-3)=(3,-4)。(3)向量3a-2b=3(2,-1)-2(-1,3)=(6,-3)-(-2,6)=(6-(-2),-3-6)=(8,-9)。11.解：(1)向量AB=(1-2,-1-3)=(-1,-4)。向量BC=(-3-1,4-(-1))=(-4,5)。(2)判断向量AB和BC是否共线，看是否存在实数λ，使得AB=λBC。即(-1,-4)=λ(-4,5)。得到两个方程：-1=-4λ和-4=5λ。解得λ=1/4。由于存在实数λ=1/4，使得AB=(1/4)(-4,5)=(-1,5/4)≠(-1,-4)，所以原方程组无解，不存在这样的λ。因此，向量AB和向量BC不共线。12.解：(1)因为a⊥b，所以a·b=0。a·b=(1,2)·(x,1)=1*x+2*1=x+2。所以x+2=0，解得x=-2。则向量b=(-2,1)。(2)向量c=(1,-1)，向量b=(-2,1)。c·b=(1,-1)·(-2,1)=1*(-2)+(-1)*1=-2-1=-3。向量c的模长|c|=√(1²+(-1)²)=√2。向量b的模长|b|=√((-2)²+1²)=√(4+1)=√5。向量c与b的夹角θ的余弦值为cosθ=(c·b)/(|c|*|b|)=-3/(√2*√5)=-3/(√10)=-3√10/10。13.解：(1)向量PQ=(3-1,0-2)=(2,-2)。向量u=(1,k)。若向量PQ与u平行，则存在实数λ，使得PQ=λu。即(2,-2)=λ(1,k)=(λ,λk)。得到两个方程：2=λ和-2=λk。解得λ=2，代入-2=λk得-2=2k，解得k=-1。所以实数k的值为-1。(2)若向量PQ与u垂直，则PQ·u=0。PQ·u=(2,-2)·(1,k)=2*1+(-2)*k=2-2k。所以2-2k=0，解得k=1。所以实数k的值为1。14.解：(1)向量a+b=(3,0)+(0,4)=(3,4)。向量a+b的模长|a+b|=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5。(2)向量a+b=(3,4)。向量c满足|c|=5且c与a+b的方向相同。则向量c=|c|*(方向单位向量)=5*[(3,4)/|(3,4)|]=5*[(3,4)/5]=5*(3/5,4/5)=(3,4)。所以向量c的坐标为(3,4)。15.解：(1)向量p=(1,λ)，q=(λ,1)。|p|=√(1²+λ²)=√(1+λ²)。|q|=√(λ²+1²)=√(1+λ²)。p·q=(1,λ)·(λ,1)=1*λ+λ*1=2λ。向量p与q的夹角为45°，所以cos45°=√2/2。根据p·q=|p|*|q|*cosθ，得到2λ=√(1+λ²)*√(1+λ²)*(√2/2)=(1+λ²)*(√2/2)。4λ=√2*(1+λ²)。两边平方，得到(4λ)²=(√2*(1+λ²))²，即16λ²=2*(1+2λ²+λ⁴)。16λ²=2+4λ²+2λ⁴。16λ²-4λ²-2λ⁴=2。12λ²-2λ⁴=2。2λ⁴-12λ²+2=0。λ⁴-6λ²+1=0。令x=λ²，则方程变为x²-6x+1=0。解这个一元二次方程，得到x=(6±√(36-4))/2=(6±√32)/2=(6±4√2)/2=3±2√2。因为λ²=x，所以λ²=3+2√2或λ²=3-2√2。由于λ²≥0，所以λ²=3-2√2是不可能的（因为3<2√2≈2.828）。所以λ²=3+2√2。λ=±√(3+2√2)。(注：这里√(3+2√2)可进一步化简为√2+1，所以λ=±(√2+1)。但题目只要求值，两种形式均可。)实数λ的值为±(√2+1)。(2)向量u=p+q=(1,