高中数学立体几何二级结论

第第页高中数学立体几何二级结论汇总结论1：斜二测画法得到的图形面积是原来的.结论2：对于任意一个三棱锥，设其内切球半径为,体积为,表面积为,则有：.结论3：棱台体积：.结论4：圆台侧面积：;表面积:;体积:.结论5：设正四面体的边长为,则有:

底面积;

高;

体积;

外接球半径,

内切球半径,

;棱切球半径为

对棱相互垂直,且对棱距离(与间距离);

棱所在的直线与面所成角()的余弦值;正弦值

相邻面所成二面角()的余弦值；正弦值.

结论6：(最小角定理)与平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于直线与平面内其他直线的夹角.结论7：(三余弦定理)如图：设点为平面外的一点，过点的斜线在平面上的射影为，直线为平面上的任意直线，那么，,的余弦关系为：结论8：三正弦定理（最大角定理）如图，设二面角的大小为，在平面上有一条射线，与交线所成角为，和平面所成角为，则，即。结论9：(三射线定理)如图，,,.二面角大小为.则结论10：(三夹角公式)如图，,,与平面所成角大小为.则结论11:(斯坦纳公式)异面直线所成角,则结论12：[四面体的外接球半径公式]若四面体中，,,二面角的大小为,,则其外接球半径满足结论13：(面积射影定理)如图,设平面外的在平面内的射影为,分别记的面积和的面积为和,记所在平面和平面所成的二面角为,则.结论14：(1)\t"C:/Users/86189/Desktop/_blank"四直角四面体(鳖臑biēnào)设点在上的射影分别为,则有;设二面角为,二面角为,二面角为,则有;设,则有.

(2).斜解立方,得两堑堵.斜解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.合两鳖臑三而一,验之以棊,其形露矣.--《九章算术商功》

阳马:底面为长方形,两个三角面与底面垂直的四棱锥.

堑堵:一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的几何体,它也是两底面为直角三角形的直三棱柱.

结论15:对棱相等的四面体(1)长方体的外接球外接球的半径满足：.(2)将对棱相等的四面体依图示补成长方体，四面体外接球即为长方体外接球；,,为四面体的棱长；,,为长方体的长、宽、高.(3),,,(4)该四面体每个面的面积相等;连接四面体每组对棱中点的线段互相垂直平分;从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为三角形的三边.结论16：.\t"C:/Users/86189/Desktop/_blank"圆锥的截面积

设圆锥的母线为,轴截面的顶角为,截面等腰三角形的顶角为,其中,则截面面积,最大截面面积.

结论17:\t"C:/Users/86189/Desktop/_blank"辛普森公式(拟柱体体积公式)

设拟柱体的高(两底面间的距离)为,如果用平行于底面的平面去截该图形,所得到的截面面积是平面与平面之间关于的不超过3次的函数,那么该拟柱体的体积:

其中分别为两底面面积,为中截面的面积(即平面与平面之间距离为时得到的截面的面积)

结论18：四面体的对棱体积公式其中为异面直线间的距离.结论19：设空间四点,则结论20：如图:设..则,在三棱锥中，,且,,三棱锥的体积为,那么特别地：如果,那么如果三棱锥是正四面体，即,公那么结论21:丹德林双球定义：如图所示，在圆锥内放入两个球,它们都与圆锥相切(即与圆锥的每条母线相切),切点圆分别为这两个球都与平面相切，切点分别为,丹德林利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为双球.如图1,设直线分别与圆锥母线交于两点,再设过点的母线分别与交于两点,由切线长定理:,,故.同理,对于平面与圆锥侧面的交线上任意一点,过的母线分别与,交于两点,则.即椭圆的长轴长=切点圆之间的母线长.2.长轴长与双球半径之间的关系:设两个球的半径分别为,球心距,则如图,.3.焦距与双球半径之间的关系：如图4，设,由于,最终求出.4.离心率与截面角之间的关系在空间中,已知圆锥是由围绕旋转得到的,我们把称为轴,轴与母线所成角为.用平面截圆锥,得到的截口曲线取决于平面与圆锥轴所成的线面角(显然,当与平行时,),具体关系如下:(1)若,平面截圆锥面所得截口曲线为椭圆;(2)若,平面截圆锥面所得截口曲线为抛物线;(3)若,平面截圆锥面所得截口曲线为双曲线.这个比值就是圆锥曲线的离心率,离心率是一个比.证明:作图如上,不妨考虑截面为椭圆的情况记椭圆的长轴为,短轴,椭圆中心为,长半轴长为,短半轴长为,作以为弦且垂直于轴的圆截面,记该圆与母线交于,与母线交于,则在截面圆中,由相交弦定理可得作圆锥的轴截面等腰三角形如图在中,由正弦定理可得同理，在中，由正弦定理可得整理可得所以离心率综上，离心率的表达式为当时，截面为抛物线：当时，截面为椭圆：(特殊情况，当时，截面为圆)当时，截面为双曲线.二、平面截