高考数学一轮复习 讲义 第6节 第1课时　双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质

第六节双曲线第1课时双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质课标解读考向预测1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．3.了解双曲线的简单应用.近三年高考考查了双曲线的定义、标准方程及几何性质，其中对双曲线的定义、标准方程的考查以解答题为主，几何性质主要考查了离心率和渐近线，题型以选择题、填空题为主．预计2027年高考本部分内容仍是考查的重点，题型以选择题、填空题为主，难度中档.1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的eq\o(□,\s\up1(01))绝对值等于非零常数(eq\o(□,\s\up1(02))小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的eq\o(□,\s\up1(03))焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的eq\o(□,\s\up1(04))焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形焦点eq\o(□,\s\up1(05))F1(－c，0)，F2(c，0)eq\o(□,\s\up1(06))F1(0，－c)，F2(0，c)焦距eq\o(□,\s\up1(07))|F1F2|＝2c范围eq\o(□,\s\up1(08))x≤－a或eq\o(□,\s\up1(09))x≥a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：eq\o(□,\s\up1(10))坐标轴，对称中心：eq\o(□,\s\up1(11))原点顶点eq\o(□,\s\up1(12))A1(－a，0)，A2(a，0)eq\o(□,\s\up1(13))A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段eq\o(□,\s\up1(14))A1A2，长：eq\o(□,\s\up1(15))2a；虚轴：线段B1B2，长：eq\o(□,\s\up1(16))2b，实半轴长：eq\o(□,\s\up1(17))a，虚半轴长：eq\o(□,\s\up1(18))b离心率e＝eq\f(c,a)∈eq\o(□,\s\up1(19))(1，＋∞)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)xa，b，c的关系c2＝eq\o(□,\s\up1(20))a2＋b2(c>a>0，c>b>0)1．双曲线的焦点到渐近线的距离为常数b，顶点到两条渐近线的距离为常数eq\f(ab,c).2．双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数eq\f(a2b2,c2).3．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.4．离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).5．双曲线上一点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2为焦点三角形．(1)△PF1F2内切圆圆心的横坐标的绝对值为定值a；(2)设∠F1PF2＝θ，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则cosθ＝1－eq\f(2b2,r1r2)，S△PF1F2＝eq\f(1,2)r1r2sinθ＝eq\f(sinθ,1－cosθ)·b2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2)).题组一走出误区——判一判(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．()(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq\r(2).()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√题组二回归教材——练一练(1)(人教A选择性必修第一册习题3.2T3改编)双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是()A．y＝±eq\f(1,2)x B．y＝±2xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\r(2)x答案：C解析：依题意知，双曲线eq\f(y2,\f(1,2))－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝eq\f(\r(2),2)，虚半轴长b＝1，所以双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是y＝±eq\f(\r(2),2)x.(2)(人教B选择性必修第一册2.6.2练习BT5改编)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(5) B．5C.eq\r(2) D．2答案：A解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝5，∴e＝eq\r(5).故选A.(3)(人教A选择性必修第一册习题3.2T1改编)设P是双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．答案：17解析：根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.(4)(人教A选择性必修第一册习题3.2T6改编)对称轴为坐标轴，且经过点P(5，3)的等轴双曲线的标准方程为________________．答案：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,16)＝1解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则λ＝52－32＝16，所以双曲线的方程为x2－y2＝16，即eq\f(x2,16)－eq\f(y2,16)＝1.考点一双曲线的定义及其应用(多考向探究)考向1利用双曲线的定义求轨迹方程(2026·辽宁沈阳模拟)已知动点M(x，y)满足eq\r(x2＋（y－3）2)－eq\r(x2＋（y＋3）2)＝4，则动点M的轨迹方程为________________．答案：eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(y≤－2)解析：因为eq\r(x2＋（y－3）2)－eq\r(x2＋（y＋3）2)＝4表示点M(x，y)到点F1(0，3)的距离与到点F2(0，－3)的距离的差为4，且4＜|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，即动点M的轨迹方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(y≤－2)．利用双曲线的定义求方程，要注意三点：(1)距离之差的绝对值；(2)2a<|F1F2|；(3)焦点所在坐标轴的位置．一定要分清是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．1.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为()A．x2－eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1) D．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)答案：C解析：设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以圆心M的轨迹是以C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以圆心M的轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．故选C.考向2利用双曲线的定义解决焦点三角形问题已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．答案：2eq\r(3)解析：解法一：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(1,2)，∴|PF1||PF2|＝8，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝2eq\r(3).解法二：S△F1PF2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))＝eq\f(2,tan30°)＝2eq\r(3).在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法建立与|PF1|·|PF2|的联系．2.(2026·河北保定十县一中期末联考)已知O为坐标原点，双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,6)＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点为P.若cos∠PF2F1＝eq\f(3,5)，则点O到直线PF1的距离为________．答案：eq\f(3,2)解析：由题可知，PF1⊥PF2，设|PF2|＝3x，x>0，则由cos∠PF2F1＝eq\f(3,5)，得|F1F2|＝2c＝5x，|PF1|＝4x，则2a＝|PF1|－|PF2|＝x.由b2＝c2－a2，得6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5x,2)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(2)，解得x＝1，则点O到直线PF1的距离d＝eq\f(|PF2|,2)＝eq\f(3,2).考点二双曲线的标准方程(1)(2026·河北石家庄模拟)与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线的标准方程是________________．答案：eq\f(x2,2)－y2＝1解析：解法一：椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的焦点坐标是(±eq\r(3)，0)．设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点P(2，1)，所以eq\f(4,a2)－eq\f(1,b2)＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线的标准方程是eq\f(x2,2)－y2＝1.解法二：由题意知，双曲线的焦点分别为F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则2a＝||PF1|－|PF2||＝eq\r(（2＋\r(3)）2＋1)－eq\r(（2－\r(3)）2＋1)＝eq\r(8＋4\r(3))－eq\r(8－4\r(3))，即a＝eq\r(2＋\r(3))－eq\r(2－\r(3))，所以a2＝2，则b2＝c2－a2＝1，所以所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,2)－y2＝1.解法三：设所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,4－λ)＋eq\f(y2,1－λ)＝1(1<λ<4)，将点P(2，1)的坐标代入，可得eq\f(4,4－λ)＋eq\f(1,1－λ)＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,2)－y2＝1.(2)(2026·湖北武汉二中模拟)已知双曲线的离心率e＝eq\f(\r(5),2)，且该双曲线经过点(2，2eq\r(5))，则该双曲线的标准方程为____________．答案：eq\f(y2,4)－x2＝1解析：由题意，知e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(\r(5),2)，解得a2＝4b2，当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∵点(2，2eq\r(5))在该双曲线上，∴eq\f(4,a2)－eq\f(20,b2)＝1，即eq\f(4,4b2)－eq\f(20,b2)＝1，此方程无解；当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，∵点(2，2eq\r(5))在该双曲线上，∴eq\f(20,a2)－eq\f(4,b2)＝1，即eq\f(20,4b2)－eq\f(4,b2)＝1，解得b2＝1，∴a2＝4.综上所述，该双曲线的标准方程为eq\f(y2,4)－x2＝1.求双曲线的标准方程的方法定义法由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义确定2a，2b或2c，从而求得双曲线方程待定系数法能确定焦点在x轴还是y轴上时，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值焦点的位置不确定时，要注意分类讨论．也可以将双曲线的方程设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)求解与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1共渐近线的双曲线的方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)3.若双曲线经过点(3，eq\r(2))，且渐近线方程是y＝±eq\f(1,3)x，则双曲线的标准方程是________________．答案：y2－eq\f(x2,9)＝1解析：设双曲线的方程是y2－eq\f(x2,9)＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(3，eq\r(2))，所以λ＝2－eq\f(9,9)＝1，故双曲线的标准方程为y2－eq\f(x2,9)＝1.4．过点P(3，2eq\r(7))，Q(－6eq\r(2)，7)的双曲线的标准方程为________________．答案：eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为所求双曲线过点P(3，2eq\r(7))，Q(－6eq\r(2)，7)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m＋28n＝1，,72m＋49n＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,75)，,n＝\f(1,25).))故所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,25)－eq\f(x2,75)＝1.考点三双曲线的简单几何性质(多考向探究)考向1双曲线的实轴、虚轴、焦距(1)双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的实轴长是()A．1 B．2C.eq\r(5) D．4答案：D解析：由eq\f(x2,4)－y2＝1，得a2＝4，解得a＝2，所以2a＝4.故双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1的实轴长是4.故选D.(2)已知双曲线C：y2－eq\f(x2,2)＝1，则该双曲线的虚轴长为________，焦距为________．答案：2eq\r(2)2eq\r(3)解析：双曲线C：y2－eq\f(x2,2)＝1的虚半轴长b＝eq\r(2)，半焦距c＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3)，所以该双曲线的虚轴长为2eq\r(2)，焦距为2eq\r(3).求解与双曲线几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、实轴长、虚轴长、焦距等基本量的内在联系．5.(2026·河北唐山调研)若4x2＋ky2－4k＝0表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为()A．2eq\r(k) B．2kC．2eq\r(－k) D．－2eq\r(k)答案：C解析：由题意，得k≠0，将4x2＋ky2－4k＝0整理，得eq\f(x2,k)＋eq\f(y2,4)＝1，由题意，得k<0，故焦点在y轴上，b2＝－k，所以b＝eq\r(－k)，所以该双曲线的虚轴长为2eq\r(－k).故选C.6．(2026·辽宁沈阳期末)双曲线eq\f(x2,6)－eq\f(y2,2)＝1与eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1有相同的()A．离心率 B．渐近线C．实轴长 D．焦点答案：D解析：对于双曲线eq\f(x2,6)－eq\f(y2,2)＝1，其焦点在x轴上，a1＝eq\r(6)，b1＝eq\r(2)，c1＝2eq\r(2)，离心率e1＝eq\f(c1,a1)＝eq\f(2\r(3),3)，渐近线y＝±eq\f(b1,a1)x＝±eq\f(\r(3),3)x，实轴长2a1＝2eq\r(6)，焦点为(±2eq\r(2)，0)；对于双曲线eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1，其焦点在x轴上，a2＝eq\r(2)，b2＝eq\r(6)，c2＝2eq\r(2)，离心率e2＝eq\f(c2,a2)＝2，渐近线y＝±eq\f(b2,a2)x＝±eq\r(3)x，实轴长2a2＝2eq\r(2)，焦点为(±2eq\r(2)，0)．故选D.考向2双曲线的渐近线(1)(2026·河北衡水模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2eq\r(5)，且实轴长为2，则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(1,2)x B．y＝±2xC．y＝±eq\r(5)x D．y＝±eq\f(\r(5),2)x答案：B解析：由题意可知，2c＝2eq\r(5)，2a＝2，所以c＝eq\r(5)，a＝1，所以b＝eq\r(c2－a2)＝2，则eq\f(b,a)＝2.故双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.(2)若双曲线y2－eq\f(x2,m2)＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．答案：eq\f(\r(3),3)解析：双曲线y2－eq\f(x2,m2)＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±eq\f(x,m)，即x±my＝0，不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1，依题意，圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝eq\f(|2m|,\r(1＋m2))＝1，解得m＝eq\f(\r(3),3)或m＝－eq\f(\r(3),3)(舍去)．求双曲线渐近线方程的方法方法一若双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，得渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝±\f(b,a)x))方法二双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线y＝±eq\f(b,a)x的斜率k＝±eq\f(b,a)与离心率e的关系为k2＝eq\f(b2,a2)＝e2－1两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴、y轴对称．7.(2026·河南济、洛、平、许模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\f(\r(2),2)xC．y＝±2x D．y＝±eq\f(1,2)x答案：A解析：因为双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，又因为双曲线的离心率为eq\r(3)，且a2＋b2＝c2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(3)，解得eq\f(b,a)＝eq\r(2)，即渐近线方程为y＝±eq\r(2)x.8．已知双曲线eq\f(x2,m＋1)－eq\f(y2,m)＝1(m>0)的渐近线方程为x±eq\r(3)y＝0，则m＝________．答案：eq\f(1,2)解析：由渐近线方程y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(3),3)x，得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，则eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，即eq\f(m,m＋1)＝eq\f(1,3)，解得m＝eq\f(1,2).考向3双曲线的离心率(1)(2025·北京卷，3)双曲线x2－4y2＝4的离心率为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(5),2)C.eq\f(5,4) D.eq\r(5)答案：B解析：由x2－4y2＝4，得eq\f(x2,4)－y2＝1，所以a2＝4，b2＝1，c2＝a2＋b2＝5，即a＝2，c＝eq\r(5)，所以所求双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2).故选B.(2)(2026·云南昭通模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作斜率为eq\r(15)的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若|AB|＝|AF1|，则双曲线C的离心率为()A.eq\f(4,3) B.eq\r(2)C．2 D.eq\r(5)答案：C解析：如图，根据双曲线的定义得|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，由于|AB|＝|AF1|，|AB|＝|AF2|＋|BF2|，则|AF2|＋|BF2|＝|AF1|，所以|BF2|＝2a，|BF1|＝4a.设∠F1F2B＝θ，由题意可得tanθ＝eq\r(15)，则cosθ＝eq\f(1,4)，在△BF1F2中，由余弦定理，可得cosθ＝eq\f(4c2＋4a2－16a2,2×2c×2a)＝eq\f(1,4)，整理得2c2－ac－6a2＝0，即2e2－e－6＝0，又e>1，所以e＝2.故选C.求双曲线离心率的方法直接法求a，b，c的值，由e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e方程法列出含有a，b，c的齐次方程，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程求解9.设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，eq\o(F2A,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝4a2，则C的离心率为()A.eq\r(2) B．2C.eq\r(5) D.eq\r(7)答案：D解析：由双曲线的对称性可知|F1A|＝|F2B|，|F1B|＝|F2A|，则四边形AF1BF2为平行四边形，令|F1A|＝|F2B|＝m，则|F1B|＝|F2A|＝2m，由双曲线的定义可知|F2A|－|F1A|＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，即|F1A|＝|F2B|＝m＝2a，|F1B|＝|F2A|＝4a，eq\o(F2A,\s\up6(→))·eq\o(F2B,\s\up6(→))＝|eq\o(F2A,\s\up6(→))||eq\o(F2B,\s\up6(→))|cos∠AF2B＝2a×4acos∠AF2B＝4a2，则cos∠AF2B＝eq\f(1,2)，即∠AF2B＝eq\f(π,3)，故∠F2BF1＝eq\f(2π,3)，则cos∠F2BF1＝eq\f(|F1B|2＋|F2B|2－|F1F2|2,2|F1B|·|F2B|)＝eq\f(（4a）2＋（2a）2－（2c）2,2×4a×2a)＝－eq\f(1,2)，即eq\f(20a2－4c2,16a2)＝－eq\f(1,2)，即eq\f(20,16)－eq\f(4e2,16)＝－eq\f(1,2)，则e2＝7，又e>1，故e＝eq\r(7).故选D.课时作业基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★★考点利用双曲线的定义求线段长度双曲线的实轴、虚轴、焦距；双曲线的离心率利用双曲线的定义解决焦点三角形问题；双曲线的离心率；双曲线的实轴、焦距双曲线的渐近线；双曲线的离心率利用双曲线的定义求轨迹求双曲线的方程双曲线的离心率；双曲线的渐近线利用双曲线的定义求最值椭圆、双曲线简单几何性质的综合题号1011121314151617难度★★★★★★★★★★★★★★★★考点双曲线的渐近线；双曲线的离心率双曲线的离心率；双曲线的渐近线求与已知双曲线共渐近线的双曲线的标准方程双曲线的离心率的取值范围利用双曲线的定义求最值求双曲线的标准方程；双曲线的离心率；利用双曲线的定义求线段长双曲线的离心率；双曲线的渐近线；与双曲线几何性质有关的最值(范围)问题双曲线的渐近线；双曲线的离心率的取值范围一、单项选择题1．(2026·河南南阳模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,21)＝1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线C上有一点P，若|PF1|＝6，则|PF2|＝()A．2 B．10C．2或9 D．2或10答案：B解析：∵a2＝4，b2＝21，∴c2＝25，∴c＝5，由||PF2|－|PF1||＝2a＝4，|PF1|＝6，得|PF2|＝2或|PF2|＝10，又|PF2|≥c－a＝5－2＝3，所以|PF2|＝10.故选B.2．(2025·新课标Ⅰ卷，3)若双曲线C的虚轴长为实轴长的eq\r(7)倍，则C的离心率为()A.eq\r(2) B．2C.eq\r(7) D．2eq\r(2)答案：D解析：设双曲线C的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c，由题意，知b＝eq\r(7)a，于是a2＋b2＝c2＝a2＋7a2＝8a2，则c＝2eq\r(2)a，即C的离心率e＝eq\f(c,a)＝2eq\r(2).故选D.3．(2025·江苏扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C的离心率为eq\r(3)，F1，F2是C的两个焦点，P为C上一点，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面积为eq\r(2)，则双曲线C的实轴长为()A．1 B．2C．3 D．6答案：B解析：由题意知，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝a，|PF1|＝3a，又离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，|F1F2|＝2c＝2eq\r(3)a，所以cos∠F1PF2＝eq\f(9a2＋a2－12a2,2×3a×a)＝eq\f(－2a2,6a2)＝－eq\f(1,3)，sin∠F1PF2＝eq\f(2\r(2),3)，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)×a×3a×eq\f(2\r(2),3)＝eq\r(2)a2＝eq\r(2)，所以a＝1，实轴长2a＝2.故选B.4．(2026·四川成都模拟)已知F(c，0)是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若2eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))，O为坐标原点，则下列结论不正确的是()A．|OB|＝2|OA| B．∠AFO＝∠AOBC．离心率e＝eq\r(3) D．若S△AOB＝2eq\r(3)，则c＝eq\f(4\r(3),3)答案：C解析：如图，∵2eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))，∴2|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝|eq\o(FB,\s\up6(→))|，2S△OAF＝S△OBF，∵点F到两条渐近线的距离相等，∴|OB|＝2|OA|，故A正确；∵AB⊥OA，|OB|＝2|OA|，∴∠ABO＝30°，∠AOB＝60°，∠AOF＝∠BOF＝30°，∠AFO＝60°，故B正确；由B项分析知，一条渐近线的斜率eq\f(b,a)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，则e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\f(2\r(3),3)，故C不正确；由C项分析知，eq\f(|OA|,|OF|)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，∴|OA|＝eq\f(\r(3),2)c＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(2\r(3),3)a＝a＝eq\r(3)b，|AF|＝b，|AB|＝3b，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×eq\r(3)b×3b＝2eq\r(3)，∴b＝eq\f(2\r(3),3)，a＝2，c＝eq\f(4\r(3),3)，故D正确．故选C.5．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆答案：B解析：如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．故选B.6．(2026·湖南张家界模拟)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|AF2|＝2|AF1|，△ABF2的面积为8eq\r(3)，且∠AF2B为钝角，|AF2|－|AF1|＝4，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,24)＝1 D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1答案：B解析：由双曲线的定义可知，|AF2|－|AF1|＝|AF1|＝2a＝4，所以a＝2，|AF2|＝8，|BF2|＝4，所以S△ABF2＝eq\f(1,2)|AF2|·|BF2|sin∠AF2B＝eq\f(1,2)×8×4sin∠AF2B＝16sin∠AF2B＝8eq\r(3)，解得sin∠AF2B＝eq\f(\r(3),2)，因为∠AF2B为钝角，所以∠AF2B＝eq\f(2π,3)，所以∠F1AF2＝eq\f(π,3)，由余弦定理，得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|coseq\f(π,3)＝16＋64－32＝48，所以c2＝12，b2＝c2－a2＝12－4＝8，所以双曲线C的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1.故选B.7．(2026·山西吕梁模拟)已知F1，F2分别为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若|AF1|－|AF2|＝|AO|，则双曲线C的离心率为()A.eq\f(\r(21),3) B.eq\f(\r(13),2)C.eq\r(3) D.eq\f(3\r(3),2)答案：B解析：由题意可得|AF2|＝b，|AO|＝a，且cos∠F1F2A＝eq\f(b,c)，在△AF1F2中，由余弦定理，得|AF1|＝eq\r(b2＋4c2－2b·2ccos∠F1F2A)＝eq\r(b2＋4c2－4bc·\f(b,c))＝eq\r(4c2－3b2).因为|AF1|－|AF2|＝|AO|，所以eq\r(4c2－3b2)－b＝a，平方化简，整理得4c2＝a2＋4b2＋2ab，又c2＝a2＋b2，所以3a2＝2ab，即3a＝2b，所以9a2＝4b2＝4c2－4a2，得13a2＝4c2，则e＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\f(\r(13),2).8．已知双曲线C：eq\f(x2,9)－y2＝1，点F1是C的左焦点，若点P为C右支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则d＋|PF1|的最小值为()A．6 B．7C．8 D．9答案：B解析：过P作PH垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为H，则|PH|＝d，连接P与双曲线的另一个焦点F2，如图所示．由双曲线的定义可知，d＋|PF1|＝|PH|＋|PF2|＋2a，又双曲线方程为eq\f(x2,9)－y2＝1，故a＝3，b＝1，c＝eq\r(10)，所以点F2的坐标为(eq\r(10)，0)，双曲线的一条渐近线为直线y＝eq\f(1,3)x，故点F2到渐近线的距离为eq\f(\f(\r(10),3),\f(\r(10),3))＝1，故|PH|＋|PF2|＋2a≥1＋6＝7.故选B.二、多项选择题9．已知椭圆C1：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1与双曲线C2：eq\f(x2,16－k)＋eq\f(y2,9－k)＝1(9<k<16)，下列关于两曲线的说法正确的是()A．C1的长轴长与C2的实轴长相等B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等C．C1与C2的焦距相等D．C1与C2的离心率不相等答案：CD解析：由题意可知，椭圆C1的长轴长为2a1＝8，短轴长为2b1＝6，焦距为2c1＝2eq\r(16－9)＝2eq\r(7)，离心率为e1＝eq\f(c1,a1)＝eq\f(\r(7),4)，当9<k<16时，16－k>0，9－k<0，双曲线C2的焦点在x轴上，其实轴长为2a2＝2eq\r(16－k)，虚轴长为2b2＝2eq\r(k－9)，焦距为2c2＝2eq\r(16－k＋k－9)＝2eq\r(7)，离心率为e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(\r(7),\r(16－k)).故C1的长轴长与C2的实轴长不相等，C1的短轴长与C2的虚轴长不相等，C1与C2的焦距相等，C1与C2的离心率不相等．故选CD.10．(2026·黑龙江大庆模拟)热爱数学的小数同学经研究发现，函数y＝－eq\f(1,x)的图象是双曲线．设其焦点为F1，F2，若P为其图象上任意一点，则()A．直线y＝x不是函数y＝－eq\f(1,x)的图象的对称轴B．双曲线y＝－eq\f(1,x)的离心率为eq\r(2)C．若点P到点(－eq\r(2)，eq\r(2))的距离为eq\f(1,2)＋2eq\r(2)，则点P到点(eq\r(2)，－eq\r(2))的距离为eq\f(1,2)或eq\f(1,2)＋4eq\r(2)D．类比以上结论可猜测y＝x＋eq\f(1,x)的图象是双曲线答案：BD解析：对于A，由反比例函数的性质可知，直线y＝±x是函数y＝－eq\f(1,x)的图象的对称轴，故A错误；对于B，根据反比例函数的图象知，两条坐标轴是其图象的渐近线，两渐近线互相垂直，由双曲线的定义知其为等轴双曲线，即a＝b，e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，故B正确；对于C，易知直线y＝－x与y＝－eq\f(1,x)的图象的交点为(－1，1)，(1，－1)，即该双曲线的两个顶点为(－1，1)，(1，－1)，所以a＝eq\r(2)，所以两焦点坐标为F1(－eq\r(2)，eq\r(2))和F2(eq\r(2)，－eq\r(2))，c＝2，根据双曲线的定义知，若|PF1|＝eq\f(1,2)＋2eq\r(2)，则|PF2|＝|PF1|＋2a＝eq\f(1,2)＋4eq\r(2)或|PF2|＝|PF1|－2a＝eq\f(1,2)，又|PF2|≥c－a＝2－eq\r(2)，所以|PF2|＝eq\f(1,2)＋4eq\r(2)，故C错误；对于D，y＝x＋eq\f(1,x)的图象的渐近线方程为y＝x，x＝0，对称轴为两条渐近线的角平分线，其图象绕原点逆时针旋转eq\f(π,8)即可得到标准的双曲线方程，所以可猜测y＝x＋eq\f(1,x)的图象是双曲线，故D正确．故选BD.11．(2025·新课标Ⅱ卷，11)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝eq\f(5π,6)，则()A．∠A1MA2＝eq\f(π,6)B．|MA1|＝2|MA2|C．C的离心率为eq\r(13)D．当a＝eq\r(2)时，四边形NA1MA2的面积为8eq\r(3)答案：ACD解析：不妨设渐近线为y＝eq\f(b,a)x，M在第一象限，N在第三象限．对于A，由双曲线的对称性可得，四边形A1MA2N为平行四边形，故∠A1MA2＝π－eq\f(5π,6)＝eq\f(π,6)，故A正确；对于B，解法一：因为M在以F1F2为直径的圆上，故F1M⊥F2M且|OM|＝c，设M(x0，y0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2，,\f(y0,x0)＝\f(b,a)，))故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝a，,y0＝b，))故MA2⊥A1A2，又∠A1MA2＝eq\f(π,6)，所以eq\f(|MA2|,|MA1|)＝eq\f(\r(3),2)，则|MA1|＝eq\f(2\r(3),3)|MA2|，故B错误；解法二：因为tan∠MOA2＝eq\f(b,a)，c2＝a2＋b2，所以cos∠MOA2＝eq\f(a,c)，又因为以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，所以|OM|＝c，则若过点M向x轴作垂线，垂足为H，则|OH|＝c·eq\f(a,c)＝a＝|OA2|，则点H与A2重合，则MA2⊥x轴，又∠A1MA2＝eq\f(π,6)，所以cos∠A1MA2＝eq\f(|MA2|,|MA1|)＝eq\f(\r(3),2)，则|MA1|＝eq\f(2\r(3),3)|MA2|，故B错误；解法三：因为tan∠MOA2＝eq\f(b,a)，c2＝a2＋b2，所以cos∠MOA2＝eq\f(a,c)，在△OMA2中利用余弦定理，得|MA2|2＝|OM|2＋|OA2|2－2|OM|·|OA2|cos∠MOA2，即|MA2|2＝c2＋a2－2ac·eq\f(a,c)＝b2，则|MA2|＝b，因为以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，所以|OM|＝c，又|OA2|＝a，a2＋b2＝c2，所以∠MA2O＝eq\f(π,2)，又∠A1MA2＝eq\f(π,6)，则cos∠A1MA2＝eq\f(|MA2|,|MA1|)＝eq\f(\r(3),2)，则|MA1|＝eq\f(2\r(3),3)|MA2|，故B错误；对于C，解法一：因为eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MA1,\s\up6(→))＋eq\o(MA2,\s\up6(→)))，故4eq\o(MO,\s\up6(→))2＝eq\o(MA1,\s\up6(→))2＋2eq\o(MA1,\s\up6(→))·eq\o(MA2,\s\up6(→))＋eq\o(MA2,\s\up6(→))2，由B项分析可知|MA2|＝b，|MA1|＝eq\f(2\r(3),3)b，故4c2＝eq\f(4,3)b2＋2×eq\f(2\r(3),3)b×b×eq\f(\r(3),2)＋b2＝eq\f(13,3)b2＝eq\f(13,3)(c2－a2)，即c2＝13a2，故离心率e＝eq\r(13)，故C正确；解法二：因为eq\f(|MA2|,|A1A2|)＝eq\f(b,2a)＝eq\r(3)，则eq\f(b,a)＝2eq\r(3)，则离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋（2\r(3)）2)＝eq\r(13)，故C正确；对于D，当a＝eq\r(2)时，由C项知离心率e＝eq\r(13)，故c＝eq\r(26)，故b＝2eq\r(6)，故四边形NA1MA2的面积为2S△MA1A2＝2×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(6)＝8eq\r(3)，故D正确．故选ACD.三、填空题12．(2026·河北邢台模拟)双曲线E与双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝1共渐近线且过点P(2，3eq\r(5))，则双曲线E的标准方程为________________．答案：eq\f(y2,36)－eq\f(x2,16)＝1解析：设双曲线E的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝λ(λ≠0)，代入点P(2，3eq\r(5))，得eq\f(4,4)－eq\f(45,9)＝λ，即λ＝－4，所以双曲线E的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝－4，整理，得eq\f(y2,36)－eq\f(x2,16)＝1.13．(2026·湖南长沙模拟)已知双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，P是双曲线C上支上的任意一点(不在y轴上)，PF2与x轴交于点A，△PAF1的内切圆在边AF1上的切点为B，若|AB|>2b，则双曲线C的离心率的取值范围是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2)))解析：设该内切圆在PF1，PA上的切点分别为D，E，由切线长定理可得|AB|＝|AE|，|PD|＝|PE|，|F1B|＝|F1D|，又|PF2|－|PF1|＝2a，|AF1|＝|AF2|，所以|PA|＋|AF1|－|PF1|＝2a，所以|AE|＋|PE|＋|AB|＋|BF1|－|PF1|＝2a，所以|AB|＋|PD|＋|AB|＋|F1D|－|PF1|＝2a，故2|AB|＝2a，所以|AB|＝a，因为|AB|>2b，所以a>2b，故eq\f(b,a)<eq\f(1,2)，又eq\f(b,a)>0，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2))).14．已知双曲线C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,7)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C右支上的动点，Q为圆E：x2＋y2－4y＋3＝0上的动点，则|PQ|＋|PF1|的最小值是________．答案：5＋2eq\r(5)解析：由题设，知F1(－4，0)，F2(4，0)，E(0，2)，圆E的半径r＝1.由P为双曲线C右支上的动点，知|PF1|＝|PF2|＋6，∴|PQ|＋|PF1|＝|PQ|＋|PF2|＋6，∴(|PQ|＋|PF1|)min＝(|PQ|＋|PF2|)min＋6＝|F2E|－r＋6＝2eq\r(5)－1＋6＝5＋2eq\r(5).四、解答题15．在①左顶点为(－3，0)；②双曲线过点(3eq\r(2)，4)；③离心率e＝eq\f(5,3)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知双曲线与椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1共焦点，且________．(1)求双曲线的方程；(2)若点P在双曲线上，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝8，求|PF2|.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：(1)因为双曲线与椭圆eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1共焦点，所以双曲线的焦点在x轴上，且c＝eq\r(49－24)＝5.选条件①：设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由双曲线的左顶点为(－3，0)，得a＝3，所以b2＝c2－a2＝25－9＝16，所以双曲线的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.选条件②：设双曲线的方程为eq