考研数学（数学三）模拟试卷381

考研数学(数学三)模拟试卷381

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

_ul

1、设冈表示不超过X的最大整数，则X-0是/(%)=的()

A、跳跃间断点。

B、可去间断点。

C、无穷间断点。

D、振荡间断点。

标准答案：A

0I

=lime1=1,lim/(x)=lime"=0,

知识点解析：由于，廿i*i-1r所以x=0是

.、.UI

/(%)=e'的跳跃间断点。故选A。

2、f(x,y)在点(xo，yo)处连续,则f(x,y)在点(x(),yo)处可偏导是函数在该点可微

的()

A、充分必要条件。

B、必要但非充分条件。

C、充分但非必要条件。

D、既非充分又非必要条件。

标准答案：B

知识点解析：举例证明选项B是正确的。设函数

,(x,y)#(0,0)

(")=(°，°)容易验证f(x,y)在点(0,0)处既连续又存在

偏导，由fx'(O,0)=fy>(0,0)=0,因此

心-何［(0,0)-A*(0,0)二7孥三，

2+A-

仝幻田山「二一".(0,0…火(0,0)..

%p=vdx；+dy，，因为hm-------------------------------1--------=hm

p-^p-

Ay-0不存在,

所以f(x,y)在点(0,0)处不可微。故选Bo

『22

jd8jr2cos0f(r)dr+/dgrcos^f(r)dr

3、将二重积分^改写成宜角

坐标形式为（）

A、io2dxfo2xf(x2+y2)dy

2222

B、fodxfof(x+y)dy

用百叭2曲

C、

D、

标准答案：C

知识点解析：极坐标系中的2sec。对应直角坐标系中的直线x=2,极坐标系中的

2csc。对应直角坐标系中的直线y=2,因此根据极坐标系下的表达式可画出积分区

域如卜图:根据极坐标系与直角坐标系间的关系x=rcosH,

fdx（叭f+/）dy

y=rsin0,可得二重积分化为直角坐标形式为九、户，故选C。

4、下列选项中正确的是（）

lim?=I,则Z。门与，3

A、若…”E有相同敛散性。

£%收敛,则必有lim向＜1

B、若正项级数“・1L”

t）一，.发散,则必有%＞；

C、若正项级数Hn

:£＞。,尸＞。）

D、正项级数方”的敛散性与a,P有关。

标准答案：D

知识点解析：比较判别法极限形式仅适合正项级数，故选项A不正确。由反例

/；£七发散,但有L

〃'，故选项B和C均不

正确。在选项D中，当算1时，收敛性取决于0,|3=1时，收敛性取决于a,故选

Do

5、设A,B为n阶对称矩阵，下列结论不正确的是（）

A、AB为对称矩阵。

B、设A,B可逆，则A1+B।为对称矩阵。

C、A+B为对称矩阵。

D、kA为对称矩阵。

标准答案：A

知识点解析：根据（A+B）T=A「+BT=A+B,可得A+B为对称矩阵；根据（A1+B

1）T=（A'）T+（B-1）T=A1+BI,得A'+B1为对称矩阵；S（kA）T=kAT=kA,

得kA为对称矩阵。故选A。

r20O-

P']AP=060

L

6、已知o06-aj,是矩阵A属于特征值九=2的特征向量，ci2，口3

是矩阵A属于特征值入=6的特征向量,那么矩阵P不能是（）

A、((X],一(12，。3)。

(ai,a2+a3，«2—2a3)。

C>(ai，a3，a2)o

D、(ai+a2，ai-g,013)。

标准答案：D

500'

P*AP=4=0a20.

知识点解析：若LO°%,P=(a],a2,a3),则有AP二PA,即

"a100'

A(—%)=(a],，.%)0a20

°°亦即(Aoq,Aa2，Aa3)=(a)ai,a2«2，

a3a3)。可见3是矩阵A属于特征值3的特征向量(i=l,2,3),又因矩阵P可逆,

因此ai，a2,。3线性无关。若a是属于特征值入的特征向量，则一a仍是属于特

征值九的特征向量，故选项A正确。若a,|3是属于特征值人的特征向量，则a,P

的线性组合仍是属于特征值入的特征向量。本题中，a2,（13是属于九=6的线性无关

的特征向量，故Ct2+a3，（X2—2（X3，仍是1=6的特征向量，并且。2+日3，—2（X3线

性无关，故选项B正确。对于选项C,因为a2,a3均是入=6的特征向量，所以a?

与03谁在前谁在后均正确即选项c正确。由于山，a2是不同特征值的特征向量,

因此ai+a2，aj一口2不再是矩阵A的特征向量，故选D。

7、设Fi（x）,F2（x）分别为随机变量Xi与X2的分布函数,概率密度分别为fi（x）,

f2（X）（两个函数均连续），则必为概率密度的是（）

A、fi（x）f2（x）o

B、2f2（X）F］（X）。

c、fi(x)F2(x)o

D、fi(x)F|(x)+f2(x)F|(x)o

标准答案：D

知识点解析：设X]〜U[0,1),X2〜U(l,2),则

0,XCO,

/.(-)七C"'K(x)斗f，O<X<1.

10,其他，._i

0,“这1,

1,XE(1.2).

川)=/2(力)=~1<x<

其他，

0,4N2。

即可排除选项A,B,

Co对于选项D,满足f2(x)F2(x)+生(x)Fi(x)K),且

f[/I(X)F2(X)+/i(x)F,(x)](k=F,(X)F2(X)=1川山、"后c"上心班乃

y--因此选项D可作为概率

密度。故选D。

8、设随机变量X与Y独立同分布，方差存在且不为零，记U=X—Y,V=X+Y,

则U与V必然()

A、不独立。

B、独立。

C、相关系数不为零。

D、相关系数为零。

标准答案：D

知识点解析：根据独立同分布随机变量的性质，有E(uv)=E(x2—Y2)=E(X2)一

E(Y2)=0,E(U)E(V)=[E(X)]2—[E(Y)]2=0O所以由COV(U,V)=E(UV)—E(U)E(V)=0

可得相关系数PUV=O。故选Do

二、填空题(本题共6题，每题7.0分，共6分。)

•lim(COSJC)MU«J)

9、—

标准答案：e

知识点解析：

：lim(CO8X)*«(।M=lim[1+(cosx—1)1二e?,喊法；；)=e一十(

x-X)x-0

10^f(x)=sinxsin3xsin5x.则^4,(0)=

标准答案：0

知识点解析:

〃、...cos2x-cos4x.-

J[x)=sinxsinjxsinejx=-----------------sinjx

=~(cos2xsin5x-cos4xsin5x)=-7-(sin3x+sin7x-sinx-sin9r)

24

4444

则/(0)=~(3sin3x+7sin7x-sinx-9sin9x)=0o

q.・o

11、曲线公%+：)(]w73)的弧长为。

标准答案：2♦加

知识点解析：

X=rcosy(r*.

曲线的参数方.程为'(1WrW3),根据弧长公式,

=rsinT(r+7)

,2,2

I=(>/x(r)+y(r)dr=(/i+出=((与+=)*=2+yln3c.

12、差分方程yx+i—2yx=3x的通解为

标准答案：y(x)=C2x+3x,其中C为任意常数

知识点解析：由已知方程知对应的齐次差分方程的特征值入=2,通解为y(x尸C2X。

因为九=2阴，所以令特解y*=A3',代入原方程得A=l,故原方程的通解为

y(x)=C2x4-3x,其中C为任意常数。

2-1…00

-12-100

D=-2…00

•n♦♦♦**

♦*•♦•*•

000…2-1

13、行列式0°0-12

标准答案：n+1

知识点解析：将各列加到第一列

2-1••001-1…00

-12-1•-0002-1…00

…00

-12•-00--12

Da=♦••*♦a•••*•

•♦•・•♦•・•••••♦

000-••2-10002—1

000-,,—12100…—12

-1…00

2-1…00

-12-1…00

=%+(_1严♦♦♦*

・•♦••

000•••]

0002-1

=%)(-1严(_1尸=D■io

又因为仇=2,所以&=n+lo

14、随机变量X的概率密度/（*）4随机变量丫=@*+1>〜N（0,1）,则

ab=o

标准答案：1

知识点解析：根据服从正态分布的随机变量的概率密度表达式可知

X~N(-2,2),故詈、（01）,从而Q嚓,b2

三、解答题（本题共夕题，每题14分，共9分。）

15、计算反常积分”+始）（1+/）

标准答案：先对原积分进行变量替换和等价变形

1

Jo(1+X2)(1+X-)L(1+产)(1+广)

-Jo(1+/)(1+♦)'

因此可得

2/=r______________+「”_______________:「•上_卫

J。(1+x2)(l+X-)Jo(1+?)(1+xfl)Jo1+7一2所以

「"A________JL

Jo(1+x2)(l+xfl)4

知识点解析：暂无解析

16、设f(x),g(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导,且f(A)=f(B)=0。证明：(I)存

在一点乐(a,b),使得r0=2f@；(II)存在一点蚱(a,b),使得『(n尸一

3f(n)g'(n)。

标准答案：⑴令(p(x)=e-2f(X),因为f(A尸f(B)=0,所以(p(A)=(p(B)=0,根据罗尔定

理，存在一点为(a,b),使得6©=0,而京(x尸e-'tlx)—2f(x)］且所以

f(4)=2f(^)o(H)令h(x)=f9x)e3g(X),因为f(A)=f(B)=0,所以h(A尸h(B)=0,根据罗

尔定理，存在一点放(a,b),使得h，(n尸0,而h«)=e3g(x)f(x)+3f(x)g，(x)］且

e3g(X)翔,所以f(n尸一3f(n)g")°

知识点解析•：暂无解析

V1^111(X+1)2-

17、求察级数G2〃-1的收敛域及和函数。

标准答案：

根据|加4=(X+1)2,所以当|x+l|<1时，级数£♦1产

绝对收敛；当I#+1I>1时，由于当n-8时，丁=(％+1产-8,此时级数

Zn-1

1AY(4+1)”发散；当4+1=±1时，级数£RY收敛。故级数的收敛域为

会2〃-1月2n-1

—1Wx+1W1,即-2w*W0o

令4+1=f,则SG)=£AF产=，£AY/T=0(D,其中

M2n-12n-1

S«)=1户*ISKO)=os«)=X(T)，产“=-4，

/Fl-11+1

所以S,(f)=S|(0-St(0)=(S'j(s)由=-arctanz.

于是S(x)=-(x+1)arctan(z+1)(-2^0)o

知识点解析：暂无解析

18、设函数f(x)(xN0)可微，且f(x)>0°将曲线y=f(x),x=l,x=a(a>1)及x轴所围

*[Q»(Q)-/(I)]o若/(I)=~

成的平面图形绕x轴旋转一周得旋转体体积为32,

求：⑴f(x)的表达式；(D)f(x)的极值。

标准答案：⑴由已知，艰据旋转体体积公式可知

2

ITJ/(x)dx=f[a7(a)-/(I)],

等式两边对。求导，可得3/2(。)=2af(a)+。27(。)，即

f(a)=驴■⑷.迪

令"Q=U，则/'(Q)=结合上式可得。坐=3/-3〃，这是可分离变量的微分

adada

方程，进一步求解可得1-L=Co3即

U

由/(I)=;，得。=-|,所以/(4)=丁J。

21+x

(0)由(1)中结果,可得

f(\1二2/厂()_6X2(X3-2)

/⑴x-(1")2/⑴-(17”，

令/'⑴=0,得一也又因为/〃(白)<0,所以/(二)为极大值.

4242。3

知识点解析：暂无解析

19、某企业在两个不同市场上销售同一产品，市场价格分别为pi=18—2Qi，P2=I2

一Q2,其中QI，Q2分别表示产品在两个市场上的需求量，该企业的总成本为

C=2Q+5,其中Q=Q]+Q2。⑴若企业实行价格不同战略，试确定两个市场上产品

的产量及价格，使得企业利润最大；(H)若企业在两个市场上价格相同，求企业最

大利润，比较两种战略优劣。

标准答案：⑴总收入函数为r=piQi+P2Q2=18Qi—2Q/+12Q2—Q2、则总利润函

券=Si=0

款…2Q「0

22

数为L=R—C=-5+I6Q1+IOQ2—2Qi-Q2,由解得

Qi=4,Q2=5,两市场的价格分别为pi=10,p2=7,此时企业利润最大为L=52。

(□)令P]=P2=p,由18—2Q]=12—Q2，可得2Q1—Q2―6=0。即求函数L二一

5+I6Q1+IOQ2-2Q/-Q22在条件2Qi-Q?-6=0下的最大值。构造拉格朗日乘

数方程L(Qi，Q2,X)=-5+I6Q1+IOQ2-2Qi2—Q22+X(2QI-Q2—6),解方程组

薪=16-4(2)+2A=0

'=10-2(?-A=0

忆2

=2Q]-a-6=0,

办得Qi=5,Q2=4,价格为p=8,最大利润为L=49。(D和

(口)的结果比较可见，实行价格差别战略，企业的利润比较大。

知识点解析：暂无解析

3x1++2x=0

X)+2X2+-X4=0.5X23-4X4

与(II)Xj+x+x,+x=0,

2x,+33+北-3X4=0,24

axx+bx2x=0

20、线性方程组IX1+叼+4=0(2♦x

有公共的非零解，求a,b的值和全部公共解。

标准答案：因为线性方程组⑴、(II)有公共的非零解，所以它们的联立方程组(DI)

有非零解，即(HI)系数矩阵A的秩小于4。对矩阵A进行初等行变换，得

121-I-1000-

231-3010-2

110a0013

A=—♦9

352-4000a+2

111106-300

1b20--0000-所以a二一2,b=3。且r(A)=3。此时

r々=。，

Jx2-2X4=0

可解方程组1巧+3孙=0得£=（（）,2,一3,1）T，即为（III）的一个非零解。又

r（A）=3,所以£构成（HI）的基础解系。因此，（I）和（口）的全部公共解为k（0,2,一

3,1产（其中k为任意常数）。

知识点解析：暂无解析

21、设二次型f（xi，X2，X3）=4X2?—3x3?+2axiX24x]X3+8x2X3（其中a为整数）经过正

交变换化为标准形f=yJ+6y2,6y32,求：⑴参数a,b的值；（口）正交变换矩阵

Q。

"0。-2"

A=a44,

标准答案：⑴二次型矩阵为L-24-3」，由二次型的标准形

222

f=yi+6y2+6y3,可知该二次型矩阵的特征值为入产1,入2=6,X3=b,根据特征值的

和与乘积的性质可得方程组

|A,+A2+A,=tr(A),

IA।AJAJ=,AI,

7+6=1a=2,

2

66=3a-16a-16,=-6O

02-2'

(11)二次型矩阵4二244的特征值为入।=1,42=6.丸=-6。

-24-3-

根据(£-A)x=0得特征值儿=1对应的特征向最为&=0;

-1-

1

根据(6E-A)x=0得特征值入z=6对应的特征向量为6=5;

1

根据(-6E-4)x=0得特征值Aj=-6对应的特征向量为々=-1

-2-

由于不同特征值所对应的特征向量必正交,故只需单位化，得y=A0,y

T

_1_

5],于是正交变换矩阵为

-2-

.】00'

且QTAQ=060

痴

00-6-

2

yso

知识点解析：暂无解析

22、设连续型随机变量X的概率密度为

ax,0<x<2,

/(x)=；+b,2这％<4,已知£(X)

0.其他。

的值；(口)随机变量丫=©乂的数学期望与方差。

l//(x)dx=1

标准答案：⑴由概率密度的性质，即人.，可得

axdx+(ex+6)dx=2a+6c+26y

根据已知条件，有

E(X)=2=Jax,dx+「(ex2+6x)dx

856〃

=+—C+DO,

33'

P(1<X<3)=