考研数学二分类模拟题102

考研数学二分类模拟题102

一、填空题

，0-2—2、

22-2

i.矩阵1一2—22J的非零特征值是

正确答案：

4.

0-2

A=22

［解析］设1一2-2

则

A222

|AE-A|=~2A-2AA

222A-2

A00

=A011=A2(A-4),

22A-2

由此可知矩阵A的特征值为0(二重)，4.

2.设。，B为3维列向量，修为B的转置.若矩阵。似相似于

200

000

oooj,则.

正确答案：

2.

TT

［解析］设Q二(X”X2,X3),6=(yi,y2,y3),则

z、

&1V

百了1y211V3

(，)

12%,)2?3=12V12y212y3，

33,q3V13y2了3丁3,

z、

11

/a=3i，火，了3)&=乃»1+%2丁2+%3y3・

、13>

所求(Va即为矩阵a旷中主对角线元素之和，即矩阵的迹tr(aBD.而

tr(ci等于矩阵a-的特征值之和，也等于其相似矩阵特征值之和，故

a=2.

二次型人力,工)名+为

33=4+3^2+1&+2X14+2X2X3则f的正

惯性指数为.

正确答案：

2.

［解析］解法1求二次型矩阵A的特征值.

'111、

A=131,

因为」1L

A-1

|AE-A|=-1

—1

所以=A(A—1)(A-4),

即A的特征值为人尸0,入2=1，入3=4,原二次型的标准形为

片式+4认，其正惯性指数p=2.

解法2配方法.

f+2工1（X2+彳3）+（J?2+工3）2-（12+23）2+3而+#+2x2X3

=（JC1+彳2+/3）2+2名,

因此原二次型的正惯性指数p二2.

4,设二次型/（乃心2心3）=君―武+2。乃13+412々的负

惯性指数为1,则a的取值范围是

正确答案：

[-2,2].

[解析]解法1由于

/（xi，x2,x3）=6一一+20X14+4x2/

2

=Xi+2oT]73+Y4一百+4网13—（2X3）+4这一“2忘

2

=（jTi+ar3）-（T2-213尸+（4-Q?）云.

因为f的负惯性指数为1，所以4-a?2。，故-2«.

解法2二次型f的负惯性指数为1,则入<0,入220,入320,于是

10Q

IA|=0—12=不22入3=1—4<0,

Q20

故-2<aW2.

二、选择题

1.设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=0若A的秩为3,则A相似于

rl]

1

1

A.t0>

4、

1

—1

B.I0,

1、

—1

—1

c.10>

'—1

—1

D.I0>

正确答案：D

［解析］因A是秩为3的实对称矩阵，所以A必相似于秩为3的对角矩阵.设入

为A的特征值，由A2+A=0可得入2+入=0,即入二0或-1.由此可知只有选项D是

正确的.

题目中“实对称”这个条件是可以删掉的，不影响结果，但是这样题目难

度就加大了，因为此时判断A〜A就不那么容易了.读者可以通过利用"A有"

个线性无关的特征向量，因此A〜A”这一思路去完成.

2.设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且

100、

PXAP=010.

°2J若p=(Q],a2,a3),Q=(a2,a2,a

3),则QAQ=

’10O'

020

A.10oL

‘100、

010

B」002,

‘200、

010

c.1002,

200、

020

D」o0L

正确答案：B

100、

P]AP=010

［解析］解法1由题设0°2J知，矩阵A是可相似对

角化的矩阵，因而其相似变换矩阵P的列向量a2，a3是A的分别属于特

征值入口，X2=l,入3=2的特征向量.由于入产人2二1是A的2重特征值，所以

ai+a2仍是A的属于特征值1的特征向量，即A(ai+a2)=1♦(ai+a2),从而

有

100

Q-1AQ=010

、002,

应选B.

解法2因为矩阵Q是对矩阵P作一次初等列变换——将P的第2列加到

第1列上而得到的,所以有

'100

Q=P110

0L

从而有

’1o0尸ri0O,

Q^AQ=1ioP-APi10

,00U100L

1

-1

0

10O'

=010

、oo2,

即选项B是正确的.

1ar‘200

aba与0b0

°J相似的充分必要条件为

3.矩阵〔1aL、00

A.a=0,b=2.

B.a=0,b为任意常数.

C.a.—2,b—0.

D.a=2,b为任意常数.

正确答案：B

［解析］题中所给矩阵分别记为A,B,因为

A-1~a-1

—-—2

lAE-A|=—a\—b—a=A[(A2)(A6)2ajt

—1—aA-1

所以，当a=0时，矩阵A的特征值为2,b,0,且b可为任意常数，矩阵

A与B相似，充分性成立.

若A,B相似，则2为矩阵A的特征值，所以有

12E-A|=2[(2-2)(2-b)-2a2]=0,a=0,

必要性成立.因此选B.

4.设二次型f(x”x2,X3)在正交变换x二Py下的标准形为

2)】+丁2)’3,其中p=(&,e2,e3).若Q=(e”-e3,e2),则f(x”X2，X3)

在正交变换x二Qy下的标准形为

A.2才一y十%・

B.2%+/一乂.

C.2乂一立一幺・

D.2乂+武+£・

正确答案：A

[解析]解法1设二次型矩阵为A,则

‘200、

P-1AP=PTAP=010.

、oo-L

可见e2,e3都是A的特征向量，特征值依次为2,1,T,于是-e3也是

A特征向量，特征值是T.因此

‘200'

QJAQ=Q-1AQ=0-10,

、o01,

解法

2

Py7r

f=x^AxyP^APy=y1y，

r

10O'

Q=（eI・一。3，°2）=（6・°2，。3）001=PC,

20一10,

l

f=xAxX。，y「Q「AQy

=yTCrP7APCy

100、210O'

yr00-11001y

.010,—1.0-10.

(2

Ty=2yi-yl+yl.

则1J

故选A.

5设二次型/（7】，12，）=。（与+而+武）+2z］12+2z24+21113

的正、负惯性指数分别为1,2,则

A.a>1.

B.aV一2.

C.-2<a<l.

D.a=l或a=-2.

正确答案：C

［解析］二次型矩阵

%1F

A=lai

J1即

由特征多项式

\—a—1—1

|AE—AI=-1X~a—1=(八-Q—2)(入一Q+1)、

—1—1入一Q

得矩阵A的特征值：a+2,a-1,a-l.

,a+2〉()9

由于正、负惯性指数分别为1,2,可知1<°，所以-2VaVl.

，2-100

A=-1210,

6.设矩阵〔一1—12J100°J则A

与B

A.合同且相似.

B.合同，但不相似.

C.不合同，但相似.

D.既不合同，也不相似.

正确答案：B

［解析］因为

A-211

|AE-A|=1A-21=A(A-3)2,

11A-2

所以矩阵A的特征值为3,3,0.由此可知矩阵A与B不相似，从而选项

A和C错误.

又因为实对称矩阵A相似且合同于对角矩阵

300'

c=030

、000,

而矩阵C显然合同于矩阵B,根据合同关系的传递性知矩阵A合同于B,

即选项B正确.

A=C2)

7.设\21/,则在实数域上与A合同的矩阵为

r2

A.\1—2)

(2T).

B.\一12)

(2)

C.2)

(1-2).

D.\一21)

正确答案：D

［解析］直接观察可知各矩阵的秩均为2,亦即各选项的矩阵的秩都等于矩阵A

的秩.求矩阵A的特征值加下：

)—1—2

|AE-A|==(A-1)2-4=(A-3)(A+1),

—2A-1

(-21)

矩阵'1—2/的特征值为-3,-1,正惯性指数为0；

(2T)

矩阵\一12/的特征值为1,3,正惯性指数为2；

(㈠

矩阵\12/的特征值为1,3,正惯性指数为2；

(1—2

矩阵'—217的特征值为3,-1,正惯性指数为1.

(1—2)

由此可知与矩阵A合同的是'—21/(事实上，它们还是相似

的)，即选项D正确.

8.设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结沦错误的是

A.〃与B,相似.

B.V与十相似.

C.A+A，与B+B，相似.

D.A+A"与B+B”相似.

正确答案：C

［解析］依题意可知，存在可逆矩阵P,使得P4P二B.

则BT=(P*AP)T=PTAT(P-1)T=PTAT(PT),其中P尸(PT)”可逆.故AT-BT,

B(P-,AP)(P-1)-1P,故k〜BL

且P-,(A+A-,)P=P-,AP+P,A-,P=B+B-,,故A+Z〜B+B

故选C.

三、解答题

’220'

A=82a

若矩阵

1.1°°J相似于对角矩阵A,试确定常数a的值;

并求可逆矩阵P使UAP二A.

正确答案：

解矩阵A的特征多项式为

A-2

|AE-A|=-8=(A-6)[(A-2)2-16]

0

=(A-6)2(A+2),

故A的特征值为人产入2=6,入3=-2.

由于A相似于对角矩阵A,故对应于入产入2=6有两个线性无关的特征向

量，因此矩阵6E-A的秩应为1.从而由

'4-20、2-10、

6E-A=-84-a—►00a

000,90o,

知a=0.

对应于人尸入2=6的两个线性无关的特征向量可取为

'0、T

昌=0&=2.

、L

当入3=-2时,

'―4-201(210、

AE-A=-8-40f001

—8)[o

、000o,

j2«Z]+%2=°，

解方程组23=°得对应于人产-2的特征向量

11

金=-2.

、0,

’011116

P=02—2,A=6

令110

0J、

-2J则p可逆,并

有P-,AP=A.

f12-31

的特征方程有一个二重根，求的

2.设矩阵I1Q51a

值，并讨论A是否可相似对角化.

正确答案：

解矩阵A的特征多项式为

A—1-23A—22—A0

\AE-A|=1入一43—1/一43

-1—aA—5—1—QA—5

=（人-2）。2—84+18+3a）.

若入二2是特征方程的二重根,则有2-16+18+3a=0,解得a=-2.

当a=-2时，A的特征值为2,2,6,矩阵

-23、

2E~A=1-23

、一12—3,的秩为1,故人二2对应的线性无

关的特征向量有两个，从而A可相似对角化.

若人二2不是特征方程的二重根，则入忆8人+18+3a为完全平方，从而

2_

Q一

18+3a=16,解得r.

a=--2

当3时，A的特征值为2,4,4,矩阵

，3-23、

103

4E—A=

—1

）的秩为2,故人=4对应的线性

无关的特征向量只有一个,从而A不可相似对隹化.

3.证明n阶矩阵

(11-1，0…01、

11…1―0…02

与•••

■•••

I11…110•••0nJ相似.

正确答案：

证设

1111f0…01

10…02

■■

111J10…0n因为

lAE-A|==(A—7?)A

A0••

..0A••

|AE-B|=..=a一必i

00X-n

所以A与B有相同的特征值入尸n,入2=0(nT重).

由于A为实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵

n、

0

A=.

IOJ

因为r(入2E-B)=r(B)=l,所以B对应于特征值X2=0有n-1个线性无关的

特征向量，于是B也相似于A.

故A与B相似.

［解析］(1)由于在考试大纲的范围内仅有矩阵相似于对角矩阵的判定，而没有

任意两个矩阵相似判定的一般性结论，因此，部分考生没有意识到本题应该通

过对矩阵A和B是否都相似于同一个对角矩阵的判定来解题.这也就成为本题

所呈现的最主要错误.

(2)推演过程反映出部分考生对于矩阵的几个等价关系无法区分，尤其是

矩阵的相似及合同等价关系.有考生通过说明r(A)=r(B)=l来说明矩降A和B

是相似的，更有不少考生利用合同关系来处理本题，即试图寻找可逆矩阵P建

立如下关系式：PTAP=B.

’02-3

A=-13-3

aJ相似于矩阵

设矩阵[1―2

1-20、

B=0b0.

、。3L

4.求a,b的值；

正确答案：

解由于矩阵A与矩阵B相似,所以

trA=trB,|A|=|B|,

于是3+a=2+b，2a-3=b，

解得a=4,b=5.

5.求可逆矩阵P,使MAP为对角矩阵.

正确答案：

解由上一小题知

02-31fl-201

A=—13-3B=050

I1-24J103U

由于矩阵A与矩阵B相似，所以

IXE-A|=|入E-B|=(人-IE入-5),

故A的特征值为人产人2=1,3=5.

当人产入2=1时，解方程组(E-A)x=0,得线性无关的特征向量

当入3=5时,解方程组(5E-A)x=0,得特征向量

2-3-r

P=（备&4）=10—1,

令1011J则

‘100、

P-}AP=010,

、oo5,

故P为所求可逆矩阵.

设三阶矩阵A的特征值为人尸1,入2=2,入3=3,对应的特征向量依次为

T

r

1

、L3

6.将B用J,一，上线性表出;

正确答案：

解设

。=]41+]2羡+23*=（。，£，或），

A

对此方程组的增广矩阵作初等行变换

’111nri1111ri11.n

（（1/2，43：J）=1231fo120->012：0

2![0

,1493J103801:L

得唯一解（2,-2,1）T,故有

P=2€-2C2+g

7.求A「B（n为自然数）.

正确答案：

解由于A自产入心”故今。=入笛

i,i=l,2,3.因此

n

Afi=A”（2$—2£+*）=2（A笛】）一2（A笛2）+A笛3

TTr‘2—2"+1+3”

1一2+3”32—2”+2十3户1

492—2”+3+3”,2

[解析]求川6一般是如本题这样先处理B（用A的特征向量线性表示出来），再

利用A%二入%.如果先用相似求出AM然后再去计算乘积A11B,这样计算量比

较大.

1

某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将6熟练

工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过

2

培训及实践至年终考核有5成为熟练工•设第n年一月份统计的熟练工和非熟

练工所占百分比分别为〉却和yn,记成向量了〃

（「与（^n\

8.求yn的关系式并写成矩阵形式：

（8肝1\_

h

»什1yn

正确答案：

解

小「T_9,2Td（9C2]），

如产城•十尹，》12V，于是

（92]

10T

A=.

13

币=

9.验证是A的两个线性无关的特征向量，并

求出相应的特征值;

正确答案：

4—1

P=（T/l，T/2）=

解令11,则由|P|=5W0知，5，Az线性

无关.

小故,的特征向量，且相应的特征值人

因

_1

=天电

,故5为A的特征向量，且相应的特

/Ai0\n

An=P[

于是。入2,PT.

PT1=21/1

又51，

故

flo〕

TC；)/Il

5(Dr-14

_14+(1：)"4-4怯)“

=yk(l:

)"1+4(+)[

[_]卜-3(*y

H㈤「

因此〔2

r11

2_1।3

=可小+15华'

1

［解析］容易求得2于是

H

T8-3

1"（枭+%）=!人如+幼小=*所+强小

42+3

o-ir

A=2-30

已知矩阵10。°,

11.求A"；

正确答案：

解因为

A1—1

|AE-A|=-2A+30=A(A+l)Q+2),

00A

所以A的特征值为\i=-1,X2=-2,入3=0.

当人尸-1时,解方程组(-E-A)x=0,得特征向量g尸(1,1,0)T；

当入2二-2时,解方程组(-2E-A)x=0,得特征向量一二(1,2,0)T；

当入3=0时,解方程组Ax=0,得特征向量W3=(3,2,2)1

'113、

p=/&4)=122,

令02,则

'-100、

P}AP=0—20

、000,

所以

’(-1)990O,

A"=P0(—2)99op-1

,ooo,

2-1一2、

’113、(-1)"001

1

=1220(一2严0T

.002.0001

0

2"-21-2"2—298、

—

2100—21-21002—9^9•

、000,

12.设3阶矩阵B二(Q“a2,Qj满足B?=BA.记P2,B：),将B

MP2,B3分别表示为Q“a2,Q3的线性组合.

正确答案：

解因为B?二BA,所以

B,M=B98B2=B"A=B97B2A=B98A2=-=BA",

即

’2*21-2"2—298、

21oo-2100

他用2邛3)=(。1@，。3)1—22-2"

:000，.

100

=(2"-2)a1+(2-2)a2,

100

<ft=(l-2")a1+(l-2)a2,

所以98

tft=<2-2)a1+(2-2")a2.

T

设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量a尸(T,2,-1),a2=(0,-

1,1尸是线性方程组Ax=0的两个解.

13.求A的特征值与特征向量；

正确答案：

解由于A的各行元素之和均为3,所以有

’3、T

A1=3=31

、L3、L

这表明3是A的一个特征值，向量。3二（1,1,1）'是A的对应于3的一个

特征向量.又因Aa尸0,Aa2=0,可写成AQ尸0・a”4a2=0•a2,故。也是A

的一个特征值，。2是对应于0的两个线性无关的特征向量，即0是A的二

重特征值.

综上，A的特征值为0,0,3；对应于特征值0的全体特征向量为kZi+L

「（L，k2为不全为零的任意常数），对应于特征值3的全体特征向量为1<3。3（1<3

W0）.

14,求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ二A.

正确答案：

解为求正交矩阵Q,将Q”。2正交化：

令《尸a,=（-1,2,-1）T,

（。2,备）

©，筝）

I,干

=母（一1,0,1）丁，

乙

再分别将一，一，。3单位化，得

I1丁

《尸痣（T2—1）。

II、T

“信声=》一】。1），

仇=击小=拼」”.

以82,B3为列向量组即可构成正交矩阵Q,以对应的特征值0,0,

3构成对角阵A,即

工、

7673

0

1

A=0

73

、3,

111

、5/6A/2存

满足QrAQ=A.

设3阶实对称矩阵A的特征值入尸1,入2=2,X3=-2,且Q尸(1,-1,1尸是A的

属于L的一个特征向量.记B=A5-4A'+E,其中E为3阶单位矩阵.

15.验证J是矩阵1^的特征向量，并求R的全部特征值与特征向量：

正确答案：

解由A。尸入|Q”知

53

Ba}=(A—4A+E)a)

=(Ai—4A?+l)ai

=-2al,

因而向量a1是B的属于特征值-2的一个特征向量.

因为A的所有特征值分别为人”入2,入3,故B=A5-4A3+E的所有特征值分

别为义;-4黑+1(，=1,2,3),代入数值后知B的特征值为-2,1,

1.

由前面的讨论知01是矩阵B的属于特征值-2的一个特征向量，故B的属

于特征值-2的全部特征向量为k.a.(k,为任意非零常数).

又因矩阵A是实对称矩阵，故B也是实对称矩阵，从而属于B的不同特征

值的特征向量相互正交.设(xi,x2,x，T是B的属于特征值1的特征向量，则

(X1,X2,X3)ai=0,即

x「X2+X3=0.

解此方程组得其基础解系a2=(1,L0)T,a3=(-1,0,1)T,故矩阵B的

属于特征值1的全部特征向量为k2a2+k3a3,其中k2,k3为不全为零的任意常

数.

16.求矩阵B.

正确答案：

解将B的特征向量aa2,Q3正交化、单位化后构成一正交矩阵Q.

1

2

令2J

则

r1—1)

>/376

一］1

2=

73/2/6

/6J

于是

r11T1>1T

一

一1

7372病

2「127137l3

_

一1

=2=/3O

伍/O26T/2yl2

1一

行22

-76y6-

I76>y6

oi-r

=101.

-iio,

［解析］(1)在第一问求B的属于特征值1的特征向量。2，时，可以直接取成

二者正交，这样就能回避下面的施密特正交化步骤.由X「X2+X3=0,取。2二(1，

TT

1,0),此时再设。3=区，x2,X3),且令a2a3=°,得X|+X2=O,联立

—12+13=°，

11+l2=°可取&3二(-1,1,2):

(2)第二问也可以直接利用相似对角化求B.

，0-14

A=-13a,

17.设〔4a°1正交矩阵Q使Q『AQ为对角矩阵，若Q

《(1,2,1)。

的第1列为，6求a,Q.

正确答案：

1,

六(1,2,1)T

解由于J6是正交矩阵Q的第1歹U，所以(1,2,1)T是矩阵A

的一个特征向量.设其对应的特征值为人”于是有

4〕rnrn

3a2=Ai2

ojUJUJ

—2+4=Ai,

〈5+Q=2/1,

、4+2a=a],

解得a=T,入尸2.由此可知

ro—i41

A=-i3-i

I4—10J

其特征多项式

IXE-A|=(X-2)(X-5)(X+4).

A的特征值为人尸2,入2=5,入3=-4.

当入2=5时，解齐次方程组

f51-4、21

121x2

1—415J

得到属于入2的一个特征向量&2=(1，-1,1)T；

当入3二-4时，解齐次方程组

-4

1

、一4

得到属于人3的一个特征向量。二(口，0,1)\

将12,。单位化后分别作为Q的第2,3列，可得

1

11_

_

/26;13"

_。

一

yl6713

y6/3

eTAe=5

、—4,

所以Q为所求矩阵.

r

A0o

设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2,且/

18.求A的所有特征值与特征向量;

正确答案：

解由于3阶矩阵A的秩为2,所以0是A的一个特征值.

—1

o

由1

A

'1'

k\0,

所以T是A的一个特征值，其对应的特征向量为1一1JL为任意

T

莅0,

非零常数；1也是A的一个特征值，其对应的特征向量为11Jk2为任意非

零常数.

T

设A的对应于特征值0的特征向量为(X1,x2,X3),由实对称矩阵对应于

不同特征值的特征向量是正交的，所以有

、/、

(l,o,-l)亚=0,(1,0,1)之2=。9

口3,

5=0,

丁1-久3―〃

得j72=相，

J23=0c，解」

即、之3=0，

0、

卜31,

于是对应于0的特征向量为k3为任意非零常数.

’110、

p=001,

［解析］也可令1一11°，则

-10O,

A=P010P}

000,

11_

0

，1101r-100)12foor

=00101011=000

-11oj[00

00o.

010

19.求矩阵A.

正确答案：

11

6

Q=00

11

6

解令>则

‘一100

Q-]AQ=QTAQ=010

<000,

Too、

A=2。1ooT

。Ooy

rI1-1I

o

,1o-1

-AV2

f7O2001yl21

=XI-o10&

1Jo

ooyo2

1o

-i72o1

、

o，I

f0

•o0

=J

。

故I

设二次型

/(^1,12,々)=a"+a名+(Q-1)刀+2攵】①3—2573.

20.求二次型f的矩阵的所有特征值;

正确答案：

解二次型f的矩阵为

%01'

A—0a—1,

、1—1CL—1,

其特征多项式为

A-a0—1

；AE—A|=0X—a1

—11A—(a-1)

=(入-a)口一(a+1)][入一(a—2)],

所以A的特征值为

人尸a,X2=a+1,X3=a-2.

21.若二次型f的规范形为34+j^,求a的值.

正确答案：

解由f的规范形为yf+y：知，其矩阵A的特征值有两个为正数，一个为

零.又

a_2<a<a+l,

所以a-2=0,即a=2.

101

011

A=

—10a

T

已知I0Q二次型fG,x2,X3)=x,(AA)x的秩为2.

22.求实数a的值；

正确答案:

解法1因为2二r(ATA)=r(A),故可对A作初等行变换:

11flo1

01oi1

A=*00

—1a+1a+1

、0一。一1000

所以a=-l.

20l-a

AVA=01+a21—a