初中八年级数学下-平行四边形几何模型详解

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初中八年级数学下必考点-平行四边形几何模型详解

一、基础知识

条件的组合搭配是解决几何综合题目的基本思路，在进行组合搭配中往往遇到一些常用的结构.可以通由卜全图形，从而构造熟悉的结构：

等腰+中点，考虑：直角+中点，考虑

三线合一斜边上的中线等于斜边的一半

A

BC

不

B"D\/C

AID

平行+（夹）中点，考虑一边上的中点，考虑

延长证全等倍长证全等

/ED

------------X

BFCO

多个中点，考虑坐标系中见中点，

中位线考虑中点坐标公式

平行+角平分线，考虑三线中两线重合，考虑

等腰三角形等腰三角形

三角形的三线:底边上的中线、底边上的高线、顶角的角平分缓

二、方法技能

1.几何计算、证明的基本思考流程

①标注条件，合理转化；

•合特征，分析结构；

③由因导果，执果索因.

2.特殊四边形中隐含条件

①平行四边形中隐含条件：平行、中点；

②萎膨中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直；

③矩形中隐含条件：平行、中点、垂直；

④正方形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直.

3.四边形中常见几何结构举例

西点结构：亘角+中点，平行+中点，多个中点；

②旋传结构:等线段共点，对角与补；

③弦图结构：外弦图，内弦图，等腰直角，三垂；

④面根结构：三个"一半"，平行转化.

三个一半

BCL'b8c尸BCA

平行转化

田日区臼

三、典例精讲

1.如图，在平行四边形ABCD中,BC=2AB,CE_LAB于点E,F为AD的中点，若NAEF=54°,则NB=.

【分析】(体会条件^合与搭配)

方法一：

①ABllCD,F为AD的中点：一平行央中点一死长证全等；

②zGCE=zCEB=90°,F为AD的中点；一直角+中点一亘角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

••易证"AFE少DFG(SAS),

.•EF=FG

•.zGCE=zCEB=90°,

.•EF=GF=CF

•.BC=2AB,

.-.FD=CD

­.zAtb=54w,

.1.zF=C=zFCE=36°,NCFD=NFCD=NG=54<

.•.zB=zCDF=180°-108°=72°

方法一

方法二：

F为AD的中点，取CE中点造梯形AECD的中位线（构成（EF两线合一）­.zAEF=54",

.'.zFEC=zFCE=36°,zCFD=zFCD=540

.­.zB=zCDF=180o-108°=72°

方法二

方法三：

1.CE±AB于点E,

..取3c中点，构造直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

X.BC=2AB,

/.BG=EG=CG=CD=FD=AF,

.ABiiFGllCD,

.-.zGEF=zGFE=zAEF=54°,zB=zGEB=72°

方法三

2.如图，在菱形ABCD中,zA=110°,E,F分别是边AB、BC的中点,若EP±CD于点P,则/FPC=_.

【分析】

四边膨ABCD是菱形，F分别是边BC的中点，构成平行夹中点一延长证-BEF^CGF(SAS)

,-.EF=FG=FP,AE=BE=BF=FG(菱形的四边相等)

.1.zB=70°,zBFE=zBEF=zG=zFPC=55o

3.如图，在菱形ABCD中,AB=BD,点E,F分别在边AB,AD上，且AE=DF连接BF,与DE相交于点G,连接CG,与BD相交于点H.则下列结论：

（p^AED^DFB;②NBGD=120°

③S四边形88G=乎℃2.

其中正确的是一.（填序号）

【分析】

①以ED»DFB（SAS）,

・•・①正确

②由&AED»DFB得Nl=z2,

.-.zBGE=zl+z3=z2+z3=60°,zBGD=120°二②正确

（3）.zBGD+zBCD=12O°+60°=180°（对角互补）（D=CB（等线段共点C）

.•・可以考虑将《DG绕点C逆时针旋转60倒4BM,也可将（BG绕点C顺时针旋转60°

注意:辅助线的叙述与三点共线

叔还一：将KDG旋转到，必须根据对角旦补说明G、B、M二点化一条直线上；

叙述二：延长GB至M，使BM=DG（保证了G、B、M三点在一条直线上），连接CM,此法只需要证明，（BM*CDG（SAS）,从而让得&CGM是等边

三角形.

S四边形BCDG=；XCGXMN=；XCG吟CG吟CG?

，③止确

4.（2019）如图，在SBC中，NACB=90°,AC=BC=6，点D为BC的中点，点P是射线AD（与A更合）上的一个动点，则当“PBC为直角三角形时，AP

的长为.

A

【分析】

.•点P是射线AD上的一点，且不与A重合，

.1.zBCP=90°

•.zACB=90°,AC=BC=6，点D为BC的中点,

AD=ylCD2+JC2=375

当N8PC=90。，点?在线段力。上，构成直角三角肪斜边上的中线等于斜边的一半，AP=3y[5-3

当N8PC=90。，点尸在线段力。延长线上，构成直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，.4P=3>/?+3

当NP8C=90。时，BP〃AC,点D为BC的中点,构成平行央中点，"BDgMCD

；・PD=AD=3卮AP=6卡.

综上，力。的值为：3后一3或30+3或6石.

四、典型练习

1.如图，在口/BC。中，力。=2/8,CE^L4B于点E,产为力。的中点，连接”，则下列结论：

①ADCF=-/BCDi®EF=CFi@S^BEC=2SAC£f:④NDFE=3乙4EF.其中一定正确的是

（填序号）

【思珞分析】

本题给出F为AD的中点，结合平行四边形提供的对边平行，故考虑"平行夹中点"，借助全等转移边、转移角.

①；AD〃BC,AF=FD=CDt：.ZBCF=Zl=Z2,・••①正确；

②易证：MEFADGF,":AB〃CD,CE1ABtF为AD的中点、,：.EF=CF=GF,・••②正确：

③；为的中点，.二工工EF,③错误

FAD5.2-2SACEF,BECG,S^EC,/.S^BEC*2sM

@VABIICD,：.ZG=ZAEF,•:FC=FG,FD=CD,/.ZG=Z2=Zl=Z.AEF,

:.乙DFE=ZAEF+4=Z.AEF+(180°-AADC)=NAEF+Zl*Z2=3^AEF,故④正确.

综上，其中一定正确的是①②④.

2.（2018哈尔滨）如图，在口/BCQ中，对角线4C,80相交于点O,48=08,点£,点少分别是04,

。。的中点，连接£7LZC£F=45°,EMJ.BC于息M,EM交BD于息N,FN=^,则线段8c

的长为.

【思珞分析】

本题恰出AB=0B，点E是0A的中点（等腰+中点构三线合一）

，连接BE得BE_LAC

由中位线定理得所〃/D〃8C,EF=-AD=-BC;

22

由NC£/=45。，EM上BC于点M,得NBCM=NCEF=45。,:・BM=EM=MC=EF

:,易证MMNWAFEN,:.BN=FN=M,MN=NE=x,：.BM=2x,BC=4x

由勾股定理得：x2+(2x)2=(V10)2,Ax=V2,8c=4x=4jl.

3.如图，在梯形ABCD中，ADHBC，点E在BC边上，AE=BE,F是CD边的中点，且AF_LAB.若AD=2.7,AF=4,AB=6,则CE的长为.

【思珞分析】

本题给出ADUBC,F是CD边的中点，这是很典型的“平行夹中点”

，延长AF,BC交于点G,易证MDF»GCF,

..AF=FG=4,

VAFJ_AB,

•••由勾股定理可得BG=10.

AE=BE,..zB=z2,

•,.zB+zG=zl+z2=90°,

.-.zl=zG,AE=EG=BE=5,

.-.CE=5-2.7=2.3

4.如图，以的斜边8c为一边，在AJ8c的同侧作正方形8CE/,设正方形8C£尸的中心为O,

连接0/.若AB=4,。4=6及，则/C的长为.

【思珞分析】

本题给出正方形内含有正方形结构，

.,构造弦图易证：AAB6&GFB,

-''AU^'GOF彳号UA=OG,NA3G=9U",AG=12,

.-.AC=GB=12+4=16

5.如图，已知四边形48CO是正方形，对角线力C,8。相交于点O,在H/AOCE中，NCED=90°,

ZDCE=30°,若,则正方形/8CO的面积为.

【思珞分析】

本题给出ABCD形，zCED=90°,

.-.zCOD+zCED=180o,zODE+zOCE=180°构飒角互补，

.OC=OD,构成等线段共点，

••可考虑将QDE顺时针旋转90°

，将3E顺时针旋转90°到OF，连接CF,易证3BC»GFB,

.-.zCDE=zOCF,DE=CF,OE=OF

JZ.OCE+NOCD=40CE+NODE=180°,:.E、C、尸三点共线，AEF=41OE

・・・（

VJ+l）a=VIx"十立,”1,ACD2。=2,S正方形/HCZ）=4.

2

6.如图，两个边长均为2的正方形重叠在一起，正方形OPQR的顶点0与正方形ABCD的中心里合.给出以下结论：

①四边形OECF的面积为1;

②CE+CF=2;

③0E+0F=2;

④四边形OECF的周长为4

其中正确的是.（填序号）

【思珞分析】

本题给出正方形OPQR的顶点0与正方形ABCD的中心重合.

方法一：

.•.NE3F+NECF=900+9（r=180°（对角互补），连接OC、0D,^OEC与aOFD构成旋转型全等.

①，S四边形OECF=^ACOD=,S正方形/se=1，①正确

②:・CE=DF,CE+CF=EF+CF=CD=2,②正确

@V1<O£<V2,1^0F<V2,：.2<OE+OF<2y[2t工③错误（运动现考虑线段长的取值范围）

④由②®可得四边形OEC/的周长大于或等于4,小于或等于2拒+2,・,•④错误

综上，正确结论为①@

方法二：

.；，E3F这个直角的两边不是水平线和铅垂线（称为斜直角），解决"斜直角"问题常用的方去就是1■斜直角放正"（直角的两边由水平线和铅垂线构成），

这种方法在直角坐标系中用得很多！

工作。GJ.BC于G,OHJ_CD于H,

易证-OGEF^OHF,同样可得上述结论.

7.如图，在平面H角坐标系中，正方形48(7)的顶点力的坐标为(0,2),顶点8在x轴上，时角线力。，

8D相交于点A/.若则点C的坐标为.

【思珞分析】

ZAMI-是斜直角，可考虑“斜直角放止~，得MMG乎BM卜，

,AG=FB,GM=FM

•.四边形OGMF是正方形，

OG=OF=3,AG=FB=1;

AOAB乎EBC（三垂全等），

.1.BE=OA=2,CE=OB=4,

.・•点C的坐标为（6,4）构造弦图可得：AOAB^EBC（三垂全等），

AOME是等腰直角三角形，

.QE=6,BE=OA=2,CE=OB=4,

，点二的坐标为［6,4）

____.£

C

BE2X

8.如图，正方形ABCD的面积为18,菱形AECF的面积为6,则菱形的边长为

A

【思珞分析】

本题给出正方形和菱形，他们的对角线都是互相垂直平分的.

•・连接BD,AC

,•S正方形/sc。=/x=18，・•"C=6。=6，S菱形AECF=5"CXEF=6，・・EF=2

：.0A=0C=3fOE=OF=\,・•・AE=SA?+*=痴.二菱形的边长为布.

A

9.如图，四边形ABCD和CEFG都是菱形，连接AG、GE、AE,若NF=60°,EF=4,则SEG的面积为」

【思珞分析】

本题给出两个锐角为60。的菱形，

•.连接AC,可得NACB=NGEC=60°

.'.ACliBG,

SMGE~SACGE~5CExGH=—x4x2y/3=4>/3

（构造平行线造等底等高，平行转移）

10.如图，E是UABCD内任一点，若cABCD的面积为8,则图中阴影部分的面积为」

【思珞分析】

过点E作AD的平行^交AB于G,交CD于F,利用平彳谋移得：

S"DE+^SBCE~SMDF+S^CF~5s平行四边形48co=4

11.如图,在边长为4的菱形ABCD中/B=60.，点E,F,G,H分别在边AB,AD,DC,CB上，且AF=CH,BE=DG=2.P是直线EF,GH之间的任

一点，连接PE,PF,PG,PHf则aPEF与。PGH的面积之和为:

，4FD

【思珞分析】

由已知易证SEF2CGH,ABEH^DGF,

.--EF=GH,tH=FG

，四边形EFGH是平行四边形，

...由"三个一半，平行转化"知连接EG,过点P作EF的平行线

因此

S蓟EF+S寸GH~3S平四EFGH=彳'/S平四/舐。=~BCXAM=-x4x25/3=2yfi.

12.如图，在的亍四边形ABCD中，AB:BC=3:2,NDAB=60°,点E在AB边上，且AE:EB=1:2,F为BC边的中点，过点D作DP±AF于点P,DQ±CE

于点Q,则DPQQ的值为

Dc

AEB

【思珞分析】

•1DQJ.CE,DP^AF,由"三什半"得

S^EDC=S&AD=5S平四/sc。，

：.-CExDQ=-AFxDP,—=—•

22DQAl

（求两高之比，由面积公式转化为底边之反比）

由已知数据求得：

1野=呵...里=第=返

22

C£=2A/3,AF=^AG-^GF=n-

Vl2j2。。后13

A1E2

五、歪点提升

【中点结构】

1.已知力8=12,AB1.BC于煎B,/O于点力AD=5tBC=\0.若点£是C。的中点,

则AE的长是.

2.如图，在四边形力8co中，AD〃BC,ZD=90°,

8C=7,则4。的长为.

BCB7C

3.如图，在四边形48CO中，AD〃BC,AB=AD+BC,M是CO的中点，如果N48C=50。,

那么4BAM的度数为

4.已知：如图，&48C和ACOE均为等腰直角三角形，ZABC=NCDE=90。,AB=BC,DC=DE,

CD>BC,点、C、B、。在同一直线上，/是XE的中点.贝ij；①DF=BF；®ADBF；③DF1BF；

④BD=6BC,以上结论中一定正确的有.

C

5.如图所示，DE为AABC的中位线，点F在DE上,且以E8=90。，若48=5,BC=8,

则EF的长为.

6.如图，在菱形48c。中，2=80。，E、/分别是边力8和8C的中点，EP1CD于点P,

则NFPC的度数为

7.如图，在平行四边形48CO中，ZJ=135°,E、F分别是边力8和8。的中点，EPJ.CD于点P,若

力8=8,AD=36,则O=

8.如图,在边长为1的正方形ABCD中,对角线/C,8。相交于点O,点£,点尸分别是48,的中

点，CE交/?/）于点G,连结。尸，OF,GF.KOZRFG-ZRDF=

△，CE三△8ORZI=Z2

2BGF三2BGF、Z3=Z4

Z3-Z1=Z4-Z2=Z5=45°

【垂直结构】

1.己知48。=90。，。是直线上的点，AD=BC.

①如图I,过点/作/£_L/I8,并截取力£=8。，连接。C、DE、C£,则AC0E的形状是

②如图2,£是直线8c上一点，且CE=BD,直线力£、CO相交于点P,则乙""=

「

2

Df

Dz

图1图2

H

八

一八:\

①丘ABIOG个K

△CDE是等腰直角三角形\

②△AIXUABCD,\

△ax;是等腰直角三角形W丁

四边形/ECG是平行四边形V-

.*.ZJPD=ZZX,G=45O

DD

根据图1的启示，构造全等，总结解法,不难想到另两种构图方法.

2.如图，4。为A/18c的外角平分线，且力O_L8。、M为8c的中点，若48=12,JC=18,

求MD的长为.

角平分线+垂线（两线合一）考虑构造等腰和中位线.

3、如图，平行四边形力8CQ中，AABC=71。，4F工BC于F,4F交BD于E,若DE=24B,则

ZAED=.

取的中点0,连接。4

•：DE=2AB.AABC=12°tAFLBC

：.NB”=MQ4=OIAOE=.AB

设乙IOO=NO4