高中数学：函数应用教学设计

教学设计

课程基本信息

学科姓名数学年级高一学期秋季

课题3.4函数应用（一）

教科书书名：普通高中教科书数学必修第一册A版教材

出版社：人民教育出版社巴版日期：2019年6月

教学目标

1.能从教科书例1中分析出存在几个变量，并确定他们之间的关系，通过这些关系确定应缴纳

综合所得个税与综合所得攻入额间的关系；

2.能准确理解例题中文字部分和图表部分的多种信息，并综合应用于确定函数关系，从而培养

学生的数学抽象和数学建模素养；

3.经历从实际问题抽象出函数模型，感悟合理选择函数模型解决实际问题的过程.

教学内容

教学重点：

1.建立函数模型解决实际问题；

2.初步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.

教学难点：

能将实际问题中的量抽象成数学中的变量，并找到变量之间的关系.

教学过程

一、复习引入

问题1:我们前面学过了哪些函数？

教师引导：教师提出问题，学生回答问题.学生回答并相互补充，归纳得到：一次函数、

二次函数、反比例函数、塞函数.

教师引导学生写出每类函数的解析式.

y=—（%NO）

一次函数：）'=依+"（左云。）反比例函数：x

二次函数：）=G2+饭+（?（qWO）辕函数V=丁（Q为常数）

还有分段函数。

追问：什么是分段函数？你能举例说明吗？

教师引导：教师提出问题，学生思考并回答.教师引导学生回顾分段函数定义并举例说明：

一不，xVO,

y=<

形如【X'-这样的函数称为分段函数.

［设计意图］本节课就是利用分段函数解决实际问题，通过回顾一次函数、二次函数、反

比例函数、累函数和分段函数，为后面的实际应用奠定基础.

二、例题教学

例1：设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例

8相同，全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）.

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）如果小王全年的综合所得由117600元增加到153600元，那么他全年应缴纳多少综

合所得个税？

问题2：例1中存在几个变量，它们之间是什么关系？

第70页例8：依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共

和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税），2019年1月1日起，个税税额根据

应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为

个税税额y二应纳税所得额I'税率一速算扣除数.

应纳税所得额的计算公式为

应纳税所得额L综合所得收入额x〜基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确

定的其他扣除.

其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元.税率与速算扣除数见表

级数全年应纳税所得额区间税率（%）速算扣除数

1[0,36000]30

2(36000,144000]102520

3(144300,300000]2016920

4(300000,420000]2531920

5(420000,660000]3052920

6(660000,960000]3585920

7(960000,+8)15181920

(1)设全年应纳税所得额为1,应缴纳个税税额为y,求并画出图象；

(2)小王全年综合所得收入额为117600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保

险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%,2%,1%,

9%,专项附加扣除是9600元，依法确定其他扣除是560元，那么他全年应缴纳多少综合所

得个税？

［设计意图］函数应用题中引导学生分析问题中存在几个变量，它们之间是什么关系，

如何确定这些关系确定y于x的关系。引导学生体验数学抽象的过程，体验数学模型建立的

过程。

问题3：你认为如何得出y关于x的函数解析式呢？

根据问题2中公式可先得t关于x的解析式t=g(x),

再根据y关于t的解析式y=f(t)即可得出y关于x的函数解析式。

师生活动：学生读题后思考，尝试得出结果.老师启发引导，探寻解题思路，得到：先

使用个人应纳税所得额计算公式得到t与x的关系，再利用例8第(1)问的结果，得到应

缴纳个税税额y关于全年应纳税所得额t的解析式，再将t等量代换为x即可得到y关于x

的函数解析式.

问题4：你能根据41.2例8的已知数据得出廿g(x)、y=f(t)吗?

解析：(1)若小王全年综合所得收入额为x(单位：元)，由个人应纳税所得额计算公

式，可得

t=x-60000-x(8%+2%+1%+9%)-9600-560

=0.8x-70160

令t=0,得x=87700

根据个人应纳税所得额的规定可知，当0WXW87700时，，=0.

所以，个人应纳税所得额t关于综合所得收入额x的函数解析式为

(0,0<x<87700

t=l0.8x-70160,x>87700

由表可得：当0不£36000时，y=tx3%;

当36000<t<144000时，y=tx10%-2520;

......由此我们可以得到尸f(t)

[0.03/,OW5W36OOO,

O.k-2520,36000W44000,

0.2/-16920,144000<Z<300000,

y=\0.25-31920,300000<tW420000,

03-52920,420000V，W660000,

0.35/-85920,660000V，W960000,

0.45/-181920,4960000.

问题5：要想确定y关于x的函数需要确定哪些要素？

定义域、对应关系

［设计意图］将个税税额写成综合收入所得额的函数需要进行分段表述，难点在于如何

将自变量x的取值进行分段，这里老师可以追问“当x在什么范围时可以使t落到相应的区

间，从而确定税率和速算扣除数”，引导学生通过解相应的不等式求得x的不同范围，从而

得到个税税额关于综合收入所得额的分段函数。

SO<x<877001ft,f二°,所以)'二°；

当87700VxW132700时，0<fW36000,所以y=tx3%=0.024x-2104.8；

当132700VxW267700时，36000V/W144000,所以y=tx10%-2520=0.08x-

9536；

当267700VxW462700时，144000W300000,所以y=ix20%-16920=(M6x-

30952；

当462700VxW612700时，300000</<420000,所以y=tx25%-31920=0.2x-

49460：

当612700VxW912700时，42000(X^660000,所以y=tx30%-52920=0.24x-

73968；

当912700<xW1287700时，66000(Xr960000,所以y=tx35%-85920=

0.28x-110476；

当x>1287700时，,>960000,所以y=tx45%-181920=0.36x-213492.

所以，函数解析式为

/D,0<XS87700

0.024x-2104.8,87700<X<132700

0.08久-9536,132700<%<267700

I0.16%-30952,267700V岸462700

丫一10.2x-49460,462700<x<612700

0.24X-73968Z,612700<x<912700

0.28%-110476,912700<X<1287700

I0.367-213492,X>1287700

（2）根据上述解析式，当x=153600时，y=0.08X153600-9536=2752.

所以，小王全年需要缴纳的综合所的个税税额为2752元.

［设计意图］通过中间量3建立起y与x的关系，提升学生的数学运算素养.通过展示

解答，纠正问题，规范演示，培养学生严谨的语言表述习惯.

例2：一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：km/h）与时间t（单位：h）的

关系如图所示，

（1）求图3.4-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段

路程时汽车里程表读数s（单位：km）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象.

90

80

70

60

50

40

30

20

10

O

图3.4-1

问题6：你能说出图3.47中反映出汽车行驶的什么规律？从图中能获得哪些信息？

教师引导：让学生思考，最后使学生认i■只到：

当时间t在［0,5］内变化时，对于任意的时刻t都有唯一-确定的行驶速率与之相对应.根

据图3.4-1,在时间段［0,1）,［1,2）,［2,3）,［3,4）,［4,5］内行驶的平均速率分别为50

km/h,80km/h,90km/h,75km/h,65km/h,因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系

也不一样，需要分段表述.

追问1：（1）能写出平均速率v与时间t的关系式吗？

（2）你能理解阴影部分面积的实际意义吗?

师生活动：（1）学生读图后尝试写出，教师规范引导，得出汽车的行驶规律的解析式表示

如下:

50,0WY1,

80,1Wt<2,

90,2WV3,

75,3WY4,

65,4WV5.

（2）教师适时引导学生把阴影部分面积转化为多边形的面积，即5个长方形面积的和,

并提示：每个长方形的长是什么？是多少？长方形的宽是什么？是多少？“是多少”能【可答面

积的计算问题，“是什么”能回答面积的意义问题.得到阴影部分的面积为:

50x1+80x1+90x1+75x1+65x1=360.

因此阴影部分的面积表示汽车在这6h内行驶的路程为360km.

追问2：如何寻求汽车行驶路程与时间的函数解析式与图象?

教师引导：让学生思考最后使学生认识到：通过借助第（1）问的结论，可以将求路程的

问题转化为求对应多边形的面积问题加以解决.教师引导学生动态地观察图中直线/=%左侧

的阴影部分的面积.如I：当时，宜线7%左侧的阴影部分是一个长方形，长是50,宽

是t；当1W"V2时，直线左侧的阴影部分是两个长方形，一个长是1,宽是50,另一个

长是"。一1）,宽是80；当2W/°V3时，直线，二%左侧的阴影部分是三个长方形，一个长是1,

宽是5（）,一个长是1,宽是80,另一个长是&-2）,宽是90；

如图

v

9090

8080

7070

6060

5()5()

4040

3030

2020

1()1()

OO2345

得到结论图3.4-1图3.4-1

50r,0«l,

50+80(/-l),l</<2,

V50+80+90。-2)