考研数学三（线性代数）模拟试卷95

考研数学三(线性代数)模拟试卷95

一、选择题(本题共9题，每题7.0分，共9分。)

1、A和B都是n阶矩阵.给出下列条件①A是数量矩阵.②A和B都可

逆.(3)(A+B)?=A?+2AB+B9.④AB=cE.⑤(AB)P=A°B’・则其中可推出

AB=BA的有()

A、①②③④⑤

B、①③⑤

C、①③④

D、@@

标准答案：D

知识点解析：①和③的成立是明显的.②是不对的，如

.[°!18.厂01AB=[°BA=[°

AL1一J则।°J[一M@AB=CE,在

cr0时可推出AB=BA,但是c=0时则推不出AB二BA.如

r0Iir1Oir0OirOii

A=,8=,AB=LBA=\

lo01I。ol则l0oJLooJ⑤(AB)2=A?B2推不出

AB=BA.对于④中的A和B,(AB)2和AZB2都是零矩阵，但是ABrBA.

2、四,(12，…，线性无关=().

A、存在全为零的实数ki，kz»...»kr»使得kiai+k2a2+…+krar=0.

B、存在不全为零的实数ki，k2，…，使得k]Ct]+k2a[十…十kra#0.

C、每个四都不能用其他向量线性表示.

D、有线性无关的部分组.

标准答案：C

知识点解析：(A)不对，当k]=k2=...=kr，=0时，对任何向量组aI，g，…,

kiai+k2a2+...+krOr=0都成立.(B)不对，见侬，…,如线性相天时，也存在不全为

零的实数k"k2，…，kiai+k2a2+…+k「a#0；(C)就是线性无关的意义.(D)不

对，线性相关的向量组也可能有线性无关的部分组.

3^设A是4x5矩阵，四,口2,。3,。485是A的列向量组，r(a],a2,a3,a4,a5)=3,则()正

确。

A、A的任何3个行向量都线性无关.

B、⑴,012,(X3,04,015的一个含有3个向量的部分组⑴如果与ai,a2,013,0405等价则一定

是a),a2,a3,O4,a5的最大无关组.

C、A的3阶子式都不为0.

D、山,012捋3,04,(15的线性相关的部分组含有向量个数一定大于3.

标准答案：B

知识点解析：r(ai,a2,a3,(X4,a5)=3,说明⑴,012,013,04,0(5的一个部分组如果包含向量超

过3个就一定相关，但是相关不一定包含向量超过3个.D不

对.r(ai,ct2,a3,a4,a5)=3,则A的行向量组的秩也是3,因此存在3个行向量线俳无

父，但是不是任何3个行向量都线性无关.排除A.A的秩也是3,因此有3阶非

零子式，但是并非每个3阶子式都不为0,C也不对.下面说明B对.⑴与

ai,(X2,a3,a%a5等价,则。)的秩-r(ai,<12,(x3,014,〃)=3=(1)中向量的个数，于是⑴线性无

关，由定义⑴是最大无关组.

4、设ai,a2，…，as是n维向量组，r(ai,a2，...»&)二口则()不正确.

A、如果r=n,则任何n维阳量都可用ai,a2，…，出线性表示.

B、如果任何n维向量都可用eq,a2，…，as线性表示，则r=n.

C^如果r=s,则任何n维向量都可用ai,(12，…,唯一线性表示.

D、如果rVn,则存在n维向量不能用ai,a2，…，as线性表示.

标准答案：C

知识点解析：利用“用秩判断线性表示”的有关性质,当r=n时，任何n维向量添加

进ai,a2,…，as时，秩不可能增大，从而(A)正确.如果B的条件成立，则任何n

维向量组。巾2，…，氏都可用ai,a2，…,Os线性表示,从而r(0]p2，…，

仇)0r(cu,a2，…，as)-如果取P1P2，…，0n是一个n阶可逆矩阵的列向量组,则得

n=r(PiP2»...»Bn)Wr(ai,ot2，…，as)<n,从而r(ai,a2，…，as)=n,B正确.D是B

的逆否命题，也正确.由排除法，得选项应该为C.下面分析为什么C不正

确.r=s只能说明ai,a2,…，线性无关，如果rVn,则用B的逆否命题知道存

在n维向量不可用ai,a2，…，as线性表示，因此C不正确.

5、n维向量组⑴ai,a2，…，)可以用n维向量组(11)做。2，…,氏线性表示.

A、如果⑴线性无关，则吐s.

B、如果(I)线性相关，则r>s.

C、如果(口)线性无关，则Es.

D、如果(口)线性相关，则r>s.

标准答案：A

知识点解析：C和D容易排除，因为(□)的相关性显然不能决定r和s的大小关系

的.A是定理3.8的推论的逆否命题.根据该推论，当向量组⑴可以用(II)线性

表示时，如果r>s,则⑴线性相关.因此现在⑴线性无关，一定有Es.B则是这

个推论的逆命题，是不成立的.也可用向量组秩的性质(定理3.8)来说明A的正

确性：由于⑴可以用(口)线性表示，有Kl)Sr(II)今又因为⑴线性无关，所以

r(I)=r.于是r<s.

6、己知n维向量组ai,(12，…，as线性无关，则n维向量组”的，…，0s也线性无

关的充分必要条件为

A、ai,a2，...»as可用力仞，…，0s线性表示.

B、仇。2，…，0S可用ai,(X2，…，(Xs线性表示.

C、Q|,Ct2>•••»a$与仇02，…，0s等价.

D、矩阵(ai,a2，…，as)和(P巾2，…，阳等价.

标准答案：D

知识点解析：从条件A可推出由也，…，氏的秩不小于ai,a2,…,as的秩

①。2，…，伏线性尢关.即A是充分条件，但它小是必要条件.条件C也是充分

条件，不是必要条件.条件B既非充分的，又非必要的.两个矩阵等价就是它们

类型相同，并且秩相等,现在(内国，…，as)和(伙的，…，氏)都是nxs矩阵,

(ai,a2,...»as)的秩为s,于是仇位，…，氏线性无关(即矩阵(仇。2，…，%)的秩也

为s)iQ'(ai,a2，…，as)和(0小2，…，区)等价.

7、设A是mxn矩阵，B是nxm矩阵，则()

A^当m>n时,IABI和.

B、当m>n时,IABI=0.

C^当n>m时,IABI翔.

D、当n>m时,IABI=0.

标准答案：B

知识点解析：本题考察AB的行列式IAB|,而条件显然是不能用来计算I

ABI.而利用方阵“可逆=满秩”，转化为“r(AB)是否二AB的阶数m”的判断则是可

行的.有不等式r(AB)gmin{r(A),r(B)}Smin{m,n).如果m>n,则

r(AB)<min{r(A),r(B)}<min{m,n)=n<m.于是r(AB)Vm,从而AB不可逆，I

ABI=0.因此(B)成立.(如果mVn,r(AB)<min{r(A),F(B)}<min{m,n}=m.不

能断定r(AB)与m的关系，C,D都不一定成立.)

8、A是mxn矩阵，B都nxm矩阵.AB可逆，则

ANr(A)=m,r(B)=m.

B、r(A)=m,r(B)=n.

C^r(A)=n,r(B)=m.

D、r(A)=n,r(B)=n.

标准答案：A

知识点解析:AB是m阶矩阵,AB可逆，则m=r(AB)Wr(A)Wm,得r(A)=m.同理

得r(B)=m.

ri

A=

9、n阶矩阵L«1」的秩为n—1,则a=().

A、1

B、1/(I-n)

C、一1

D、1/(n—1)

标准答案：B

知识点解析：暂无解析

二、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)

10、A,B都是凡阶矩降，并且B和E+AB都可逆，证明：B(E+AB)1B一

B(E+AB)-,A.

标准答案：对此等式进行恒等变形：B(E+AB)电】=E—B(E+AB)/o

B(E+AB)'=B—B(E+AB),AB(fflB右乘等式两边)=B(E+AB)1+B(E+AB)

】AB=B=B(E+AB)](E+AB)=B.最后的等式显然成立.

知识点解析：暂无解析

11、设A,B都是对称矩阵，并且E+AB可逆，证明(E+AB)1是对称矩阵.

标准答案：(E+AB)1A对称，就是[(E+AB)」A]T=(E+AB)】A.[(E+AB)

1A]T=A「(E+AB)1]T=A[(E+AB)T]1=A(E+BA)L于是要证明的是(E+AB)

,A=A(E+BA)).对此式作恒等变形：(E+AB),A=A(E+BA)1-

A=(E+AB)A(E+BA)1(fflE+AB左乘等式两边)=A(E+BA)=(E+AB)A(用E+BA

右乘等式两边).等式A(E+BA)=(E+AB)A.显然成立，于是(E+AB)」A=A(E+BA)

r成立.

知识点解析：暂无解析

12、设A,B都是n阶矩阵，使得A+B可逆，证明B(A+B)」A=A(A+B)后

标准答案：两边都加A(A+B)以后，都等于A：B(A+B)1A+A(A+B)

IA=(B+A)(A+B)1A=A.A(A+B)'B+A(A+B),A=A(A+B),(B+A)=A.因此

B(A+B)1A=A(A+B)]B.

知识点解析：暂无解析

13、设A,B者「=阶矩阵，并且A是可逆矩阵.证明：矩阵方程庆*二8和

XA=B的解相同AB=BA.

标准答案：AX=B的解为A'B,XA=B的解为BALAX=BXA=B

同即A'B=BAI作恒等变形：A'B=BA1«B=ABA」=BA=AB.

知识点解析：暂无解析

A=["I

14、设.匕°)求与A乘积可交换的所有矩阵.

标准答案：与A乘积可交换的矩阵一定是2阶矩阵.设匕34厂则

aX|+xax+xlax+町x,

AXy24,XA=(

x,*2]Ia4+AAX=XA即:

axi+x3=axi+x2,

ax2+x4=xi,xi=ax3+x4.X2=X3，整理得xi，X2,X3,X4的齐次线性方程组

-。与-x4=0,

I*2-盯=0.解得通解为ci(a,1,1,0)T+C2(b0,0,1)T,ci，C2任

意.则与A乘积可交换的矩阵的一般形式为ciA+caE,ci，C2仟意.

知识点解析：暂无解析

15、⑴设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等.证明和A乘积可交换的

一定是对角矩阵.(2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量

矩阵.

标准答案：(1)设B和A乘积可交换，要证明B是对角矩阵，即要说明B的对鱼线

外的元素bij(irj)都为0.设A的对角线元素为勾，上，…，储则Ab的(i,j)位元素

为九同而BA的(i,j)位元素为入jbij.因为AB二BA,得入何=%如.因为所以

bij=0.(2)先说明「一定是对角矩阵.由于「与对角线上元素两两不相等的n阶对

角矩阵乘积可交换，由(I)的结论得出C是对角矩阵.再说明C的对角线元素

Cll，C22,…，Cnn都相等.构造n阶矩阵A,使得其(i,j)位元素为1,由•CA的

(i,j)位元素为Cii，AC的(i,j)位元素为Cjj.于是Cii=Cjj.这里的i,j是任意的，从

而Cn=C22=...=Cnn.

知识点解析：暂无解析

16、设四，012，…，as是一个n维向量组，P和y也都是II维向量.判断下列命题

的正确性.①如果dy都可用ai，a2，…，as线性表示，则。寸也可用四，

。2，…，as线性表示.②如果。，丫都不可用eq,a2，…，cis线性表示，则仍7也

不可用四，(12，…，as线性表示.③如果P可用ai，(12，…，a5线性表示，而y

不可用ai，(X2，…，恶线性表示,则37可用ai,012，…，%线性表示.不如果

。可用四，。2，…，as线性表示，而丫不可用ai，ct2，…，as线性表示，则。十丫不

可用ai，(12，…，as线性表示.

标准答案：正确的是①和④，②和③都不对.①显然.②不对，可用一个反例

说明.取P不可用ai，a2,…，出线性表示，尸一[3,则y也不可用四，

a2，…，as线性表示，但是37=0,可用ai，a2，…，as线性表示.用反证法说

明③不对④对.如果伊7可朋囚，a2，…，as线性表示，则因为0可用ai，

ct2，…，as线性表示，所以产也可刚a1，。2，…，cts线性表示，与条

件矛盾.

知识点解析：暂无解析

17、设AB二C,证明：⑴如果B是可逆矩阵，则A的列向量和C的列向量组等

价.（2）如果A是可逆矩阵，则B的行向量组和C的行向量组等价.

标准答案：（1）由上面的说明，C的列向量组可以用A的列向量组线性表示.当B

是可逆矩阵时，有CB'=A,于是A的列向量组又可以用C的列向量组线性表

示.（2）C的行向量组可以用B的行向量组线性表示.当A是可逆矩阵时，A-

'C=B,于是B的行向量组又可以用的C的行向量组线性表示.

知识点解析：暂无解析

18、（1）如果矩阵A用初等列变换化为B,则A的列向量组和B的列向量组等

价.（2）如果矩阵A用初等行变换化为B,则A的行向量组和B的行向量组等价.

标准答案：（1）利用初等变换与初等矩阵的关系，当矩阵A用初等列变换化为日

时，存在一系列初等矩阵Pi，P2，…，Ps，使得AP1P2…Ps=B.由于P1P2…Ps是

可逆矩阵，A的列向量组和B的列向量组等价.（2）当矩阵A用初等行变换化为B

时，存在一系列初等矩阵Pi，P2，…，Ps，使得R…P2P1A二B.由于Ps…P2P]是

可逆矩阵，A的行向量组和B的行向量组等价.

知识点解析：暂无解析

19、设ct]=(2,1,2,3)T,a2=(—1,1，5,3)T,(13=(。，—1，—4,一3),，

04=(1»0,—2,-1)T,05=(1,2,9,8)7.求r(ai,012,013,04,015),找出一，个最大无

关组.

标准答案：以a1,a2,a3,O4,a5为列向量作矩阵A,用初等行变换把A化为阶梯形矩

-2-1011111-102■

11-1020-321-3

A=—»

25-4-29000-12

阵:-33-3-18-L00000-于是

r（ai,a2,a3,O4,a5）=3.01102,04是ai,a2,a3,O4,a5的一个最大无关组.

知识点解析：暂无解析

20、设ai,a2,a3,O4都是n维向量.判断下列命题是否成立.①如果ai，az，。3线

性无关,04不能用aim,a3线性表示，则ai,a2,a3,a4线性无关.②如果ai，a2线

性无关，a3,a4都不能用四用线性表示，则aiggg线性无关.③如果存在n阶

矩阵A,使得Aa],Aa2,Aa3,Aa4线性无关，则囚,012,（x3,04线性无关.⑷如果

ai=APi,a2=Ap2»a3=Ap3,O4=A%,其中A可逆，Pi,陆03,04线性无关,则

ai,a2,as,a4线性无关.其中成立的为.

标准答案：①，③，(4).

知识点解析：①直接从定理3.2得到.②明显不对，例如不能用四，a2线性

表示，而。3=«4时，。3，(U都不能用山，CL2线性表示但是山,012,013,04线性相

关.③容易用秩说明：Aai,Aa2,Aa3,Aa4的秩即矩阵(Aai,Aa2,Aa3,Aa4)的秩，f而

(Aai,Aa2,Aa3,Aa4)=A(ai,012,03,04)，由矩阵秩的性质④，

r(Aai,Aa2,Aas,Aa4)<r(a],a2,a3,O4).Aai,Aa2,Aa3,A(i4无关，秩为4,于是

ai,a2,a3,a4的秩也一定为4,线性无关.④也可从秩看出：A可逆时，

r(ai,a2,a3,O4)=r(Aai,Aa2,Aa3,Aa4)=4.

21、设四二(1,—*1,2,4),(12=(0，3,1,2),as=(3,0,7,14),04=(1»一2,

2,0),a5=(2,1,5,10).①求r(a1,(x2,013,04,(x5).②求一个最大线性无关组，

并且把其余向量用它线性表示.

标准答案：①构造矩阵A=(aJ,<X2T,a3T，四工小丁)，并对它作初等行变换：

•10312■10312'■10302-

A=-130-2I行变换,()33-13行变换01101

21725000-10000!0

-4214010-■00000--00000-

记B和C分别是中间的阶梯形矩阵和右边的简单阶梯形矩阵.B有3个非零行，

则r(ai,a2,a3g,。5)=3.②B的台角在1,2,4列,则内幽。是ai,a2,a3g,a5的一

个最大无关组.设C的列向量组为丫1，丫2，丫3，Y4，丫5,则回,。2,。3,04,015和一

Y2，Y3，Y4，丫5有相同线性关系.显然丫3=3y+Y2，丫5=2丫1+丫2，于是013=3(X1+(12,

a5=2ai+a2.

知识点解析：暂无解析

22、设囚区,a3,a4,a5它们的下列部分组中，是最大无关组的有哪几个？(1)四，立，

(X3(2)(X1，。2，04(3)ai，a2，as(4)ai，013，04

标准答案：部分组是最大无关组的条件是个数达到秩，并且线性无关.计算得

r(ai,a2,a3,a4,a5)=3,这4个部分组都包含3个向量，只要线性无关就是最大无关

组.因为ai,012,。3,04,。5和Yl，Y2，Y3，Y4，丫5有相同线性关系，只要看对应的丫1，

Y2,13，74，Y5的部分组的相关性了1,丫2，丫3-和YI,丫2,丫5都是相关的,丫1,丫2’

丫4和M,Y3，丫4都无关.于是(1)和(3)不是最大无关组，(2)和(4)是.

知识点解析；暂无解析

=

23、己知r(ct],a2，...»as)r(ai,ct2»…，P)=k,r(a(,a2>…，a§,0,y)=k+l,

求r(cq,a2，...»a8,0一自).

标准答案：利用定理3.6,只用看0—丫能不能用囚,az，…，as线性表示.由条

件知，卢可用叫他2,…，出线性表示，，/不能用ai,a2，…，as，p线性表示，从而

也就不能用ai,a2，…,as线性表示.于是。一了不能用ai,。2，…，线性表

示.从而r(ai,ct2，…，as,0―丫尸k+1.

知识点解析：暂无解析

abb~

A=bab

24、设L。〃"」已知r(A*)+r(A户3,求a,b应该满足的关系.

标准答案：根据伴随矩阵的秩的性质(见矩阵的秩的性质⑧)，r(A*)+r(A)=3这个条

件说明了r(A)=2.于是可用方法求解

'a2bbb'_a+2bbb

A—♦a+2〃a〃-0a-b0•

La+26Lo0"则a+2b和a—b必须有一个为

0(否则r(A)=3),但是a—b为0则r(A)V2,于是得r(A)=2的条件是a+2b=0且a

一b,0,即a=-2b并且a^b.或者表示为：a=-2b邦.

知识点解析：暂无解析

-1-12■-3a-2*

A=21-3,B=05。1

25、已知--1-25•-00…求r(AB—A).

标准答案：如果先求出AB-A,再求它的秩,计算量比较大.注意到AB一

A=A(B—E),而B—E是可逆矩阵,则根据矩阵秩的性质⑤，r(AB—A)=r(A),

直接计算r(A)就简单多

2'

0-7,

了.L0-37」L00°得r(AB—

A)=r(A)=2.

知识点解析•：暂无解析

ab.3]r6-Ia11

A=202,8二-II0

26、3阶矩阵J2-1-1」01J己知r(AB)小于r(A)和

r(B),求a,b和r(AB).

"ab-a-b«*,+6-6o—3

AH=2b-22a+44

标准答案：求出・3b-53a2」也从r(AB)小于r(A)和

r(B)看出A和B都不可逆,于是r(AB)解得a=l,b=2.

知识点解析：暂无解析

27、设a,0都是3维列向量，A=aaT+ppT.证明⑴r(A)S2.(2)如果a,。线性相

美,则r(A)<2.

标准答案：⑴r(A)5aol')十「(郎丁)，而KaabwKcOm,同理Kppbwl.(2)不妨假设

P=ca,则A=aaT+ca(car)=(l+c2)aar,于是r(A)<r(aar)<l<2.

知识点解析：暂无解析

28设ai=(l,0,2,3)T,a2=(L1,3,5)T,as=(l,—1,a+2,1)T,04=(1•

2,4,a+8)E0=(1,1,b+3,5)二问：(l)a,b为什么数时，0不能用a】,(12,(13,04

表示？(2)a,b为什么数时，。可用€11,(X2,013,04表示，并且表示方式唯一？

标准答案：利用秩来判断较简单(见用定理3.7的①和②).为此计算出

r(ai,(12以3,04)和r(a],a2,(13,04,。)作比较.构造矩阵(四,(/2他3,0410),并用初等行

变换化阶梯形矩阵：

11I1:1]

2」

/\c、o1-1

(%p)=■

23a+2

4■!6+3

-35IA+8；5■

■II11

1

初一行变换01-12；1

00a+10!b'

LOO0a+：0-1(1)当a+l=0,而

b#0时，r(ai,a2,a3,a4)=2,而r(ai,a2,a3,O4)=3,因此P不能用cqgmg线性表

示.(2)当a+1加时(b任意)，r(ai,a2,a3,O4)=r(ai,a2,a3,a4»位=4,0可用四,。2咫,04

表示，并且表示方式唯一.(如果a+l=0,而b=0,则r(a1,(x2,a3,O4)=r(ai,012,(x3,04,

P)=2,因此P能用ai,012,013,04线性表示，但是表示方式不唯一.)

知识点解析：暂无解析

29、给定向量组⑴ai=(L0,2)T,a2=(L1,3)T,013=(1,-1,a+2),和

TT

(n)pi=(l,2,a+3)\p2=(2,1,