考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷10

考研数学二(解答题)高频考点模拟试

卷10

一、解答题(本题共〃题，每题1.0分，共〃分。)

知识点解析：暂无解析

(T(x=a(.t-sin/)

]是由、

2、计算电2="(1一的。(把&兀)与*轴所围成.

35.

标准答案：豆m

知识点解析：暂无解析

3、设f(x),g(x)在⑶b]上二阶可导,f(a)=f(b)=g(a)=0,证明:3^e(a,b),使

p(9g(9+2rc)g'(9+f(9g”(9=o.

标准答案：令F(x)=f(x)g(x),在x=a点展开泰勒公式.F(x)=F(a)+F，(a)(x-a)+2

F”6)(x—a)2(a<^<x).①令x=b,代入①式，则F(b)=F(a)+F，(a)(b-a)+2

F”(9(b—a)。(a<^<b).②因f(a尸f(b尸g(a尸0,则F(a尸F(b)=O,且F'⑻=0，代

入②式，得F"@=0.即Q@g©+2F(9g熊)+熊)g%)=0.

知识点解析：暂无解析

4、设A为正交阵，且IAI二一1,证明人=-1是A的特征值.

标准答案：要证1是A的特征值，需证IA+EI=0.因为IA+EI=I

A+ATAI=I(E+AT)AI=IE+ATI.IAI=-IA+EI,因此IA+EI=0,所以

人一1是A的特征值.

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J4+[—-x

5、求函数f(x)=2(xe(-00,+8))的最小值.

广⑴——

+122Gx1

由广(％)=0即2x八=o得唯一驻点#=1.

标准答案：先求导数并得驻点.行

_____J1

再求V由于f(x)在(一8,十8)

1

内可导，且有唯一的极小值点x=Q,因而必是最小值点，f(x)的最小值为

知识点解析：暂无解析

011•••11

10X•••XX

1JC0•••XX

**••

•*•■••♦•

1XX•••0X

XX•••X0

6、计算行列式D产1,其中n>2o

标准答案：把第1行的(一一X)倍分别加到第2,3>...*n仃，得

011•••11

1-x0•♦•00

—I07•••00

°•••*■O

••••*

100•••-X0

•••

1000-X当"0时，再把第j(j=2,3,n)列

的4倍加到第1歹U，Dn化成了上三角行列式D产

n-1

1

X

0-X0…00

00-X…00

**••■•

■*••••**

000…-X0

000…0-X二(一l)nT(n—1被一2。当x=0时，显然有

Dn=O,所以当n>2时，总有Dn=(—1)15—1)x12。回

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7、计算°(x+y)2敢dy,其中D：IxI+IyI<1.

标准答案：D关于％,y轴均对称，它在第一象限部分记为Di，如图

/=，〔(，+y2)+2町］d。=2，/dxdy+0

DD

=8J%2dzd),=8jdx|x2dy

*°°

=8，0-(1-x)dx=8•--j=y.

8.7.图8.7

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8、设f(t)二阶可导,g(u,v)二阶连续可偏导，月.z=f(2%—y)+g(%,%y),求

a，

a2a，

标准答案：a«r=2P(2%-y)+gl(%,xy)+yg，2(%，ZY)，““方=-2f〃(2%—y)+

xg”12(%，xy)+g2(x»xy)+xyg“22(%，》)•

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T

9、设向量a=[ai，a2....an]»P=[bj,b2»...»bn『都是非零向量，且满足条件

/忏。，记n阶矩阵A=a|f,求：(1)A2；(2)A的爵征值和特征向量；(3)A能否相

似于对角阵，说明理由.

标准答案：(1)由A=apT和(/「=(),有

A2=AA=(apT)(apT)=a(pTa)pT=(pTa)apT=(aTp)apT=O,即A是易零阵S2=0).(2)利

用(l)A2=0的结果.设A的任一特征值为，对应于大的特征向量为。则

A炉状.两边左乘A,得人々=芯自=入2号因A2=0,所以入2yo,印)，故入=0即矩

阵A的全部特征值为0.(3)A不能相似于对角阵，因期0,算0,故A=a[f#),

r(A)=#0(其实r(A)=l,为什么?).从而对应于特征值九=0(n重)的线性无关的特征向

量的个数是n—#n个，故A不能对角化.

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之

10、求微分方程xy'=ylnz的通解.

上力!=21nz2—

标准答案：x/=yh产可写为"xx,令u=z,原方程化为u+/&=

___曲_____曲

ulnu,变量分离得—D工，积分得ln(lnu—l)=脸+lnC,即lnuT=

Cx，或11=。0+1,故原方程的通解为y