沪教版（上海）九年级数学第二十五章锐角的三角比基础测试卷

沪教版（上海）九年级数学第二十五章锐角的三角比基础测试卷

一、单选题

1.下列命题中，真命题的是（）

A.四条边相等的四边形是正方形

B.对角线相等的四边形是矩形

C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形

D.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形

2.计算tan45°+cos60°的值为（）

A.V3+-B.6+2C.-D.—

2222

A

3.在AABC中，NC=90°,若COSB=Y^，贝UsinA的值为（）

2

A.73B.—C.—D.—

322

4.如图，在AABC中，NC=90，AC^Scm,AB的垂直平分线MN交AC于。，连接80,

3

若cosZBDC=g,则BC的长是（）.

B

M

A.IQcmB.4cmC.6cmD.8cm

5.下列语句中，不正确的是（）

A.两个三角形相似，且有一条边相等，则两个三角形全等

B.两个三角形相似，且周长相等，则两个三角形全等

C.两个三角形相似，且面积相等，则两个三角形全等

D.两个三角形相似，且相似比为1,则两个三角形全等

6.如图，AB为。O的直径，C、D为。0上的点，若AC=CD=DB,则cos/CAD=（）

c-1

二、填空题

7.如图，在aABC中，ZC=90°,AC=5cm,NBAC的平分线交BC于D,AD=l^cm,则

3

BC=cm.

8.在RfABC中，ZC=90，AB=3BC.则sin8=，cosB=.

9.RtZiABC中，ZA=90°,BC=4,有一个内角为60。，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且

ZACP=30°,则PB的长为.

10.如图，△ABC中，AB=8,AC=6,BC=5,NABC与/ACB的平分线相交于点O,过O点作

DE//BC,则AAOE的周长为

11.如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m

的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1〃?处的。点离地面的高度£＞后=0.6帆，则C到地面的距离

为m.又量得杆底与坝脚的距离AB=3m,则石坝的坡度为.

D

12.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60。的方向，前进20海里到达B

点，此时，测得海岛C位于北偏东30。的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于海里.

13.如图，A8是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走

20米到达点C,再经过一段坡度（或坡比）为i=l：0.75、坡长为10米的斜坡CO到达点£>,然后

再沿水平方向向右行走40米到达点E（A,B,C,D,E均在同一平面内），在E处处测得建筑物

顶端4的仰角为24°,则建筑物的高度约为一米.（参考数据：sin24°g0.41,cos24°g0.91,

tan24°g0.45）

14.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米.那么斜面A8的坡度

为.

15.如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60。、45°,如果无人机距地面高度

CD为10（）6米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是米.（结果保留

根号）

16.比较大小：tan50°tan48°.

17.在^ABC中，(2sinA-6)2+JcosB—；=0,贝lUABC的形状为

18.如图，在ABC中，NAC8=90°,点。在AB边上，AE)=AC，点E在边上,

NBAE=工NABC,点F为AE上一点,

ZADF=2ZBCD,若DF=2,BD=1，则A。的

2

长为___________

三、解答题

19.如图，0A的方向是北偏东15。，0B的方向是西偏北50度.

(1)若NA0C=/A0B,则0C的方向是；

(2)0D是0B的反向延长线，0D的方向是；

(3)ZB0D可看作是0B绕点0逆时针方向至0D,作/B0D的平分线OE,0E的方向是；

(4)在(1)、(2)、(3)的条件下，ZC0E=.

20.如图，已知是。的直径，弦与交于点E，过点A作。的切线与8长线交于

点F，AC=8，CE:ED=6:5,AE:EB=2:3.求：

(1)AB的长度；

(2)tan/ECB的值.

21.如图，在矩形ABCD中，AE平分NBAD,交BC于E,过E做EFJLAD于F,连接BF交AE于P,

连接PD.

(1)求证：四边形ABEF是正方形；

(2)如果AB=6,AD=8,求tanNADP的值.

22.己知：如图，AB是圆0的直径，C是圆0上一点，C£»_LAB,垂足为点D,F是弧AC的

中点，OF与AC相交于点E,AC=8cm,EF=2cm.(1)求A0的长；(2)求sine的值.

3

23.如图，在AABC中,AB=AC=13,BC=10,。是边AC上一点，且tan/O3C=—.

4

(1)试求sinC的值；

(2)试求ABCD的面积.

24.抛物线y=ax2+3交x轴于A(-4,0)、B两点，交y轴于C.将一把宽度为1.2的直尺如图放

置在直角坐标系中，使直尺边ATY〃BC,直尺边AD，交x轴于E,交AC于F,交抛物线于G,直

尺另一边BC，交x轴于D.当点D与点A重合时，把直尺沿x轴向右平移，当点E与点B重合时，

停止平移，在平移过程中，AFDE的面积为S.

(D请你求出S的最大值及抛物线解析式；

(2)在直尺平移过程中，直尺边BC，上是否存在一点P,使点P、D、E、F构成的四边形这菱形，

若存在，请你求出点P坐标；若不存在，请说明理由；

(3)过G作GHJ_x轴于H

①在直尺平移过程中，请你求出GH+HO的最大值；

②点Q、R分别是HC、HB的中点，请你直接写出在直尺平移过程中，线段QR扫过的图形的面积

和周长.

25.如图，在10x6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,线段A3、线段跖的端点均

在小正方形的项点上.

(1)在图中以A6为边画RfABC,使点。在小正方形的顶点上，且N84c=90°,

tanZACB=—；

3

(2)在(1)的条件下，在图中画以EF为边且面积为3的DEF，使点。在小正方形的顶点上，

且NCBO=45°,连结CO,直接写出线段CD的长.

参考答案

1.D

根据正方形、矩形、菱形和平行四边形的判定判断即可.

解：A、四条边相等的四边形是菱形，原命题是假命题；

8、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题；

C、一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，如筝形，原命题是假命题；

D,一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题；

故选：D.

本题考查命题与定理，解答本题的关键是明确题意，会判断命题的真假.

2.C

将特殊角的三角函数值代入求解.

513

解:tan450+cos600=1+—=—.

22

所以C选项是正确的.

本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.

3.C

根据特殊角的三角函数值求出NB,再求/A,即可求解.

在AABC中，ZC=90°,若cosB=更，则NB=30。

2

故NA=60。，所以sinA=3

2

故选：C

本题考查的是三角函数，掌握特殊角的三角函数值是关键.

4.B

要求出BC的长，可以先求出CD和BD的长，再利用勾股定理求得，可以设CD=xcm,再根据

3

cosZBDC=~,建立关于X的方程即可求出CD和BD的长.

YMN是AB的垂直平分线，

，AD=BD.

设CD=xcm,则AD=BD=(8-x)cm,

CD3

在Rt/iBCD中，cosZBDC=--=-,

BD5

解得x=3,

则8-x=5,

BD=5cm,CD=3cm.

在RSBCD中，BC=_C£)2=4cm.

故选B.

此题考查线段垂直平分线的性质，解题关键在于理由勾股定理进行计算.

5.A

由相似求全等，即在相似的基础上，再得出其对应边相等即可，而题干中只有当面积与周长相等时，

才可得出其对应边相等，而A中叙述并不是对应边，所以叙述错误.

A中相似三角形一边为公共边，但并没有说明是对应边，所以A说法不正确；

B中用反证法，假如不全等，但是相似，则周长不相同.这和题目给出的周长相等矛盾，因此必

全等，故B正确；

由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，如果面积相等，则相似比为1,所以全等，故CD正

确.

故选：A

本题主要考查了相似三角形及全等三角形的性质及判定问题，能够熟练掌握这两类三角形的性质及

区别，在以后的解题过程中能够熟练求解.

6.D

根据圆心角，弧，弦的关系定理可以得出AC=CO=BO=；X180°=60",根据圆心角和圆周角的

关键即可求出NC4D的度数，进而求出它的余弦值.

解：AC=CD=DB

AC=CO=3O=；xl80。=60：

ZCA£)=-x600=30"

2

cosZCAD=cos30=

2

故选D.

本题考查圆心角，弧，弦，圆周角的关系，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

7.5V3

AC5y/3

在RSCAD中，cosNCAD=^=诞="7，可得NCAD=30。，又因AD平分/CAB,所以

3

ZBAC=2ZCAD=60°；在aABC中，NC=90。，即可求得/B=30。，根据30°角直角三角形的性

质可得AB=2AC=10c〃z.在RtAABC中，AC=5cm,AB=10c，〃,根据勾股定理即可求得BC=5V^cm.

点睛：本题考查了解直角三角形、含30度角的直角三角形、勾股定理等知识点的应用，关键是根

据锐角三角函数值求出ZCAD=30°.

82721

33

设BC为x,根据题意用x表示出AB,根据勾股定理求出BC,运用正弦和余弦的定义解答即可.

设BC为x,则AB=3x,

由勾股定理得，AC=y/AB2-BC2=2V2x，

,nB=J4C=2V2

AB3

BC1

cosB=-----=—

AB3

故答案为：2逝'；—

33

本题考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边,

余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.

9.4或或gG

分两种情况考虑：

当/ABC=60。时，如图所示：

,/ZCAB=90°,ZBCA=30°。

又：/PCA=30°,ZPCB=ZPCA+ZACB=60°o

又•.•NABC=60。，.♦.△PCB为等边三角形。

XVBCM,，PB=4。

当NABO30。时，

(i)当P在A的右边时，如图所示:

VZPCA=30°,ZACB=60°,，NPCB二90。。

又NB=30。，BC=4,

cosB=即PB=%

PBcosBcos302223

2

(ii)当P在A的左边时，如图所示：

；/PCA=30。，ZACB=60°,/.ZBCP=30o«

又/B=30。，；.NBCP=NB。；.CP=BP。

在RtAABC中，NB=30。，BC=4,，AC=^BC=2。

根据勾股定理得：AB=VBC2-AC2=V42-22=2V3,

AP=AB-PB=2\/3-PB。

在RSAPC中,根据勾股定理得：AC?+AP2=CP2=BP2,即22+(2V3-PB)2=BP2,

解得：BP=jV3o

综上所述，BP的长为4或或gVL

10.14.

根据角平分线的性质可知：ZDBO=ZOBC,NECO=NOCB,又DE〃BC可得/DOB=/OBC,

ZEOC-ZOCB,从而得出DO=BD,OE=EC,因止匕CAADE=AB+AC,即可得出答案.

由/ABC与NACB的平分线相交于点O,得

ZDBO=ZOBC,ZECO=ZOCB.

由DE〃BC,得

ZDOB=ZOBC,/EOC=NOCB,

AZDOB=ZDBO,ZEOC=ZECO,

・・・DO=BD,OE=EC.

CAADE=AD+DE+AE=AD+BD+AE+CE=AB+AC=14.

故答案为14.

本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质，有效地进行线段的等量代换是解决本题的关

键.

11.33:1

ATyDF

先过C作CFJ_AB于F,根据DE〃CF,可得——=—,进而得出CF,根据勾股定理可得AF

ACCF

的长，根据CF和BF的长可得石坝的坡度.

如图，过C作CFLAB于F,则DE〃CF,

.•.□△ACF中，AF=4AC2-CF-=A/52-32=4-

又：AB=3,

**.BF=4—3=1,

CF3

.•.石坝的坡度为：—=

BF1

综上：C到地面的距离为3帆，石坝的坡度为3L

故答案为：3,3:1.

本题主要考查了坡度问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高线构成直角三角形，从实际问

题中构造直角三角形是解题的关键.

12.10V3

试题分析：BD设为x,因为C位于北偏东30。，所以/BCD=30°

在RTABCD中，BD=x,CD=gx,

又•.,/CAD=30°,在RTAADC中，AB=20,AD=20+x,

又所以"=吧，

•..△ADCSZM2DB,CDBD

即：(kx)2=x(20+x),求出X=1O,故CD=10次.

考点：1、等腰三角形；2、三角函数

13.21.7.

作交的延长线于M,CNLDM于N.首先解直角三角形RtACCN,求出CN,DN,

再根据tan24。=——,构建方程即可解决问题.

EM

作BMX.ED交ED的延长线于M,CNA.于N.

在RtACDN中,

,CN1

设CN=4k,DN=3k,

~DN~QJ5

.CO=10,

.(3%)2+(4%)2=100,

.k=2,

.CN=8,DN=6,

•四边形BMNC是矩形，

.BM=CN=8,BC=MN=20,EM=MN+DN+DE=66,

AM

在RsAEM中,tan24°

~EM

S+AB

A0.45

66

-21.7(米),

故答案是：21.7.

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解

答此题的关键.

根据坡度的概念计算，得到答案.

解：斜面AB的坡度为：寸20=；2,

故答案为：

3

本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度1的比

是解题的关键.

15.100(1+V3)

分析:如图,利用平行线的性质得/A=60。，NB=45。,在RSACD中利用正切定义可计算出AD=1OO,

在RtABCD中利用等腰直角三角形的性质得BD=CD=1OO百，然后计算AD+BD即可.

详解：如图，

•・•无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60。、45°,

.•.ZA=60°,NB=45°,

,cJ..CD

在RtAACD中，.tanA=-----,

AD

._100V3_

••AADn--------------1l0n0n,

tan60°

在RtZkBCD中，BD=CD=1005

AAB=AD+BD=100+100^=100(1+6).

答：A、B两点间的距离为100(1+73)米.

故答案为100(1+73).

点睛：本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到

与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角

形.

16.>

根据正切值随角度的增大而增大，进而得出答案.

解：•••50。>48。，正切值随角度的增大而增大，

.'.tan500>tan48°.

故答案为〉.

本题考查锐角三角函数的增减性，解题关键是熟练记忆锐角三角函数增减性.

17.等边三角形.

先根据非负数的性质及特殊的三角函数值求出/A、NB的度数，再根据三角形的内角和定理求出

/C的度数，最后根据三个内角关系判断出其形状.

解：由题意得，2sinA-、6=0,cosB-----=0,

2

1

，sinA=,cosB=—,

22

则/A=60°,/B=60°,

则NC=180。-ZA-ZB=60°,

故AABC为等边三角形.

故答案为：等边三角形.

本题考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理的综合应用，分析式子的结

构特征找准对应知识点是解答此题的关键.

18.4

过点F作FGLFD交AB于点G,设NBCD=a,NBAE=B,AD=x,根据等对等角可推出2a+

2X+2

2B=90°,从而证出NFGD=/B,然后等角的正弦值相等即可求出DG=---------,从而求出AG,

x

再根据等角对等边可得GF=AG,最后根据勾股定理列出方程即可求出结论.

解：过点F作FGJ_FD交AB于点G

设/BCD=a,NBAE=B,AD=X

则/ADF=2a,NB=2B,AC=AD=X,AB=AD+BD=X+1

ZADC=ZACD=ZACB-ZBCD=90°-a

VZADC=ZBCD+ZB

.-.90°-a=a+2B

整理可得：2a+26=90°

在RtZ\DFG中，ZFGD=90°-ZFDG=90°-2a=20

即/FGD=NB

ACXDF2

VsinZB=

AB~x+1GDx-AG

x2

•・.

x+1DG

w2x+2

解得：DG=---------

x

2x+2x2—2x—2

・・・AG=AD-DG=尤一一--二---------

xX

VZFGD=2P,ZBAE=P

・•・ZGFA=ZFGD-ZBAE=B=ZBAE

・・・GF=AG

在RtaDFG中，GI^+DF^DG2

即AG2+4=(x-AG)2

整理，得x2—2x-AG=4

,X2—2x—2

.'.x2-2x•--=4

x

整理，得x?—4x=0

解得：xi=4,X2=0(不符合实际，舍去)

即AD=4

故答案为:4.

此题考查的是等腰三角形的判定及性质、锐角三角函数的性质和勾股定理，掌握等边对等角、等角

对等边、等角的锐角三角函数相等和勾股定理是解决此题的关键.

19.(1)北偏东70。；(2)南偏东40。；(3)南偏西50。；(4)160°.

试题分析：根据方位角的概念，即可求解.

解：(1)ZAOC=ZAOB=90°-50°+15o=55°,OC的方向是北偏东15。+55。=70。；

(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是南偏东40。；

(3)OE是NBOD的平分线，ZBOE=90°；OE的方向是南偏西50。；

考点：方向角.

20.(1)10;(2)2.

(1)设CE=6hED=5k,AE=2a,BE=3a,过点O｛乍OHJ_CO垂足为H,则

HEAE2〃2

CH=HD,由OHEs得到==——即E/=旦，由CE®=AE求出k、a

OEEF

关系，得砂=103,得到4D=E£>=£>9=5Z,得DEA、BCE都是等腰三角形，在RsABC

中利用勾股定理即可解决问题.

(2)根据tan/ECB=tan/A£F,求出AF、AE即可.

解：⑴设C£=63ED=5k,AE=2a,BE=3a,

过点。作。”LCD垂足为，，则C〃="。，

**.EH=Q.5k,OE—0.5a,

；AE是切线，

AZFAE=90=ZOHE,

■:ZOEH=ZFEA,

：.OHEsFAE,

.HEAE0.5A:2a

..---=——即nn-----=——,

OEEF0.5aEF

■:CEED=BEAE,

6k-5k=3a-2a,

•*.a2=5左2,

：.砂=103

，点。是£尸中点，

AD=ED=DF=5k,

：.DEA、BCE都是等腰三角形,

BC=BE—3cl,

A3是直径，

/.ZACB=90,

，BC2+AC2=AB2，

：.(3«)2+82=(5a)2,

I.。=2,

/.AB^5a=10.(2)a=2,

.,275

••K------,

5

,/AF2=DFFC=80A2=64,

:.AE=8,

ApQ

tanZECB=tanZAEF=——=-=2.

AE4

本题考查的是圆的综合运用，熟练掌握相似三角形的性质和圆的性质是解题的关键.

3

21.(1)证明见解析(2)j

试题分析：(1)由矩形的性质得出/FAB=/ABE=90。，AF〃BE,证出四边形ABEF是矩形，再

证明AB=BE,即可得出四边形ABEF是正方形；

(2)由正方形的性质得出BP=PF,BA±AD,ZPAF=45°,得出AB〃PH,求出DH=AD-AH=5,

在RtaPHD中，由三角函数即可得出结果.

试题解析：

(1)证明：：四边形ABCD是矩形，

.*.ZFAB=ZABE=90o,AF〃BE,

VEF±AD,

/FAB=/ABE=/AFE=90°,

四边形ABEF是矩形，

•；AE平分NBAD,AFZ/BE,

，ZFAE=ZBAE=ZAEB,

；.AB=BE,

四边形ABEF是正方形；

(2)解：过点P作PHLAD于H,如图所示:

H

・・•四边形ABEF是正方形,

ABP=PF,BA±AD,ZPAF=45°,

・・・AB〃PH,

VAB=6,

・・・AH=PH=3,

VAD=8,

ADH=AD-AH=8-3=5,

在RtZXPHD中，ZPHD=90°.

PH3

・・tanNADP=-----=-.

HD5

22.（1）AO=5cm；（2）sinZACD=|.

解：（1）是弧AC的中点，.•.弧AF=MCF,又OF是半径，（1分）

AOF±AC,AE=CE,（2分）

"."AC=8cm,/.AE=4cm,（3分）

在RtAAEO中，AE2+EO2=AO2,

又•；EF=2cm,：.42+（AO-2）2=AO2,解得AO=5,A0=5cm.（4分）

（2）VOE±AC,.,.ZA+ZAOE=90°,（5分）

VCD1AB,.\ZA+ZC=90°,

.,.ZAOE=ZC,AsinC=sin^AOE,（6分）

sinZ-AOE=—=...sinC=±（7分）

AO55

I?200

23.（1）sinZ-C——；（2）A6CZ）的面积=---.

137

（1）作等腰三角形底边上的高AH与BD交点为E,并根据勾股定理求出AH,即可求得的

值；

123

（2）过点D作DF_LBC,垂足为点E利用=—，tanZDBC=—,设DF=x,分别表示

134

出BF和FC求得DF即可求得面积.

（1）如图，过点月作A”_L3C,垂足为点，，交BD于点E.

AB=AC=13,BC=10,

.-.BH=CH=5,

在用AAB"中，AH=JAC2-CH2=12,

二在心AE6”中，sinZC———.

AC13

(2)过点。作。垂足为点尸，

设。F=x,

DF1213

二在RrADFC中,则。C='x,

PC-B12

/.CF=ylCD2-DF2=J(-x)2-x2=—x,

y1212

DF34

在用AD3/中，——=一，则BE=-x,

BF43

54

：.BF+FC=BC,即一x+—x=10,

123

40

解得％=万.

.•.ABCD的面积=,x8Cx。尸=,xl0x”=迎.

2277

本题主要考查了解直角三角形，利用三角函数的意义，勾股定理以及三角形的面积来解决问题.

24.(1)y=：x2+3,(2)(=，与，(3)y/7-l，2V7+3.

1655322

试题分析：(1)由y=ax?+3得至ljC(0,3),列方程求得DE=2,作FMJ_DE于M,得到gDE・FMg得

到FM=：,由抛物线丫=2*?+3关于y轴对称得：AC=BC,所以NCBA=NCAB,由EF〃BC,得出

NFED=NCBA,ZFED=ZFAE,推出FA=FE,由于FM1.DE,得至ljAM=ME=l,根据三角形相似

列比例式即可求出结果.

(2)当D与A重合时，FD=FE,过E作EPi〃FA交BC于Pi,则四边形PiDFE为菱形，此时F

(-3,三)，由于F与Pi关于x轴对称，得至UP1(-3,②如图(2)若FE=ED=2时，过F作FP?〃ED

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交BC于P2,则四边形P2DEF为菱形，反向延长FP2交y轴于W,过F作FNLx轴于N,由于FE〃BC,

AZFEN=ZCBO,求出sinNFEN=sinNCBO=',在RsENF中，sinZFEN=—,BPFN=-,解出直

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线AC的解析式为y=：x+3,即可求得P点的坐标；

(3))①设G(x,-^x+3),由勾股定理即可求出结果，②在平移的过程中，QR始终平行且等于BC

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的一半，所以QR扫过的图形为平行四边形，如图3四边形Q1RR2Q2为平行四边形，通过三角形

相似，列