高中数学教案基本立体图形

基本立体图形

【第1课时】

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

教学重难点教学目标核心素养

理解棱柱的定义，知道棱柱的

棱柱的结构特征直观想象

结构特征，并能识别

理解棱锥、棱台的定义，知道

棱锥、棱台的结构

棱锥、棱台的结构特征，并能直观想象

特征

识别

应用几何体的平面能将棱柱、棱锥、棱台的表面

直观想象

展开图展开成平面图形

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1.空间几何体的定义是什么？

2.空间几何体分为哪几类？

3.常见的多面体有哪些？

4.棱柱、棱锥、棱台有哪些结构特征？

二、新知探究

探究点血___________________________

棱柱的结构特征

例1：下列关于棱柱的说法：

①所有的面都是平行四边形；

②每一个面都不会是二角形：

③两底面平行，并且各侧棱也平行；

④被平面截成的两部分可以都是棱柱.

其中正确说法的序号是__________.

【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形;

②错误，棱柱的底面可以是三角形；

③正确，由棱柱的定义易知；

④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号

是③④.

【答案】③④

［规律方法］

棱柱结构特征的辨析技巧

(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义.

①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四

边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.

(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，

给予排除.

探究点四〕

棱锥、棱台的结构特征

例2：下列关于棱锥、棱台的说法：

①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台;

②棱台的侧面一定不会是平行四边形；

③棱锥的侧面只能是三角形；

④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；

⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.

其中正确说法的序号是

【解析】①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底

而和截面之间的部分不是棱台.

②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形.

③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形.

④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.

⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.

所以正确说法的序号为②③④.

【答案】②③④

［规律方法］

判断棱锥、棱台形状的两种方法

（1）举反例法

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法

不正确.

（2）直接法

棱锥棱台

只有一个面是多边形，此面即两个互相平行的面，即为

定底面

为底面底面

看侧棱相交于一点延长后相交于一点

探究点❸〕

空间几何体的平面展开图

例3：⑴水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、

上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开

图（图中数字写在正方体的外表面上），若图中的“2”在正方体

快

的上面，则这个正方体的下面是（）

A.19乐

C.快D.乐

（2）如图是三个几何体的侧面展开图,请问各是什么几何体?

①

【解】（1）选B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”

与“乐”相对,“2”与“9”相对，与”与“快”相对，所以下面

是是”.

（2）题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱

柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符

合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相

似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示:

①②③

所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台.

［求解策略］

多面体展开图问题的解题策略

（1）绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发

挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶

点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面

展开图.

（2）由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪

一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不

一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图.

【课堂总结】

1.空间几何体的定义及分类

（1）定义：如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素，那么由这

些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.

（2）分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类.

2.空间几何体

类别定义图示

E

由若十个平面多边形围成的几何体叫

做多面体.围成多面体的各个多边形

多面体叫做多面体的面；两个面的公共边叫

\\/\

做多面体的棱：棱与棱的公共点叫激\顶点

多面体的顶点

轴-8，

一条平面曲线（包括直线）绕它所在

平面内的这条定直线旋转所形成的曲

\H

旋转体面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的

1•…㈤

几何体叫做旋转体.这条定直线叫做

旋转体的轴

3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征

结构特征及分类图形及记法

（1）有两个面（底面）互

E'D'

相平行忆却

结构

（2）其余各面都是pq边形侧面一：：〉底面

特征侧棱/屁.D：/

棱柱（3）相邻两个四边形的公项点

共边都互相平行记作棱柱

按底面多边形的边数分为ABCDEF-ABCDEF

分类

三棱柱、四棱柱…

续表

X结构特征及分类图形及记法

N顶点

（1）有一个面（底面）是多边力：

结构特彪

棱征（2）其余各面（侧面）都是有/'面

锥一个公共顶点的三角形

记作

按底面多边形的边数分为三棱

分类棱锥S-ABCD

锥、四棱锥……

（1）上下底面互相平行，且是

相似图形

结构特（2）各侧棱延长线相交于一点A仪器炉《'上底面

侧面”将侧校

征（或用一个平行于棱锥底面的平

棱

面去截棱锥，底面与截面之间那A\8

台顶点

部分多面体叫做棱台）记作

由三棱锥、四棱锥、五棱锥……棱台ABCD-AECD

分类截得的棱台分别为三棱台、四棱

台、五棱台……

［名师点拨］

（1）棱柱、棱锥、棱台的关系

在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以

三棱柱、三棱锥、三棱台为例）.

上底面变小上底面缩小为一个点

上底面扩大到顶点拓展为与下底

与下底面全等面平行，相似但不

仝等的面

（2）各种棱柱之间的关系

①棱柱的分类

rf正棱柱（底面为正多边形）

直棱柱〈

棱柱j旦恢叫一般的直棱柱

、斜棱柱

②常见的几种四棱柱之间的转化关系

底面是平行四边形j.行六面阑侧棱垂11r底面

卷II他段垂0于底一面画fj底面是平行四边形I达酬^

【课堂检测】

1.下面的几何体中是棱柱的有（）O

①②③

O0®®

④⑤⑥⑦

A.3个

B.4个

C.5个

D.6个

解析：选C.棱柱有三个特征：（1）有两个面相互平行.（2）其余各面是四边

形.（3）侧棱相互平行.本题所给儿何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②

③④⑤符合，故选C.

A.①@

B.③④

C.@@④

D.

解析:选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱推，

④是棱锥.故选C.

3.有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体

为（）

A.四棱柱

B.四棱锥

C.三棱柱

D.三棱锥

解析：选D.根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥.

4.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm,则每条侧棱长为

cm.

解析：因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧

棱长为吊=12（cm）.

答案：12

5.画一个三棱台，再把它分成：

（1）一个三棱柱和另一个多面体.

（2）三个三棱锥，并用字母表示.

解：画三棱台一定要利用三棱锥.

------C

①②

（1）如图①所示，三棱柱是棱柱ABC-A—C",另一个多面体是B'CC'B'BC.

（2）如图②所示,三个三棱锥分别是H-A5C,B'-A'BC,C'-A'B'C.

第2课时

圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征

教学重难点教学目标核心素养

理解圆柱、圆锥、圆台、

圆柱、圆锥、圆台、球的定义，知道这四种

直观想象

球的概念几何体的结构特征，能够

识别和区分这些几何体

简单组合体的结构特了解简单组合体的概念和

直观想象

征基本形式

会根据旋转体的几何体特直观想象、数学运

旋转体中的计算问题

征进行相关运算算

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1.常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？

2.这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？

3.这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？

二、新知探究

探究点n1

圆柱、圆锥、圆台、球的概念

例1：（1）给出下列说法：

①圆柱的底面是圆面；

②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；

③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交;

④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.

其中说法正确的是.

（2）给出以下说法：

①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；

②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；

③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；

④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形.

其中正确说法的序号是

【解析】（1）①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任

意两条母线的截面是一个矩形而；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不

正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.

（2）根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心：③不

正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确.

【答案】（1）①②（2）①④

［规律方法］

（1）判断简单旋转体结构特征的方法

①明确由哪个平面图形旋转而成；

②明确旋转轴是哪条直线.

（2）简单旋转体的轴截面及其应用

①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征

的关键量；

②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思

简单组合体的结构特征

例2：如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的（）

【解析】该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.

【答案】A

［变条件、变问法］若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的

几何体的结构特征.

解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台;

③是矩形，旋转后形成圆柱,所以旋转后形成的几何体如图所示.通过观察可知，

该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的.

［求解策略］

不规则平面图形旋转形成几何体的

结构特征的分析策略

（1）分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角

形或圆（半圆或四分之一圆）等基本图形.

（2）定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析.

探究点醐

旋转体中的计算问题

例3：如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆

锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1:16,截去的圆锥的母线长

是3cm,求圆台。，0的母线长.

【解】设圆台的母线长为/cm,

由截得的圆台上、下底面面积之比为1：16,可设

截得的圆台的上、下底面的半径分别为，-cm,4rcm.过轴s

s。作截面，如图所示，、第“

则aS。'4s△SQA,SA=3cm./\

所以肄翳所端t\

解得/=9,即圆台00的母线长为9cm.

［规律方法］

解决旋转体中计算问题的方法

用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底

面全等或相似），同时结合旋转体中的轴截面（经过旋转轴的截面）的几何性质，

利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程（组）而解得.

［注意］在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变

化.由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化.

【课堂总结】

I.圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征

（1）圆柱的结构特征

以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所

定义

围成的旋转体

轴：旋转轴叫做圆柱的轴

-轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

*厂Cr底面

图示及相侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面

：一一侧面

关概念一母线母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的

号4面

边

柱体：圆柱和棱柱统称为柱体

(2)圆锥的结构特征

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转

定义

一周形成的面所围成的旋转体

轴：旋转轴叫做圆锥的轴

他面■n轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面

图示及相关母线公侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面

概念母线：无论旋转到什么位置.，不垂直于轴

底面人+’

的边

锥体：圆锥和棱锥统称为锥体

(3)圆台的结构特征

定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分

轴：圆锥的轴

喷

底面：圆锥的底面和截面

图示及相■侧面4：\

侧面：圆锥的侧面在底面和截面之间的部分

关概念

母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分

底面

台体：圆台和棱台统称为台体

(4)球的结构特征

以半圆的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球

定义

面，球面所围成的旋转体叫做球休，简称球

球心上半在球心：半圆的圆心

图示及相%

半径：半圆的半径

关概念

直径：半圆的直径

［名师点拨］

(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面.

(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径一有如下关系：厂=

•\/R2一握

2.简单组合体

（1）概念

由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.

（2）两种构成形式

①由简单几何体拦接而成；

②由简单几何体截去或挖去一部分而成.

【课堂检测】

1.如图所示的图形中有（）

圆柱、圆锥、圆台和球圆柱、球和圆锥

C.球、圆柱和圆台棱柱、棱锥、圆锥和球

解析：选B.根据题中图形可知，（1）是球，（2）是圆柱，（3）是圆锥，14）

不是圆台，故应选R.

2.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个儿何体不可能

是（）

B.圆柱

C.球D.棱柱

答案：D

3.下列说法中正确的是.

①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；

②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；

③通过圆台侧面上一点，有无数条母线.

解析：①错误，连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平

行，所以①不正确.③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线.

答案：②

4.一个圆锥的母线长为20cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高h为

cm.

解析：4=20cos30°=(cm).

答案：1即

5.如图所示，将等腰梯形4BCQ绕其底边所在直线旋转一周，可得到怎样

的空间几何体？该几何体有什么特点？

AD

/\

BC

解：若将等腰梯形A8C。绕其下底3C所在的直线旋转一周，所得几何体可

以看作是以为母线，8C所在的直线为轴的圆柱和两个分别以48,CD为母

线的圆锥组成的几何体，如图（1）所示.

若将等腰梯形ABCD绕其上底AD所在的直线旋转一周，所得几何体可以看

作是以8C为母线，AO所在的直线为轴的圆柱中两底分别挖去以AB,CD为母

线的两个圆锥得到的几何体，如图（2）所示.

⑴(2)

高考数学：试卷答题攻略

一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六

后”的战术原则。1.先易后难。2.先熟后生。3.先同后异。

先做同科同类型