新五年级下册最小公倍数和最大公因数过关练习

新五年级下册最小公倍数和最大公因数过关练习同学们，进入五年级下册，我们学习了“因数与倍数”这一重要单元，其中“最大公因数”（GCF）和“最小公倍数”（LCM）是两个核心概念，它们不仅是本学期的重点，也是后续学习分数运算的重要基础。为了帮助大家更好地掌握这部分知识，我们特别设计了这份过关练习。希望通过练习，大家能熟练运用所学方法，准确、快速地解决相关问题。一、核心概念与方法回顾在开始练习之前，让我们简要回顾一下相关的核心概念和方法：1.最大公因数（GCF）：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做它们的最大公因数。*求法：*列举法：分别列出各数的因数，找出公有的因数，再确定最大的一个。*短除法：用这几个数的公因数连续去除，一直除到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。2.最小公倍数（LCM）：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做它们的最小公倍数。*求法：*列举法：分别列出各数的倍数，找出公有的倍数，再确定最小的一个。*短除法：用这几个数的公因数连续去除，一直除到所得的商两两互质为止，然后把所有的除数和最后的商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。*特殊关系：*如果两个数是互质数（公因数只有1），那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。*如果较大数是较小数的倍数，那么较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数。二、过关练习第一关：基础巩固（直接写出下列各组数的最大公因数和最小公倍数）1.12和18*最大公因数：（）*最小公倍数：（）2.9和15*最大公因数：（）*最小公倍数：（）3.7和21*最大公因数：（）*最小公倍数：（）4.8和9*最大公因数：（）*最小公倍数：（）5.16和24*最大公因数：（）*最小公倍数：（）第二关：变式与应用（用心思考，解决问题）6.一张长方形的纸，长是30厘米，宽是24厘米。如果要把这张纸裁成若干个大小相同的正方形，且没有剩余，裁成的正方形的边长最大是多少厘米？一共可以裁成多少个这样的正方形？7.五（1）班的同学参加植树活动，每6人一组或每8人一组都正好分完。五（1）班参加植树的同学至少有多少人？8.有两根彩带，一根长48分米，另一根长36分米。现在要把它们剪成同样长的小段，且没有剩余，每段彩带最长是多少分米？一共可以剪成多少段？9.汽车站内每隔相同时间发一辆公交车和一辆中巴车。早上6:00同时发了第一辆公交车和第一辆中巴车，那么下一次同时发车是什么时间？（假设公交车每8分钟发一辆，中巴车每12分钟发一辆）10.判断对错，并说明理由。*两个数的最大公因数一定比这两个数都小。（）*两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。（）第三关：拓展提升（挑战自我，能力升级）11.已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是36，其中一个数是12，另一个数是多少？12.把长12厘米、宽8厘米、高6厘米的长方体木块锯成棱长尽可能大的小正方体，且没有剩余，能锯成多少个？小正方体的棱长是多少厘米？13.某学校组织学生参加社会实践活动，若每队安排12人，则多10人；若每队安排15人，则有一队少8人。参加社会实践活动的学生至少有多少人？三、参考答案与简析第一关：基础巩固1.最大公因数：6；最小公倍数：36。（提示：用短除法，除数为2和3，商为2和3。GCF=2×3=6，LCM=2×3×2×3=36）2.最大公因数：3；最小公倍数：45。3.最大公因数：7；最小公倍数：21。（提示：21是7的倍数）4.最大公因数：1；最小公倍数：72。（提示：8和9互质）5.最大公因数：8；最小公倍数：48。第二关：变式与应用6.裁成的正方形边长最大是6厘米，一共可以裁成(30÷6)×(24÷6)=5×4=20个。（简析：求30和24的最大公因数）7.至少有24人。（简析：求6和8的最小公倍数）8.每段彩带最长是12分米，一共可以剪成(48÷12)+(36÷12)=4+3=7段。（简析：求48和36的最大公因数）9.下一次同时发车是6:24。（简析：求8和12的最小公倍数是24，6:00+24分钟=6:24）10.×（例如：4和2的最大公因数是2，等于其中较小的数）；×（例如：4和2的最小公倍数是4，等于其中较大的数）。第三关：拓展提升11.另一个数是18。（简析：因为两个数的积等于它们的最大公因数与最小公倍数的积。设另一个数为x，则12x=6×36，x=(6×36)÷12=18）12.能锯成(12÷2)×(8÷2)×(6÷2)=6×4×3=72个，小正方体的棱长是2厘米。（简析：求12、8、6的最大公因数）13.参加社会实践活动的学生至少有58人。（简析：每队12人多10人，也可理解为每队12人少2人；每队15人少8人。即总人数加2是12的倍数，总人数加8是15的倍数，也可转化为总人数加2是12的倍数，总人数加2也是15的倍数（因为8-2=6，15-6=9？不，换个思路：总人数+2能被12整除，总人数+8能被15整除，即总人数+2=12a，总人数=12a-2；12a-2+8=12a+6=15b→12a+6是15的倍数，12a+6=3(4a+2)，15b=3×5b，所以4a+2是5的倍数，4a+2=5k，4a=5k-2，a最小为4时，4×4=16=5×3+1→不对。a=4：12×4-2=46，46+8=54，54÷15=3.6不行；a=5：12×5-2=58，58+8=66，66÷15=4.4不行；a=6：12×6-2=70，70+8=78，78÷15=5.2不行；a=7：12×7-2=82，82+8=90，90÷15=6，可以。所以至少82人？或者换种方法，求12和15的最小公倍数60，60-2=58，58+8=66，66不是15的倍数；60×2=120，120-2=118，118+8=126，126/15=8.4；60×3=180-2=178+8=186/15=12.4；看来之前思路有误。正确思路：每队12人多10人，即缺2人；每队15人少8人，即缺8人。原题可理解为，总人数加上2能被12整除，总人数加上8能被15整除。设总人数为N，则N+2=12m，N+8=15n→12m+6=15n→4m+2=5n→4m=5n-2。尝试n=2，5×2-2=8，8/4=2，m=2。则N=12×2-2=22，22+8=30=15×2，符合条件。哦！原来如此，22人。看来刚才计算错误。所以至少22人？检验：22人，每队12人，2队24人，多10人？22-2×12=-2，即少2人，也就是多10人（12-2=10）。每队15人，1队15人，少8人（15-7=8，22-15=7）。是的，22人是正确的。看来这个题需要更细致的分析。）四、总结与温馨提示最大公因数和最小公倍数的应用非常广泛，解决问题时，关键在