微专题二 方程与不等式（初中数学九年级中考二轮复习）

微专题二方程与不等式（初中数学九年级中考二轮复习）

一、课程背景与教学目标

（一）教学内容分析

本微专题“方程与不等式”是初中数学的核心内容，是刻画现实世界数量关系的重要模型，贯穿于数与代数领域的始终。在中考数学中，本专题旨在考查学生对方程与不等式基本概念的理解、解法的掌握以及在实际问题中的综合应用能力。它不仅涵盖了从一元一次方程到二元一次方程组、分式方程、一元二次方程以及一元一次不等式（组）的知识体系，更强调知识间的内在联系与转化思想，是连接初等数学与函数、几何等后续知识的桥梁。在河南中考中，本专题通常以基础题、中档题和综合题的形式出现，分值占比较高，是决定考生数学成绩的关键板块之一。

（二）核心素养指向

本微专题的教学与设计，旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养。通过对具体问题的分析，学生能够抽象出方程或不等式的数学模型；在求解过程中，遵循严格的逻辑步骤，进行准确的数学运算；通过解决实际问题，体验数学建模的过程，感悟数学与现实世界的联系。同时，通过解方程（组）与不等式（组）的类比学习，培养学生的类比迁移能力和辩证唯物主义思想。

（三）复习目标设定

1.知识技能目标【基础】

1.2.熟练掌握一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程及一元一次不等式（组）的解法。

2.3.理解方程（组）的解、不等式（组）的解集等基本概念。

3.4.能够根据具体问题中的数量关系，列出相应的方程或不等式。

5.过程方法目标【重要】

1.6.体会消元、降次、化归等数学思想方法在解方程（组）中的应用。

2.7.通过对比方程与不等式的解法与性质，加深对两者异同点的理解。

3.8.经历从实际问题中抽象出数学模型，并求解、验证的过程，提升分析问题和解决问题的能力。

9.情感态度价值观目标

1.10.在解决挑战性问题的过程中，培养学生严谨求实的科学态度和勇于探索的钻研精神。

2.11.通过小组合作探究，增强学生的合作意识和交流能力。

12.应试能力目标【高频考点】

1.13.针对河南中考命题特点，精准把握本专题的常考题型、易错点和解题技巧。

2.14.能够快速、准确地解答基础题，并具备解决综合性应用题和应用题的能力。

二、教学重难点与关键

（一）教学重点【非常重要】

1.各类方程（组）与不等式（组）的解法。这构成了本专题的基础，必须确保学生熟练掌握，形成自动化技能。

2.根据实际问题中的等量关系或不等关系，构建数学模型。这是将实际问题转化为数学问题的关键一步，也是考查学生应用能力的重要载体。

（二）教学难点【难点】

1.分式方程的增根问题。学生在去分母的过程中容易忽略对根的检验，导致最终答案出错，需要深刻理解增根产生的原因及检验的必要性。

2.含参数的不等式（组）的解集讨论。涉及字母系数时，不等式方向是否改变、解集范围的确定，对学生思维的严密性提出了较高要求。

3.方程与不等式在函数背景下的综合应用。将方程、不等式与函数图像结合起来，考查数形结合思想，题目往往较为灵活，综合性较强。

（三）教学关键点

1.强化化归思想：将复杂方程（组）转化为简单方程，如将二元一次方程组通过消元转化为一元一次方程，将一元二次方程通过降次转化为一元一次方程。

2.突出类比学习：对比一元一次方程与一元一次不等式的解法，特别是系数化为1时的区别（不等式要改变方向）。

3.注重错因分析：针对学生在解题过程中常犯的错误，如去分母漏乘、移项不变号、不等式方向判断错误、分式方程不检验等，进行集中辨析和针对性训练。

三、教学准备与课时安排

（一）教学准备

1.教师准备：精心设计导学案，涵盖知识梳理、典型例题、变式训练和达标检测；制作多媒体课件（PPT），动态演示解题过程和数形结合思想；收集整理近三年河南中考及各地市模拟题中与本专题相关的题目，进行归类分析。

2.学生准备：完成导学案中的“知识梳理”部分，回顾并整理各类方程（组）与不等式（组）的基本解法；准备红笔，用于标注易错点和补充笔记。

（二）课时安排

本微专题计划安排2课时。

1.第一课时：基础知识梳理与核心解法巩固（方程与不等式的解法、基本应用）。

2.第二课时：综合应用与能力提升（方程与不等式的实际应用、含参问题、与函数的综合）。

四、教学实施过程（核心环节）

第一课时：固本强基——方程与不等式的解法

（一）情境导入，唤醒记忆【约5分钟】

1.活动设计：多媒体展示一个经典的“鸡兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”请学生用尽可能多的方法求解。

2.学生活动：学生可能想到算术法、一元一次方程法、二元一次方程组法。请两名学生代表板演列方程（组）求解的过程。

3.教师引导：肯定学生的多种思路，并指出，无论是设一个未知数还是两个，我们都用到了“方程”这个强大的工具来刻画题目中的等量关系。由此引出本节课的主题——方程与不等式。引导学生思考，除了方程，现实世界中还存在大量的不等关系，它们需要用“不等式”来描述。

（二）知识梳理，构建网络【约10分钟】

1.活动设计：教师引导学生，以小组为单位，结合课前预习的导学案，快速回顾并梳理各类方程（组）与不等式（组）的核心概念与解法。

2.内容呈现（教师总结性讲解，配合板书）【基础】：

1.3.方程：

1.2.4.定义：含有未知数的等式。

2.3.5.一元一次方程：形式为ax+b=0(a≠0)。解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。【注意】去分母时，不含分母的项也要乘；移项要变号。

3.4.6.二元一次方程组：形式为...解法思想：【非常重要】消元。方法：代入消元法、加减消元法。

4.5.7.分式方程：分母中含有未知数的方程。解法思想：【非常重要】化归，通过去分母转化为整式方程。【难点】【高频考点】必须检验！检验整式方程的根是否使最简公分母为0，若为0，则是增根，应舍去。

5.6.8.一元二次方程：形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。解法思想：降次。【高频考点】根的判别式Δ=b²-4ac：Δ>0方程有两个不相等的实数根；Δ=0方程有两个相等的实数根；Δ<0方程无实数根。【重要】根与系数关系（韦达定理）：若x₁,x₂是方程的两个根，则x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a。

7.9.不等式：

1.8.10.定义：用不等号（＞,＜,≥,≤,≠）连接而成的式子。

2.9.11.不等式的基本性质【非常重要】：

1.3.10.12.性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

2.4.11.13.性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3.5.12.14.性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变！这是解不等式时最容易出错的地方。

6.13.15.一元一次不等式：解法步骤与一元一次方程类似，但必须牢记性质3。

7.14.16.一元一次不等式组：解法思想：数形结合。先分别求出每个不等式的解集，再借助数轴找出它们的公共部分，即为不等式组的解集。

（三）典例精析，规范步骤【约15分钟】

1.例题1（解方程）【基础】：解方程(x+1)/2-1=(2-3x)/3

1.2.学生活动：学生在练习本上完成，两名学生板演。

2.3.教师点评：重点检查去分母步骤是否漏乘（“-1”是否乘以6），去括号、移项是否变号。强调书写格式的规范，每一步都要有理有据。

4.例题2（解方程组）【基础】：解方程组{3x+2y=14,x-y=3}

1.5.学生活动：学生在练习本上用两种方法（代入法和加减法）求解，体会两种方法的异同和适用场景。

2.6.教师点评：引导学生选择更简便的方法（此题用加减法或代入法均可）。强调解二元一次方程组的核心是“消元”，消去一个未知数后，问题就转化为解一元一次方程。

7.例题3（解分式方程）【高频考点】【难点】：解方程2/(x-1)=3/(x+1)

1.8.学生活动：学生尝试求解。

2.9.教师点评与追问：

1.3.10.过程：方程两边同乘最简公分母(x-1)(x+1)，得到2(x+1)=3(x-1)，解得x=5。

2.4.11.关键追问：x=5是原方程的解吗？为什么？

3.5.12.辨析：引导学生将x=5代入最简公分母(x-1)(x+1)，发现其值不为0，所以x=5是原方程的解。

4.6.13.深化：若解出的根使最简公分母为0，如解方程1/(x-2)=3/(x-2)-2，学生可能会得到x=2。此时追问：x=2是解吗？代入原方程，分母为0无意义，所以是增根，应舍去，原方程无解。【重要】总结：解分式方程必须检验！检验是必不可少的一步。

14.例题4（解一元二次方程）【高频考点】：解方程2x²-4x-1=0

1.15.学生活动：学生尝试用不同方法求解。

2.16.教师点评：

1.3.17.方法一（公式法）：直接利用求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a。先计算判别式Δ=(-4)²-4×2×(-1)=16+8=24>0，说明方程有两个不相等的实数根，再代入公式求解。

2.4.18.方法二（配方法）：x²-2x-1/2=0，x²-2x=1/2，(x-1)²=3/2，开方求解。

3.5.19.方法指导：引导学生根据方程特点灵活选择解法。当方程一边为0，另一边易于分解因式时，首选因式分解法；当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，配方法比较简便；其他情况一般用公式法。

20.例题5（解不等式组）【高频考点】：解不等式组{2x+1>-1,(2x-1)/3≤x-1}，并把解集在数轴上表示出来。

1.21.学生活动：学生独立完成，一名学生板演。

2.22.教师点评：

1.3.23.步骤：解不等式①得x>-1；解不等式②得2x-1≤3x-3，移项得-x≤-2，系数化为1时，注意两边同除以-1，不等号方向要改变，得x≥2。

2.4.24.关键：在数轴上表示解集时，明确实心点（表示“≥”或“≤”）和空心点（表示“＞”或“＜”）的区别。

3.5.25.找公共部分：借助数轴，可以看出不等式组的解集为x≥2。

4.6.26.【易错警示】：很多学生在解不等式②的系数化为1时，容易忘记改变不等号方向，导致结果错误。

（四）变式训练，内化提升【约10分钟】

1.变式1（含参方程）：若关于x的方程2x+a=4的解是正数，求a的取值范围。

1.2.设计意图：将方程的解与不等式结合，考查学生逆向思维和知识迁移能力。

2.3.解题思路：先解方程得x=(4-a)/2，再由x>0得(4-a)/2>0，解得a<4。

4.变式2（分式方程增根）【难点】：若关于x的分式方程2/(x-3)=1-m/(x-3)有增根，求m的值。

1.5.设计意图：深化对增根概念的理解，增根不是原方程的解，但它是去分母后整式方程的解，且使最简公分母为0。

2.6.解题思路：先去分母得2=x-3-m，整理得x=5+m。原方程有增根，则增根必为使最简公分母x-3=0的根，即x=3。代入整式方程得3=5+m，解得m=-2。

（五）课堂小结，反思提炼【约5分钟】

1.学生活动：请学生用思维导图或关键词的形式，总结本节课复习的主要内容、核心思想方法（消元、降次、化归、数形结合）以及自己的易错点。

2.教师强调：再次强调解分式方程检验的必要性，以及解不等式时系数化为1（除以负数）要改变方向这两个高频出错点。

（六）分层作业，巩固拓展

1.基础性作业：完成导学案中“基础巩固”部分的练习题，涵盖各类方程与不等式的基本解法。

2.拓展性作业：完成一道关于含参方程（组）的题目和一道关于分式方程增根的题目。

第二课时：融会贯通——方程与不等式的应用

（一）问题驱动，引入新课【约3分钟】

1.情境创设：播放一段超市购物的短视频，视频中展示了不同品牌、不同包装的牛奶，并附有单价和促销信息（如“买五送一”、“满50减8”等）。

2.提出问题：如果你有50元钱，要买一箱（假设12盒）牛奶，你会选择哪种品牌和哪种购买方式最划算？这其中蕴含了哪些数学问题？

3.学生讨论：学生可能会提到比较单价、计算总价、考虑优惠活动等，这实际上就是比较大小（不等式）和计算总价（方程）的问题。从而引出本节课的主题——方程与不等式的实际应用。

（二）典例剖析，建模应用【约20分钟】

1.类型一：行程与工程问题（方程模型）【基础应用】

1.2.例题1：一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等。求江水的流速。

2.3.分析过程【重要】：

1.3.4.审题：明确已知量（静水速度、顺流路程、逆流路程）和未知量（设水流速度为xkm/h）。

2.4.5.找等量关系：顺流时间=逆流时间。

3.5.6.列代数式：顺流速度=(30+x)km/h，顺流时间=90/(30+x)h；逆流速度=(30-x)km/h，逆流时间=60/(30-x)h。

4.6.7.列方程：90/(30+x)=60/(30-x)。

7.8.解答过程（学生板演，教师点评）：解分式方程得x=6，检验x=6时分母不为0，符合题意。答：江水的流速为6km/h。

8.9.【归纳总结】：行程和工程问题，核心是抓住“速度、时间、路程”或“工作效率、工作时间、工作量”之间的关系，寻找等量关系建立方程。特别注意分式方程要检验。

10.类型二：方案设计与优化问题（不等式模型）【高频考点】【非常重要】

1.11.例题2：某校计划组织七年级师生共300人参加社会实践活动，需租用A、B两种型号的客车。A型客车每辆可载客30人，租金400元；B型客车每辆可载客20人，租金300元。若总租金不超过3400元，并要求所有师生都有座位，问有哪几种租车方案？

2.12.分析过程：

1.3.13.建模：设租用A型客车x辆，B型客车y辆。

2.4.14.等量关系（座位数）：30x+20y≥300（必须保证每人都有座，这里是“≥”）

3.5.15.不等关系（租金）：400x+300y≤3400（总租金限制）

4.6.16.隐含条件：x,y都是非负整数。

5.7.17.问题转化：求满足上述两个条件（一个等式，一个不等式）的非负整数解。

8.18.探究过程（小组合作）：

1.9.19.学生分组讨论，如何求解这个模型。

2.10.20.思路一：将不等式转化为等式或不等式，用x表示y。由座位数不等式得20y≥300-30x，即y≥15-1.5x；由租金不等式得300y≤3400-400x，即y≤(3400-400x)/300。再结合x，y为非负整数，取x=0,1,2...逐个检验，找出同时满足两个不等式的y值。

3.11.21.思路二：先由总座位数等式（取最少座位数）或不等式得到一个y与x的关系式，代入租金不等式求解。但要注意座位数是不等式，所以应先将问题具体化。

12.22.规范解答（教师引导板演）：

解：设租用A型客车x辆，B型客车y辆。

根据题意得：{30x+20y≥300,400x+300y≤3400}，其中x、y为非负整数。

由30x+20y≥300得3x+2y≥30。(1)

由400x+300y≤3400得4x+3y≤34。(2)

(1)式可变形为y≥15-1.5x。

(2)式可变形为y≤(34-4x)/3。

因为y为非负整数，所以15-1.5x≤(34-4x)/3，且15-1.5x≤y≤(34-4x)/3，且y≥0。

解不等式15-1.5x≤(34-4x)/3，两边乘以3得45-4.5x≤34-4x，移项得-0.5x≤-11，解得x≥22。这与实际情况（总人数300，最多需要10辆A型车）矛盾，说明直接从不等式组求解集的方法对于整数解问题可能不是最优。更常用的方法是枚举。

我们采用枚举法：

x可取0,1,2,...10（因为30x≤300）。

当x=0时，由(1)得y≥15，由(2)得3y≤34，y≤11.33，无解。

当x=1时，由(1)得3+2y≥30=>y≥13.5，由(2)得4+3y≤34=>3y≤30=>y≤10，无解。

...依次类推，发现当x较大时才有可能。我们直接从满足(2)的整数x开始找。

(2)式4x+3y≤34，y=(34-4x)/3，y为非负整数，则34-4x必须是3的非负倍数。

枚举x=0...8：

x=1:34-4=30,y=10,代入(1):3+20=23≥30?不满足。

x=4:34-16=18,y=6,代入(1):12+12=24≥30?不满足。

x=7:34-28=6,y=2,代入(1):21+4=25≥30?不满足。

x=8:34-32=2,非3倍数，y非整数。

...我们发现x必须更大。当x=10时，由(2)得40+3y≤34=>3y≤-6=>y≤-2，不成立。

此路不通，说明枚举法效率低，需要调整。从(1)式出发，因为要求y是整数且≥(30-3x)/2，且满足(2)。

令x=6,则(30-18)/2=6,y≥6;由(2):24+3y≤34=>3y≤10=>y≤3.33,y≥6与y≤3矛盾。

x=5,y≥(30-15)/2=7.5,y≥8;由(2):20+3y≤34=>3y≤14=>y≤4.67,矛盾。

x=4,y≥9;由(2):y≤6,矛盾。

x=3,y≥10.5,y≥11;由(2):y≤22/3≈7.33,矛盾。

这说明，如果不租A车，必须租很多B车，但B车租金虽便宜但座位少，15辆B车租金4500超限。所以必须租A车。我们考虑座位刚够的情况，即30x+20y=300=>y=15-1.5x。代入租金不等式：

400x+300(15-1.5x)≤3400

400x+4500-450x≤3400

-50x≤-1100

x≥22

这显然不可能。说明要使租金不超3400，座位不能刚好够，必须有剩余座位？或者座位数>300时，可能因为A车贵，但B车便宜，需要找最优组合。

重新审视：目标是在座位数≥300且租金≤3400的条件下找整数解(x,y)。

我们可以将可能的x值列表：

x=0:y≥15,租金=0+300y≤3400=>y≤11.33,与y≥15矛盾。

x=1:y≥13.5,y≥14;租金=400+300y≤3400=>300y≤3000=>y≤10,矛盾。

x=2:y≥12;租金=800+300y≤3400=>300y≤2600=>y≤8.67,y≤8,与y≥12矛盾。

x=3:y≥10.5,y≥11;租金=1200+300y≤3400=>300y≤2200=>y≤7.33,y≤7,矛盾。

x=4:y≥9;租金=1600+300y≤3400=>300y≤1800=>y≤6,与y≥9矛盾。

x=5:y≥7.5,y≥8;租金=2000+300y≤3400=>300y≤1400=>y≤4.67,y≤4,矛盾。

x=6:y≥6;租金=2400+300y≤3400=>300y≤1000=>y≤3.33,y≤3,矛盾。

x=7:y≥4.5,y≥5;租金=2800+300y≤3400=>300y≤600=>y≤2,与y≥5矛盾。

x=8:y≥3;租金=3200+300y≤3400=>300y≤200=>y≤0.67,y≤0,且y≥3，矛盾。

x=9:y≥1.5,y≥2;租金=3600+300y≤3400=>300y≤-200=>y≤-0.67,矛盾。

我们得到了一个令人困惑的结果：没有解？但直觉上应该有方案。哪里出了问题？仔细看题，“要求所有师生都有座位”，意思是座位数≥300，没有错。“总租金不超过3400”，也没有错。但我们的枚举似乎表明没有整数解。这说明我们的理解可能有偏差，或者题目数据设计有问题？假设租9辆A车，座位数270，至少还需要2辆B车（40座），总座位310，满足座位条件；总租金=9*400+2*300=3600+600=4200，远超3400。所以问题出在：如果全部用便宜的B车，需要15辆，租金4500超限；如果全部用稍贵的A车，需要10辆，租金4000也超限。混合使用，当A车多时，租金高；当B车多时，虽然车单价便宜，但需要更多辆车来满足座位，总租金也可能上升。所以实际上，总租金很可能在任何方案下都超过3400？那么这道题的原意可能是让我们找出在满足座位和租金条件下的方案，如果无解，就说明没有可行的租车方案。但在中考题中，通常会给出一组可解的数据。可能我们对租金不等式的方向理解有误？或者是“不超过3400”是小于等于。我们试着用线性规划的思路，目标是租金最小化。R=400x+300y，约束为30x+20y≥300，x,y≥0整数。求R的最小值。我们可以画出可行域，发现使30x+20y=300的直线上的整数点：(x,y)可以是(0,15),(2,12),(4,9),(6,6),(8,3),(10,0)。分别计算租金：R(0,15)=4500，R(2,12)=800+3600=4400，R(4,9)=1600+2700=4300，R(6,6)=2400+1800=4200，R(8,3)=3200+900=4100，R(10,0)=4000。最小值是4000，仍大于3400。所以确实没有任何方案能使租金≤3400。那么题目可能是开放性问题，让学生发现并说明不存在满足条件的方案。但在实际教学中，我们应调整数据以便让学生有解可寻。我们暂且假设租金上限改为4200元，那么解就是(8,3)或(6,6)等。但这个例题的设计目的是为了展示建模和枚举的过程，以及分析约束条件的方法。在实际授课中，我会选择一组更合适的数据，例如将租金改为不超过4100，则(8,3)就是解之一。或者将A车租金改为350元。为了避免混乱，我们在此修正例题数据：假设A型客车租金改为350元/辆，B型不变。则求方案。此时(10,0)租金3500，超过3400，不行。(8,3)租金=2800+900=3700，不行。(6,6)租金=2100+1800=3900，不行。(4,9)租金=1400+2700=4100，不行。(2,12)租金=700+3600=4300，不行。看来还是不行。将A车租金改为320元，B不变。(10,0)=3200<3400，方案一：10辆A。(8,3)=2560+900=3460>3400，不行。(6,6)=1920+1800=3720>3400。(4,9)=1280+2700=3980。所以只有全用A车这一种方案。这不典型。为了得到多个方案，通常需要设置B车单价更低，但座位数差异不要太大。例如设A租金450元，B租金250元，且载客量不变。则R(6,6)=2700+1500=4200，R(8,3)=3600+750=4350，R(4,9)=1800+2250=4050，R(2,12)=900+3000=3900，R(0,15)=0+3750=3750。都不满足≤3400。可见若数据不当，无解。因此，经典的设计是A车便宜但容量大，B车贵但容量小，或者反过来。常见考题是：A租金400，载40人；B租金280，载20人。总人数280人，租金不超过3000，求方案。这类题比较合理。我们在课堂上应以典型题为例，重点在于教会学生分析方法，而不是纠结于计算。因此，我们改变例题数据为：A型客车每辆可载客40人，租金400元；B型客车每辆可载客20人，租金250元。总人数280人，租金不超过3000元。求有哪几种租车方案。

13.23.重新分析：

设租A车x辆，B车y辆。

约束：40x+20y≥280(1)

400x+250y≤3000(2)

x,y为非负整数。

由(1)化简：2x+y≥14=>y≥14-2x。

由(2)化简：8x+5y≤60(两边除以50)或保留原式：400x+250y≤3000。

我们枚举x从0到7（因为40x≤280，x≤7）。

x=0:y≥14,由(2)250y≤3000=>y≤12,矛盾。

x=1:y≥12,由(2)400+250y≤3000=>250y≤2600=>y≤10.4,y≤10,与y≥12矛盾。

x=2:y≥10,由(2)800+250y≤3000=>250y≤2200=>y≤8.8,y≤8,矛盾。

x=3:y≥8,由(2)1200+250y≤3000=>250y≤1800=>y≤7.2,y≤7,与y≥8矛盾。

x=4:y≥6,由(2)1600+250y≤3000=>250y≤1400=>y≤5.6,y≤5,与y≥6矛盾。

x=5:y≥4,由(2)2000+250y≤3000=>250y≤1000=>y≤4,所以y=4满足。方案一：x=5,y=4，载客=5*40+4*20=200+80=280，租金=5*400+4*250=2000+1000=3000，刚好。

x=6:y≥2,由(2)2400+250y≤3000=>250y≤600=>y≤2.4,y可取2。方案二：x=6,y=2，载客=240+40=280，租金=2400+500=2900<3000。

x=7:y≥0,由(2)2800+250y≤3000=>250y≤200=>y≤0.8,y可取0。方案三：x=7,y=0，载客=280，租金=2800<3000。

因此共有三种方案。

14.24.【归纳总结】：方案设计问题，核心是建立不等式（组）模型，然后在变量取值范围内寻求整数解。求解时常用枚举法，需注意变量取值的实际意义（非负整数）。有时也需要结合方程（如取等号）来简化讨论。

25.类型三：利润与最值问题（方程与不等式综合）【高频考点】【非常重要】

1.26.例题3：某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最多盈利是多少元？

2.27.分析过程：

1.3.28.问题（1）建立方程模型：

设每件降价x元。则每件盈利变为(40-x)元，每天销量变为(20+2x)件。

等量关系：总利润=单件利润×销售量=1200。

得方程：(40-x)(20+2x)=1200。

2.4.29.问题（2）建立函数模型，并利用不等式求最值：

设每天盈利为y元，则y=(40-x)(20+2x)。

这是一个二次函数，开口向下，有最大值。可以先将其化为顶点式，或直接用公式求顶点横坐标。

求最值时，有时需要结合实际意义考虑x的取值范围（如x≥0，且40-x≥0，所以0≤x≤40），但这个函数在顶点处取得最大值，顶点横坐标x=-b/(2a)需要先整理函数式。

5.30.解答过程：

（1）解方程(40-x)(20+2x)=1200。

展开整理得800+80x-20x-2x²=1200=>-2x²+60x+800=1200=>-2x²+60x-400=0，两边除以-2得x²-30x+200=0，因式分解(x-10)(x-20)=0，解得x₁=10，x₂=20。

经检验，x=10和x=20均符合题意（降价不超过40元）。答：每件应降价10元或20元。

（2）y=(40-x)(20+2x)=-2x²+60x+800=-2(x²-30x)+800=-2[(x-15)²-225]+800=-2(x-15)²+450+800=-2(x-15)²+1250。

因为-2<0，所以抛物线开口向下，函数有最大值。当x=15时，y取得最大值1250。

此时x=15在取值范围内。答：每件降价15元时，盈利最多，为1250元。

6.31.【关键点拨】：本题将方程与函数结合，第一问是已知结果（盈利值）求自变量，用方程；第二问是求自变量为何值时因变量最大，用二次函数求最值。体现了方程与函数之间的内在联系。在实际问题中，往往需要通过不等式确定自变量的取值范围（如价格不能为负等），再在此范围内求最值。

（三）综合拓展，挑战思维【约15分钟】

1.例题4（方程与不等式、函数综合）【热点】【难点】：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图像经过点A(-2,6)，且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图像交于点C，点C的横坐标为1。

（1）求k、b的值。

（2）若点D在y轴上，且满足S△COD=1/3S△BOC，求点D的坐标。

（3）结合图像，直接写出不等式kx+b≤3x的解集。

1.2.分析：

1.2.3.第（1）问：将C点横坐标1代入y=3x得C(1,3)。将A(-2,6)和C(1,3)代入y=kx+b，得方程组{-2k+b=6,k+b=3}，解方程组可求k、b。

2.3.4.第（2）问：先求出B点坐标（令y=0，代入直线BC的解析式）。再求出△BOC的面积（以OB为底，C点纵坐标为高）。设D(0,m)，则△COD的面积可以表示为以OD为底，C点横坐标为高（但要考虑m的正负）。根据面积关系列绝对值方程。

3.4.5.第（3）问：kx+b≤3x的解集，即一次函数图像在正比例函数图像下方（或相等）时，x的取值范围。通过观察图像，找到两图像交点C的横坐标，结合图像走势判断。

5.6.解答过程（师生互动）：

（1）由题意得C(1,3)。将A、