初中八年级数学 角平分线的综合应用 课时教学设计（北师大版）

初中八年级数学角平分线的综合应用课时教学设计（北师大版）

一、教学内容分析

本课隶属于北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》第4节“角平分线”第2课时。在此之前，学生已经学习了几何的基本概念、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定以及线段垂直平分线的定理与逆定理。角平分线作为三角形中最重要的三类主要线段（中线、高线、角平分线）之一，其性质定理与判定定理是初中几何推理体系中“从位置关系推导数量关系”以及“从数量关系判定位置关系”的典范。本节内容并非简单的定理复述，而是将角平分线的性质定理和判定定理置于真实的、复杂的几何图形中进行深度融合与灵活运用。从教材纵向逻辑看，本课时既是全等三角形应用的深化与延续，又为后续学习平行四边形、圆中有关角的计算与证明、以及尺规作图的变式提供了关键的思维工具。从横向关联看，角平分线的轴对称功能与函数中的线性规划、物理中的反射路径等问题存在跨学科迁移价值。因此，本节内容在几何教学中处于“由单一模型走向综合模型、由静态证明走向动态构造”的转折点，【非常重要】。

二、学情分析

八年级学生已具备初步的逻辑推理能力和符号意识，能基本完成三段论的简单书写。但面对无直接已知全等条件、需要添加辅助线的几何问题时，普遍存在“不敢连、不会作、不知为何而作”的思维障碍。具体表现为：第一，对“距离”概念停留在长度计算，未能将其与“垂直构造全等三角形”建立稳定联系；第二，当角平分线与等腰三角形、线段和差倍分问题交织时，难以识别基本图形并剥离出核心模型；第三，对于角平分线判定定理的应用场景较为模糊，往往只习惯于正向使用性质，逆向思维薄弱。【难点】基于皮亚杰认知发展阶段理论，八年级学生正从具体运算阶段向形式运算阶段过渡，本课通过创设系列化、层次化的变式情境，驱动学生在“辅助线为何作、作什么、怎么作”的追问中完成从“程序性模仿”到“策略性选择”的认知升级。

三、教学目标

基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》第四学段（7—9年级）对图形与几何领域的要求，结合数学核心素养导向，确定如下教学目标：

1.知识与技能【基础】

（1）熟练运用角平分线的性质定理和判定定理进行线段相等、角相等的证明与计算；

（2）能在复杂图形中识别、构造角平分线基本模型，并综合运用全等三角形、等腰三角形的性质解决综合问题；

（3）掌握并归纳利用角平分线添加辅助线的两类基本策略：“作垂线段”和“截长补短”。【高频考点】

2.过程与方法

（1）经历从单一定理到组合定理、从标准图形到变式图形的探究过程，体会类比、转化、建模的数学思想；

（2）通过尺规作图的逆思考，发展逆向推理能力和几何直观；

（3）借助一题多解与一题多变，训练思维的灵活性与批判性。

3.情感态度与价值观

（1）在几何证明中感受数学的严谨性与逻辑美，增强解题自信心；

（2）通过跨学科情境（如光的反射、角平分线轨），体会数学的外部价值；

（3）在小组共研中形成合作交流、敢于质疑的学风。

四、教学重难点

【重点】角平分线性质定理与判定定理的综合应用，以及在几何证明中规范书写推理过程。

【难点】依据图形特征和待证结论，合理选择辅助线构造全等三角形，实现未知向已知的转化。

【重难点突破策略】采用“模型显性化、步骤程序化、思维可视化”三化策略。将复杂的几何图形剥离为“角平分线+向两边作垂线”“角平分线+翻折”等子模型；通过“问题链”引导学生从“结论逆推”倒逼辅助线的生成；利用几何画板动态演示翻折变换，使隐性辅助线显性呈现。

五、教学方法与学法指导

教法上采用“问题驱动式”与“变式教学”相结合。不直接呈现例题，而是以核心问题作为任务驱动，将知识问题化，问题层次化。学法上强调“手脑并用”，要求学生每道题必画图、每步推理必标理据；推行“出声思维”，小组内交替担任“分析师”与“评论员”角色。本节全程贯穿“模型识别—模型构造—模型迁移”的认知路径。

六、教学准备

教师准备：几何画板定制课件（包含三层变式题库）、微视频《角平分线的尺规作图原理》、实物投影仪、彩色粉笔。

学生准备：直尺、圆规、三角板、双色笔；预习单中包含一道与角平分线相关的开放问题：已知角内一点到两边的距离相等，这一点是否一定在角平分线上？画出你的结论。

七、教学实施过程

（一）唤醒经验，校准认知坐标

上课伊始，师生同步在网格纸上进行尺规作图：已知∠AOB，求作它的平分线OC。作图完毕后，教师以问题串展开回顾：

1.所作射线OC上任取一点P，过P向OA、OB作垂线，垂足分别为M、N，测量PM与PN，你发现了什么？【基础】

2.这个命题的条件和结论分别是什么？如何用几何语言书写？

3.将原命题的条件和结论互换，得到的命题还成立吗？请画图说明。

【设计意图】温故知新，既复习性质定理，又自然引出判定定理，为全课的综合运用埋下逻辑伏笔。教师通过实物投影展示学生预习单中“角内点距等是否一定在平分线上”的不同观点，制造认知冲突，引出判定定理，并规范符号语言。此环节特别强调“距离”必须特指“垂线段长度”，【非常重要】。

（二）基础过手，聚焦“双距离垂线”模型

呈现题目1：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC。求证：∠A＋∠C＝180°。

学生独立思考3分钟后，组内交流。预设多数学生能过D点向BA和BC作垂线，利用角平分线性质得到两条垂线段相等，进而利用HL定理证明Rt△ADF≌Rt△CDE（E、F为垂足），得出∠DAF＝∠C，再根据邻补角关系导出结论。

教师在巡视中针对性指导：一是确认辅助线书写的规范性——“过点D作DF⊥BA于点F，DE⊥BC于点E”；二是追问“为什么一定要作垂线？不作垂线能否解决？”引发深层思考。

随后教师将原题稍作变形：若将条件“AD＝CD”与结论“∠A＋∠C＝180°”互换，请学生尝试改编并证明。此环节为后续“判定定理”应用奠定思维双向通道。【高频考点】

（三）深层建构，解锁“截长补短”策略

1.情境驱动

教师通过几何画板出示经典母题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B。求证：AB＝AC＋CD。

学生初次接触此类线段和差问题，普遍感到无从下手。教师不急于讲授，而是引导学生逆向分析：要证AB＝AC＋CD，相当于将长线段AB分解为AC与CD两段之和。如何在AB上“截取”一段等于AC？或如何将CD与AC“拼接”到一条直线上？

2.双解并行

策略一：截长法。在AB上截取AE＝AC，连接DE。利用SAS证明△AED≌△ACD，推出DE＝DC，∠AED＝∠C。再由∠C＝2∠B以及三角形外角定理推导出∠B＝∠BDE，等角对等边得BE＝DE＝DC，从而AB＝AE＋EB＝AC＋CD。

策略二：补短法。延长AC到点F，使CF＝CD，连接DF。通过倒角证明∠F＝∠ABC，再证△ABD≌△AFD，推出AB＝AF＝AC＋CF＝AC＋CD。

3.比较反思

教师组织学生从辅助线目的、构造的全等三角形、运用到的定理三方面对比两种策略。师生共同提炼口诀：“见角平分线，截长或补短；若证和差倍，对称构全等。”【非常重要】此环节特别指出：截长补短的本质是利用角平分线构造翻折全等，将分散的线段集中到同一条直线或同一个三角形中，从而沟通已知与未知的联系。

4.变式巩固【难点】

变式1：将条件“∠C＝2∠B”改为“AB＝AC＋CD”，求证：AD平分∠BAC。

变式2：将图形背景换为直角坐标系，已知A（0，a）、B（b，0）、C（c，0），AD平分∠BAO交x轴于D，探究线段AB、AO、OD之间的数量关系。

通过逐级变式，打破学生对具体数字和固定图形的依赖，使“截长补短”内化为解决角平分线背景下线段和差问题的通用通法。

（四）跨域融通，感悟“轨迹与判定”

1.问题植入

教师投影展示物理光学情境：一束平行光从左向右照射到平面镜MN上的点O，入射光AO与镜面夹角为α，要使反射光经过点B，应如何确定镜面位置？将物理问题转化为数学问题后，学生发现需在直线MN上找一点O，使∠AON＝∠BOM，这正是角平分线的判定模型——作∠AOB的平分线。

2.数学建模

在几何画板中，教师隐藏物理背景，抽象出几何命题：已知直线MN和同侧两点A、B，在MN上求作一点P，使得点P到∠APB两边的距离相等。学生经过小组讨论，意识到需要同时满足P到直线AP、BP距离相等，且P在MN上，本质上是角平分线与直线的交点问题。

3.双轨推演

学生通过尺规作图尝试，发现需先作∠APB（此时P未知），陷入循环。教师点拨：将“到角两边距离相等”转化为“以A、B为圆心定长画弧”或者“作A关于MN的对称点A’，再连接A’B”。此环节虽然耗时，但极好地培养了逆向思维和转化思想。教师顺势总结：角平分线判定定理的本质是到角两边距离相等的点的集合，这为高中学习“解析几何中的角平分线方程”以及“线性规划中的目标函数”埋下跨学段接口。【热点】

（五）模型碰撞，破解“双线叠加”综合题

呈现中考高频压轴模型：在△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点P，过P作BC的平行线分别交AB、AC延长线于点M、N。探究线段BM、CN、MN之间的数量关系。

本题同时包含内角平分线？审题后学生发现此处为“外角平分线”，这与之前研究的角平分线性质是否仍然适用？学生尝试过点P分别向三边（或延长线）作垂线，惊喜地发现：外角平分线上的点到角两边所在直线的距离依然相等。进而利用面积法或多次全等证明出MN＝BM＋CN。

教师进一步追问：若将两条外角平分线改为一条内角平分线和一条外角平分线，结论有何变化？若将平行线改为任意截线，是否还有类似的数量关系？将静态结论导向动态探究，将课堂思维高度推向纵深。该题综合性极强，融合了平行线性质、等腰三角形判定、角平分线性质等多个核心考点，【非常重要】【高频考点】。

（六）思维归档，绘制微概念图谱

师生以板书为蓝本，共同完成思维导图的口头编撰。教师以问题驱动归纳：

1.今天研究的角平分线应用场景有哪几类？（单一垂线模型、截长补短模型、双平分线模型）

2.面对线段和差关系时，我们如何思考辅助线？（先看能否直接用性质得等距，再看是否需要截长或补短）

3.角平分线的性质定理与判定定理在使用时，思维方向有什么不同？（性质：由平分推距离相等；判定：由距离相等推平分。）

学生每人用100字左右写下本课收获的关键词，同桌交换阅读，教师抽取两名学生的总结投影展示并点评。此环节将隐性思维显性化，强化认知留存率。

（七）当堂检测，精准把脉学情

1.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点。若PA＝3，则PQ的最小值为______。【基础】

2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝10，BD＝6，则点D到AB的距离是______。【高频考点】

3.已知，如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，E为BC上一点，且AE平分∠BAD，DE平分∠ADC。求证：AD＝AB＋CD。【难点】

检测题限时8分钟，采取组间互批，错误率超过30%的题目由命题组学生现场讲解。教师重点关注第3题辅助线的多样性，展示截长与补短两种不同证法，再次强化模型意识。

（八）作业分层，个性拓展延伸

1.基础性作业（必做）：课本随堂练习及习题中关于角平分线综合应用的4道题，要求规范书写推理过程，标注每步依据。

2.拓展性作业（选做）：利用角平分线的性质，设计一个测量河流宽度或不可直接到达的两点间距离的方案，画出原理图并附证明。

3.挑战性作业（研究性学习）：查阅资料，了解三角形角平分线的另一个重要性质——内角平分线分对边所成线段比等于该角两边之比（角平分线定理第二形式），并尝试用面积法证明。此作业为后续相似三角形学习做前瞻铺垫。

八、板书设计

黑板的整体布局采用“主线+副板”结构。

主板书（左）：以核心例题图形为主线，保留三种基本模型的辅助线痕迹及关键推理链条：

模型一：双垂线→全等（HL）→线段等、角互补。

模型二：截长法、补短法→翻折全等→线段和差。

模型三：外角平分线+平行线→等腰三角形→线段和差。

副板书（右）：保留学生课堂生成的典型错误证法、关键定理的符号语言（符号书写规范）以及“距离必垂直”“截长补短的本质是翻折”等警示语。

板书全程由教师随教学进程即时生成，避免课前预设满堂，突出思维生长的痕迹感。

九、教学反思

本课教学设计严格遵循从“知识点”到“知识丛”再到“知识网”的认知脉络，将原本孤立的角平分线定理放置于广阔的综合应用背景中。最大亮点在于以“辅助线策略”为核心组织课程，打破了