小学四年级数学上册第五单元《倍数与因数》周末拔尖拓展导学案

小学四年级数学上册第五单元《倍数与因数》周末拔尖拓展导学案

一、大单元整体架构与第九周核心定位

基于2022年版义务教育数学课程标准“数与代数”领域对“数论初步”的教学要求，本导学案立足于大单元整体教学的视角，对冀教版四年级上册第五单元《倍数和因数》的知识体系进行深度整合与拔高。第九周的教学节点恰逢学生完成了本单元基础概念（自然数、奇数、偶数、倍数、因数）的初步认知，正处于从“概念识记”向“性质探究”与“关系运用”跨越的关键期。本学案的核心定位在于突破教材的单课时局限，构建以“整除关系”为核心的认知网络，通过高站位、大容量的思维训练，引导学生在数论的神奇世界中实现从算术思维向代数思维的初步跃迁。本设计强调知识的纵向深挖与横向联通，旨在服务于学有余力的学生，满足其强烈的求知欲和挑战欲，培养其严谨的逻辑推理能力和数学抽象素养【核心素养导向】。

二、学情深度研判与拔尖目标设定

（一）学情分析【重要】

授课对象为四年级上学期的学生，他们在前期的学习中已经掌握了整数四则运算，具备了基本的计算能力。通过本周的课堂学习，学生已经能够辨认自然数，理解倍数和因数的基本含义，并能初步找出简单数的倍数和因数。然而，对于数论这一高度抽象的领域，学生普遍存在以下认知瓶颈：一是概念理解的表面化，容易忽略“在非零自然数范围内”这一重要前提，出现小数谈因数倍数的混淆；二是思维的无序性，在找一个数的因数时往往丢三落四，缺乏“成对有序”的思维策略；三是联系的割裂性，不能将奇数、偶数、倍数、因数等概念纳入一个统一的“整除”体系中理解，更难以洞察质数与合数背后因数个数的本质差异。拔尖学生的培养必须精准针对这些痛点，设计具有认知冲突和思维挑战的学习材料。

（二）拔尖目标设定

1.【高阶思维】能够深刻理解“整除”是倍数与因数概念存在的基石，准确辨析概念的外延与内涵，对集合论思想形成初步感知。

2.【关键能力】熟练掌握“成对列举法”和“有序推导法”找出一个数的所有因数，并能根据因数的个数特征，对自然数进行基于质数与合数的二级分类，理解“1”作为数的单位的特殊性。

3.【综合应用】灵活运用2、3、5倍数特征解决复杂的数位谜题和实际生活中的周期问题，培养数感与推理能力。

4.【数学眼光】在探究完全数、相亲数等数论趣闻的过程中，感受数学的神秘与美妙，激发探索自然数深层奥秘的兴趣。

三、教学重难点深度解构

（一）教学重点【基础】【高频考点】

1.倍数与因数的概念辨析：透彻理解“相互依存”关系，明确研究的范围是非零自然数。【非常重要】

2.2、3、5倍数的特征：准确记忆并能灵活运用特征进行判断。【高频考点】

3.求一个数因数的方法：掌握有序、全面的思考策略，不重不漏。【基础】

（二）教学难点【难点】

1.“0”的排除：理解为什么在研究倍数与因数时，一般不包括0，这涉及数论体系的严谨性。

2.因数与倍数的无限与有限：理解一个数的倍数是无限的，而因数是有限的，并掌握最大因数、最小倍数都是它本身这一性质。

3.质数与合数的概念构建：如何从“因数个数”这一全新的维度来定义数的性质，区分于奇偶性。【非常重要】

四、教学实施过程：深度探究与思维进阶

本环节将第九周的学习内容解构为四大进阶模块，每个模块均设计了“概念复盘→思维聚焦→高阶闯关→素养提升”的螺旋上升路径。

（一）模块一：概念基石——倍数与因数的深度辨析

1.概念的精准复现

引导学生回顾：在什么情况下，我们才能说一个数是另一个数的倍数，一个数是另一个数的因数？【重要】通过对比算式“12÷3=4”和“3.6÷0.9=4”，让学生辨析哪一组算式可以表述倍数关系。结论清晰指向：必须在非零自然数的范围内，商是整数且没有余数，即“整除”是唯一标准。强调倍数与因数是表示两个数之间关系的概念，不能孤立地说“某个数是倍数”或“某个数是因数”，必须说清“谁是谁的倍数，谁是谁的因数”。

2.思维聚焦：集合思想的渗透

设计练习：根据算式“5×8=40”，完成填空。

（）是（）和（）的倍数；

（）和（）是（）的因数。

在此基础上，引入集合圈表示法。画出两个相交的圆，分别标注“40的因数”和“8的倍数”，让学生将数字（1,5,8,40,80……）填入相应的位置。通过这一活动，直观感受一个数因数的有限性和一个数倍数的无限性，初步体会交集部分（如8）表示既是一个数的因数，又是另一个数的倍数。

3.高阶闯关：破解概念谜题

【例1】判断：因为18÷2=9，所以18是倍数，2是因数。（）

此题的典型错误率极高。引导学生进行“错例分析”，指出其症结在于表述的完整性。规范表述为：“18是2和9的倍数，2和9是18的因数。”【高频考点】

【例2】甲数是乙数的倍数，乙数是丙数的倍数，甲数一定是丙数的倍数吗？请举例说明。

此题旨在考查倍数关系的传递性。引导学生举例：如甲是48，乙是12（48是12的倍数），乙12是丙3的倍数（12是3的倍数），验证48是否为3的倍数。结论成立，并让学生自己尝试举例，初步感知整除关系的传递性，为数感积累素材。

4.素养提升

通过上述辨析，引导学生构建“整除关系网”。给定一组数（如3,5,15,30,60），让学生尽可能多地写出存在倍数关系的两个数，并用语言准确描述。这个开放性的活动，能够最大程度地激活学生思维，将孤立的知识点串联成知识线。

（二）模块二：核心技能——因数找法的策略优化与规律探寻

1.方法的复盘与优化

回顾找因数的方法。通常学生会有两种思路：一是列除法算式，看哪些数能整除给定数；二是列乘法算式，想哪两个数相乘等于这个数。【重要】引导学生对比两种方法，并重点推介“成对列举法”（乘法算式法），因为它在书写格式上天然体现了因数的成对性，便于做到不重不漏。

举例：找出36的所有因数。

示范过程：从自然数1开始试起，

1×36=36，

2×18=36，

3×12=36，

4×9=36，

5×？→不行，

6×6=36（当乘数和被乘数开始接近或相等时，说明找全了）。

因此，36的因数有：1,2,3,4,6,9,12,18,36。共9个。

强调书写规范：一般按照从小到大的顺序排列。

2.思维聚焦：因数个数的奇偶性探讨

【探究活动】观察并统计以下各数的因数个数：4、9、16、25；6、8、12、18。

引导学生发现：

像4、9、16、25这样的数，它们是同一个自然数的平方（即完全平方数），它们的因数个数是奇数个（如4的因数有1,2,4，共3个；9的因数有1,3,9，共3个）。

而像6、8、12、18这样的非完全平方数，它们的因数个数是偶数个。

【非常重要】此结论是数论中的一条基本规律，不仅巩固了找因数的方法，更引导学生透过现象看本质，从量的变化看到质（完全平方）的区分。

3.高阶闯关：综合运用因数知识

【例3】【热点】一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个数可能是多少？

解题思路：先列举48的所有因数（1，2，3，4，6，8，12，16，24，48），再从中筛选出8的倍数（8，16，24，48）。最后得出答案：可能是8、16、24、48。

此题综合考查了因数与倍数两个概念，要求学生在两个集合中找交集，对思维的缜密性要求较高。

【例4】【难点】一个长方形的面积是24平方厘米，它的长和宽都是整厘米数。这个长方形的周长有多少种可能？最大周长是多少？

解题思路：本题实际上是找24的因数对（长、宽）。24的因数对有：(1,24),(2,12),(3,8),(4,6)。共4种可能。然后分别计算周长：[(1+24)×2=50]，[(2+12)×2=28]，[(3+8)×2=22]，[(4+6)×2=20]。比较得出最大周长为50厘米。

此题将抽象的因数知识与几何图形结合，体现了数形结合思想，是跨学科知识融合的典型范例。

4.素养提升

通过上述层层递进的练习，学生应掌握“列举—筛选—应用”的解题模型。鼓励学生在草稿纸上养成“有序排列”的良好习惯，这是避免数论问题出错的根本保障。

（三）模块三：特征深化——2、3、5倍数特征的综合运用

1.概念的交叉辨析

复习2、3、5倍数的特征。【高频考点】【基础】

2的倍数（偶数）：个位是0、2、4、6、8。

5的倍数：个位是0或5。

3的倍数：各个位上的数字之和是3的倍数。

重点辨析：同时是2和5的倍数，个位必须是0。同时是2、3、5的倍数，个位是0，且各位数字之和是3的倍数。

2.思维聚焦：特征背后的算理

提出驱动性问题：为什么3的倍数看“和”，而2、5的倍数只看“个位”？通过简单的位值原理图示，引导学生理解：一个数如“abc”表示a×100+b×10+c，对于除以2或5，100、10都是2和5的倍数，所以只需要看个位c；而对于除以3，100和10除以3都余1，所以整个数除以3的余数就等于(a+b+c)除以3的余数。这虽然不要求所有学生掌握，但为拔尖学生揭示了数学原理的深刻性。

3.高阶闯关：数位谜题与逻辑推理

【例5】【热点】【非常重要】在□里填一个合适的数字。

（1）既是2的倍数，又是3的倍数：32□

（2）既是3的倍数，又是5的倍数：7□5

（3）同时是2、3、5的倍数：4□□0

解析：

（1）32□是2的倍数，则□可填0,2,4,6,8；同时要是3的倍数，则3+2+□=5+□是3的倍数。综合筛选，□可填4。所以是324。

（2）7□5已经是5的倍数（个位5），只需满足3的倍数：7+□+5=12+□是3的倍数，□可填0,3,6,9。所以答案是705、735、765、795。

（3）个位已经是0，满足2和5的倍数。只需满足3的倍数：4+□+□+0=4+□+□是3的倍数。这是一个开放题，答案不唯一，如4200（4200），4110（4110）等，考查学生的发散思维。

【例6】【难点】用4、5、6、0四个数字组成一个三位数，使它符合以下要求。

（1）同时是2和5的倍数：。

（2）同时是2和3的倍数：。

（3）同时是3和5的倍数：。

（4）同时是2、3、5的倍数：。

此题是特征知识的综合运用，要求学生先确定个位，再考虑高位。如（1）同时是2和5倍数，个位必为0，所以可以是460、560、450、540、650、640等。通过此题，训练学生思维的全面性和逻辑性。

4.素养提升

引导学生总结解决此类问题的策略：固定个位（优先满足2或5的特征）→计算数字和（满足3的特征）→组合高位。形成一套系统的解题流程。

（四）模块四：概念进阶——质数、合数初步及数论文化拓展

1.概念的生成与构建

引导学生根据一个数因数的个数，对自然数（除0外）进行分类。【非常重要】

只有1和它本身两个因数的数，叫做质数（或素数）。

除了1和它本身，还有别的因数的数，叫做合数。

特别强调：1只有一个因数“1”，所以1既不是质数也不是合数。

让学生回顾20以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19。特别指出2是唯一的偶质数，这是一个极具数学美的特例。

2.思维聚焦：质数的判定

如何判断一个数是否为质数？【难点】

以91为例，引导学生思考：是否除了1和91本身，就没有别的因数了？尝试除以7，发现7×13=91，因此91是合数。引导学生掌握试除法的基本技巧：一般用比这个数小的质数（从2、3、5、7、11……）依次去除，看能否整除。

3.高阶闯关：趣味数论与思维挑战

【例7】【热点】哥德巴赫猜想初探。

出示：任何大于2的偶数都可以写成两个质数之和。

请将下列偶数写成两个质数之和：10=（）+（），24=（）+（），36=（）+（）。

此题将数学史上著名的猜想引入课堂，既巩固了质数的判断，又让学生感受到数学皇冠上的明珠之光，激发爱国情怀和探索精神。

【例8】完全数探秘。

介绍：一个数，如果恰好等于除去它本身以外的所有因数之和，这个数就叫完全数。如6的因数有1,2,3,6，除去本身6后，1+2+3=6，所以6是完全数。让学生验证28是否是完全数（28的因数有1,2,4,7,14,28，1+2+4+7+14=28，是）。感受数学的神奇。

4.素养提升

通过对质数、合数的探究，学生对自然数的认识从“量”的层面提升到了“质”的层面。引导学生课后制作100以内的质数表，寻找其中的规律（如除了2、3、5，其余的质数都分布在6的倍数附近），培养学生的数据观察和归纳能力。

五、跨学科融合与实践拓展

（一）数学与信息科技的融合

利用网络资源或编程启蒙软件（如Scratch），让学生尝试设计一个简单的“质数判断器”或“因数列举器”。通过编写程序逻辑，学生必须将数学判断规则（如用试除法判断质数）精确地转化为程序指令。这个过程能极大地深化学生对数论规则的理解，同时锻炼其逻辑思维和问题解决能力。例如，学生可以设定输入一个数，计算机自动从2开始逐一相除，若发现能整除且除数不等于自身且不为1，则输出“合数”，否则输出“质数”。这不仅是技术的应用，更是对数学本质的二次抽象【跨学科实践】。

（二）数学与历史的融合

布置一项研究性学习任务：查阅资料，了解中国古代数学在数论方面的贡献，如《九章算术》中对约数、倍数的研究，以及现代数学家陈景润对“哥德巴赫猜想”的杰出贡献（“1+2”定理）。通过撰写数学小论文或制作手抄报，让学生了解数学知识背后的文化脉络，增强民族自豪感，将单纯的解题提升到文化传承的高度。

六、分层作业设计与评价体系

（一）基础巩固层（必做）

1.写出下面每个数的因数，然后再写出每个数的倍数（至少写3个）。

9152432

2.在下面的括号里填上合适的质数。

10=（）+（）16=（）+（）

3.在2、3、5、8、10、12、15、18、20、24、25、30中，

（1）2的倍数有：（）；

（2）3的倍数有：（）；

（3）5的倍数有：（）；

（4）既是2的倍数又是5的倍数的有：（）；

（5）同时是2、3、5的倍数的有：（）。

（二）综合运用层（选做）

1.一个数是