小学五年级数学《倍数与因数：大单元整体建构与探究》教学设计

小学五年级数学《倍数与因数：大单元整体建构与探究》教学设计一、单元整体教学设计背景与理念【核心素养导向】本单元教学设计遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》核心素养导向，致力于通过“倍数与因数”这一核心概念，培养学生的数感、推理意识以及初步的抽象思维能力。作为小学阶段“数与代数”领域的关键内容，本单元不仅是对整数认识的深化，更是后续学习公倍数、公因数、约分、通分以及分数四则运算的重要基石。【重要】因此，教学设计跳出传统的“定义+练习”模式，转向“大单元整体教学”，强调知识的系统性与结构性。【大单元整体构想】本单元并非孤立的知识点堆砌，而是围绕“数的可分性”这一大概念展开。我们从“图形与数的结合”入手，让学生在拼摆长方形的操作活动中，直观感受数与形的对应关系，从而自然引出倍数与因数的概念。整个单元的教学设计将遵循“具体—抽象—具体”的认知规律，将自然数的分类（奇数与偶数、质数与合数）视为对整数世界更深层次的探索。通过精心设计的探究活动，引导学生发现一个数的因数个数是有限的，而倍数的个数是无限的，进而理解完全平方数在因数个数上的特殊性，以及质数与合数的本质区别。【基础】二、教材与学情深度分析（一）教材分析北师大版五年级上册第三单元《倍数与因数》是在学生已经掌握了非零自然数的认识、表内乘法、除数是一位数的除法等知识的基础上进行教学的。教材编排的显著特点是从生活情境（如排队队形）和操作活动（拼长方形）出发，借助乘法算式引出概念，将抽象的数论知识直观化、生活化。整个单元内容环环相扣：概念认识（倍数与因数）→特征探究（2、5、3的倍数的特征）→分类深化（奇数、偶数、质数、合数），形成了一个逻辑严密的认知链条。【高频考点】（二）学情分析五年级的学生正处于从具体形象思维向初步抽象逻辑思维过渡的关键期。他们对“倍数”一词并不陌生，在低年级已经接触过“一个数的几倍”，但这属于生活化的“倍”，与数论中抽象的“倍数”概念虽有联系，但也有本质区别。【难点】学生容易出现的认知障碍包括：1.不理解倍数与因数的相互依存关系，孤立地说某个数是倍数或因数；2.在找一个数的因数时，缺乏有序思考的习惯，导致遗漏或重复；3.在探索3的倍数特征时，容易受2、5倍数特征的负迁移影响，只关注个位。因此，教学设计必须建立在充分预判学情的基础上，通过精准的问题链和探究支架，帮助学生跨越认知障碍。三、单元教学目标设定（一）知识与技能【基础】1.结合具体情境，认识自然数之间存在的倍数与因数关系，理解二者相互依存的特点。2.掌握找一个数的倍数和因数的方法，能熟练找出一个自然数（100以内）的全部因数以及10以内自然数的倍数。3.通过探索，掌握2、5、3的倍数的特征，能准确判断一个数是不是2、5、3的倍数。4.理解奇数、偶数、质数、合数的概念，并能根据定义对100以内的自然数进行准确分类。（二）过程与方法1.经历从乘法算式或除法算式引出倍数与因数的过程，培养观察、比较和抽象概括的能力。2.在探索找一个数的因数的方法时，通过自主尝试、小组交流，体会有序思考的重要性，掌握“成对列举”和“从小到大试除”的数学方法。【重要】3.经历“观察—猜想—验证—归纳”的探究过程，探索2、5、3的倍数的特征，培养初步的归纳推理能力。（三）情感态度与价值观1.在探究活动中感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，体会数学与日常生活的密切联系。2.通过对整数神秘性质（如完全数、哥德巴赫猜想）的初步接触，激发对数学奥秘的好奇心和求知欲，培养勇于探索的科学精神。四、单元教学重难点【教学重点】1.建立倍数与因数的概念，理解二者的相互依存关系。2.掌握有序、不重复、不遗漏地找出一个数的全部因数的方法。3.探索并掌握2、5、3的倍数的特征。【教学难点】1.理解倍数与因数是相互依存的，不能独立存在。2.探索3的倍数的特征，克服只看个位的思维定势。3.正确区分质数与合数，理解1既不是质数也不是合数的特殊性。五、课时教学实施过程（核心环节详案）【第一课时】认识倍数与因数——开启整数王国的大门（一）情境导入，初感依存关系课堂伊始，教师不直接出示数学概念，而是从学生熟悉的社会关系入手。【热点】“同学们，谁能介绍一下你在班级里的好朋友？你可以说‘小明是我的好朋友’，也可以说‘我是小明的朋友’。如果单独说‘我是朋友’或者‘小明是朋友’，大家觉得完整吗？为什么？”通过引导学生发现“朋友”这种关系是双向的、相互依存的，缺了任何一方，关系就不成立。随后，教师顺势过渡：“在数学王国里，数与数之间也存在着这样一种奇妙的关系。今天，我们就走进整数王国，去研究其中的一种重要关系——倍数与因数。”（板书课题）此环节旨在通过生活化类比，降低新概念的抽象度，让学生带着对“依存关系”的初步感知进入新课。（二）操作建构，直观感知概念1.活动一：拼长方形，列算式。教师利用多媒体出示12个同样大小的正方形。提出问题：“如果用这12个小正方形拼成一个长方形，每排摆几个，可以摆几排？你能用乘法算式把你拼法表示出来吗？”学生独立思考并在练习本上写下算式。预设学生得出：1×12=12，2×6=12，3×4=12。2.揭示概念，明确定义。教师以3×4=12为例，正式引入概念：“在数学上，我们说3是12的因数，4也是12的因数；反过来，12是3的倍数，12也是4的倍数。”（板书示范）随后，教师引导学生模仿描述1×12=12和2×6=12这两个算式。重点强调语言的完整性：必须说清“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”。3.深化理解，辨析关系。教师出示一道除法算式：18÷2=9。提问：“在这个算式中，你能找到倍数和因数吗？”引导学生发现，除法算式可以转化为乘法思考（2×9=18），因此18是2和9的倍数，2和9是18的因数。此时，教师抛出关键问题：【非常重要】“刚才我们说了很多‘谁是谁的因数，谁是谁的倍数’，现在谁能单独说‘18是倍数’这句话对吗？为什么？”组织学生进行辩论式讨论，最终达成共识：倍数和因数不能单独存在，必须指明是谁的倍数或谁的因数，它们是一种相互依存的关系。教师补充说明：为了方便，我们研究的倍数和因数，一般指不是0的自然数。（三）探究方法，有序找因数1.尝试找全因数。教师提出问题：“刚才我们知道18有因数2和9，还有1和18。那么18的全部因数有哪些呢？你能把它们都找出来，并且保证不重复、不遗漏吗？”【难点】学生先独立尝试，教师巡视，捕捉典型资源：如有遗漏的（如漏了3和6）、有无序书写的（如1、18、2、3、6、9）、有成对有序书写的（1、2、3、6、9、18）。2.交流优化，提炼方法。请有序书写的学生上台分享方法。引导学生总结出两种找因数的方法：一是“乘法找”，想哪两个整数相乘等于这个数，一对一对地找；二是“除法找”，用这个数去除以1、2、3……，看哪些除法算式商是整数且没有余数。教师强调：从1开始，从小到大，一对一对地试，是保证不遗漏不重复的关键。这种“有序思考”是数学学习的重要品质。【基础】3.即时练习，巩固方法。学生独立找出36的全部因数，并在小组内交流核对。教师巡视指导，重点关注学困生是否掌握了“有序试商”的方法。（四）自主迁移，探索找倍数1.放手探究。有了找因数的经验，找倍数对学生来说难度较低。教师直接抛出任务：“你能找出多少个2的倍数？”学生快速反应：2、4、6、8……教师追问：“能找完吗？用什么符号表示？”引导学生理解倍数的个数是无限的，需要用省略号表示。2.对比发现。引导学生回顾刚才找18的因数和找2的倍数的过程，思考并讨论：“一个数的因数和一个数的倍数，在个数上有什么不同？在大小上有什么特点？”通过对比，学生自主发现：【重要】一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。（五）巩固应用，内化概念教师设计“对口令”游戏：教师出一个数，如24，学生甲说“3是24的因数”，学生乙接着说“24是3的倍数”。或者教师出示一个数，要求学生快速说出它的两个因数。在游戏氛围中，巩固对概念的理解。最后，完成课本“练一练”中的基础题目，确保知识落地。【第二课时】2、5的倍数的特征——从猜想到验证（一）游戏激趣，引入百数表教师组织“你说我判断”游戏：学生任意报一个数，教师迅速判断它是不是2的倍数或5的倍数。学生惊叹于教师的速度，从而产生疑问：“老师是不是有什么秘诀？”教师顺势揭示课题，并出示百数表，引导学生通过百数表这一直观工具，自主探索规律。（二）自主探索，发现特征1.探究5的倍数特征。学生在百数表中独立圈出5的倍数（5,10,15……）。观察这些数，有什么共同特点？学生很快发现：个位上是0或5。教师追问：“是不是所有个位是0或5的数都是5的倍数呢？”引导学生举例验证大数（如125、340），通过除法计算确认结论的普适性。2.探究2的倍数特征。学生迁移上述方法，在百数表中圈出2的倍数，观察个位数字。发现：个位上是0、2、4、6、8。教师顺势揭示偶数和奇数的概念：是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。3.归纳总结。师生共同总结：个位上是0或5的数都是5的倍数；个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。【基础】（三）综合辨析，深化理解教师出示一组数：70,125,348,1005,222。要求学生判断：哪些是2的倍数？哪些是5的倍数？哪些既是2的倍数又是5的倍数？引导学生发现：个位是0的数，既是2的倍数又是5的倍数。这一发现为后续学习公倍数埋下伏笔。（四）拓展应用，回归生活教师呈现生活情境：1.有52个苹果，如果每2个装一盘，能正好装完吗？如果每5个装一盘呢？为什么？2.商店的门牌号是奇数，你能猜猜可能是多少号吗？通过这些实际问题，让学生感受数学知识在生活中的应用价值。【第三课时】3的倍数的特征——打破思维定势（一）制造冲突，引发猜想教师先带领学生回顾2、5倍数的特征（看个位），然后提出挑战：“那么3的倍数，是不是也看个位呢？”学生猜测：可能是看个位。教师出示几个个位是3、6、9的数，如13、16、19，让学生验证是不是3的倍数。学生计算后发现13÷3=4……1，并不是3的倍数。认知冲突由此产生：3的倍数到底有什么奥秘？【难点】（二）借助百数表，合作探究1.圈出3的倍数。学生在百数表中圈出所有3的倍数：3,6,9,12,15,18,21……2.横向观察，打破个位说。引导学生观察这些数的个位，发现3的倍数个位可以是09中的任何数字，从而彻底否定“看个位”的错误猜想。3.换个角度，看各位和。教师此时进行关键引导：“既然个位不行，我们换个角度思考。大家能不能把每个数的各个数位上的数字加起来，看看和有什么特点？”以12为例，1+2=3；15为例，1+5=6；21为例，2+1=3……学生小组合作，计算并记录每个3的倍数的各位数字之和。惊喜地发现：各位上的数字之和都是3的倍数。【非常重要】4.举例验证，归纳结论。学生随意报出一个较大的数，如327，先计算3+2+7=12，12是3的倍数，再用除法327÷3=109验证，确认结论正确。师生共同归纳：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。（三）练习巩固，内化新知设计“快速判断”环节：教师出示数字，学生不直接计算除法，而是通过计算数字和来判断。如判断1236是不是3的倍数，学生口算1+2+3+6=12，12是3的倍数，所以1236是3的倍数。通过专项训练，将新技能转化为思维习惯。（四）游戏拓展，趣味无穷开展“数字卡片组数”游戏：教师发放数字卡片（如4、5、6、7），要求学生用这些数字组成一个三位数，使它同时是2、3、5的倍数。学生在组数过程中，需要综合运用本单元所学知识，既巩固了新知，又实现了知识的融会贯通。【第四课时】质数与合数——给自然数分类（一）复习导入，引出课题教师带领学生回顾找一个数的因数的方法。随后，给每个学生发一张小组活动记录表，要求学生写出112各数的所有因数。（二）观察分类，初步感知1.汇报交流，填写表格。学生汇报112的因数，教师板书记录。2.引导分类。教师提问：“请大家仔细观察这些数的因数个数，如果让你给这些数分分类，你打算怎么分？”【热点】学生可能会提出按因数的个数分类：只有一个因数的（1）；有两个因数的（2,3,5,7,11）；有两个以上因数的（4,6,8,9,10,12）。3.揭示概念。教师顺势给出定义：一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）。一个数除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。1既不是质数也不是合数。（三）深化理解，辨析关系1.讨论交流。教师组织讨论：“是不是所有的偶数都是合数？”（引导学生发现2是偶数，但2是质数）“是不是所有的奇数都是质数？”（引导学生发现9、15是奇数，但它们是合数）通过辨析，厘清质数与奇数、合数与偶数的区别与联系。2.介绍数学文化。教师简单介绍“哥德巴赫猜想”——“任何大于2的偶数都可以写成两个质数的和”，激发学生对数学探究的兴趣，体会数学的神奇与美妙。（四）方法指导，判断质数教师介绍判断一个数是不是质数的方法：查质数表；试除法（用质数从小到大去试除）。引导学生尝试判断91是不是质数（学生可能会误以为是质数，但用7试除后发现91=7×13，是合数），强调试除到接近这个数的算术平方根附近即可。【重要】（五）拓展延伸，百以内质数引导学生通过划除法（埃拉托斯特尼筛法），在百数表中找出100以内的所有质数，并尝试记忆（如20以内质数：2,3,5,7,11,13,17,19）。在活动中培养学生的数感和毅力。六、单元作业设计与评价（一）分层作业设计【高频考点】1.基础性作业（面向全体）：完成课本“练一练”及配套练习册中的基本习题，包括找因数、倍数，判断2、3、5的倍数特征，区分质数与合数。2.拓展性作业（面向学有余力）：（1）探究题：一个长方形的长和宽都是质数，并且周长是36厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？（2）开放题：寻找生活中的“完美数”（如6的因数有1,2,3,6，去