第25章 一元二次方程 单元测试题（含答案）2026-2027学年人教版九年级上册数学

新人教版数学九年级上册第25章《一元二次方程》单元测试题.班级姓名等级一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）1.下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（）A. B.C. D.2.一元二次方程的常数项是（）A.6 B. C.1 D.3.若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（）A. B.1 C. D.24.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（）A. B. C. D.5.实数是关于的方程的两根，其中，是三条边的长，则下列说法正确的是（）A.是方程的一个根B. C. D.6.用配方法解方程，方程变形为，则（）A.25 B.24 C.23 D.227.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为43，则每个支干长出（）支小分支．A.6 B.7 C.8 D.98.关于x的一元二次方程有实根，则实数k的取值范围是（）A. B. C.且 D.且9.关于的一元二次方程下列说法，正确的个数是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若有两个不相等的实数根，则有两个不相等实数根；⑤若有两个不相等的实数根，则也有两个不相等的实数根；A.2 B.3 C.4 D.510.一元二次方程；，其中，，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是，其中正确的结论是（）A.①③ B.①②③ C.①②④ D.①③④二、填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）11.已知是关于x的一元二次方程，则_______．12.已知是关于的方程的一个根，那么的值是___________．13.某电商以每件40元的价格购进某款T侐，以每件60元的价格出售，经统计，“十一”的前一周的销量为500件，该电商在“十一黄金周”期间进行降价销售，经调查，发现该T侐在“十一”前一周销售量的基础上，每降价1元，“十一黄金周”销售量就会增加50件．若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于，那么当电商获得最大利润时，每件T侐的定价为______元．14.德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，在每轮传染中，平均一个人传染的人数为________．15.如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是119，则最小数与最大数的和为．16.定义新运算“*”：对于实数x和y，有，例如：，若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是______．三、解答题（本大题共有10个小题，共102分）17.（本小题满分9分）解下列方程：（1）；（2）（配方法）；（3）．18.（本小题满分9分）甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为．（1）求a，b的值；（2）若关于x的一元二次方程a﹣bx+m＝0两实数根为，，且满足7﹣＝6，求实数m的值．19.（本小题满分9分）已知关于x的方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别是，，且，求m的值．20.（本小题满分10分）已知、是关于的一元二次方程的两个实数根．（1）若，求的值；（2）已知等腰三角形的一边长为7，另外的两边长恰好是、，求的周长．21.（本小题满分10分）定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”．（1）下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）．①；②；③．（2）已知方程是“邻根方程”，求k的值．（3）若方程是“邻根方程”，求证：．22.（本小题满分10分）某超市以每只35元的价格购进某款玻璃杯，并以每只58元的价格出售．经统计，7月份的销售量为256只，9月份的销售量为400只．（1）求该款玻璃杯7月份到9月份销售量的月平均增长率；（2）经市场预测，10月份的销售量将与9月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式．调查发现，该玻璃杯售价每降价1元，月销售量就会增加20只．当该玻璃杯每只售价为多少元时，月销售利润可达到8400元？23.（本小题满分10分）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根．（1）用含m的代数式表示n，并直接写出m的取值范围；（2）关于x的方程；①求证：方程必有两个不相等的实数根；②若，是方程的一个正根，记，试比较M与2的大小．24.（本小题满分10分）用长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠墙，墙的长为，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是，设与墙垂直的一边长为．（1）当时，矩形菜园面积是，求；（2）当足够大时，问矩形菜园的面积能否达到？（3）若矩形菜园的面积是，x的值只能取一个，试写出a的取值范围．25.（本小题满分12分）定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．（1）写出一元二次方程的“友好方程”：___________________．（2）已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为______________．根据以上结论，猜想方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______________．（3）已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，求关于x的方程的两根．26（本小题满分13分）如果关于x的一元二次方程满足，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程，，则这个方程就是“美好方程”．（1）下列方程是“美好方程”的是；①②③④（2）求证：“美好方程”总有两个实数根；（3）若美好方程有两个相等的实数根，求证：．参考答案：一、选择题1.D.2.A.3.C.4.D.5. D.6.C.7.A.8.C.9.D.10.B.二、11.412.2或13.5214.1115.2416. 三、解答题17.（1）解：∵，∴，解得．（2）解：∵，∴,∴, ∴,∴,解得．（3）解：∵，在这里，∴，，解得．18.（1）解：∵甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，∴-12-b=-10是正确的，5a-20=15是正确的，解得a=7，b=-2；（2）解：把a=7，b=-2代入一元二次方程a﹣bx+m＝0得到7+2x+m＝0，∵一元二次方程a﹣bx+m＝0两实数根为，，∴+=即7+7=-2，=即m=7×，∵7﹣＝6，∴7＝6+，∴6++7=-2，解得=-1，7＝5，∴m=-5．19.（1）解：∵方程，，∴，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：∵的两个实数根分别是，，∴，∵，∴，∴，∴，解得．20.（1）解：∵是方程的两个实数根，∴，，∵是方程的两个实数根，∴，解得．∵，∴，∴，整理，得，解得或（舍去），故的值为6．（2）解：∵是方程的两个实数根，∴，，∵等腰三角形的一边长为7，当时，∴，，∴，整理，得，解得，当时，，此时三角形的三边长为7，7，3，三角形存在，故三角形的周长为；当时，，此时三角形的三边长为7，7，15，三角形不存在；同理可证，当时，三角形的周长为17；∵是方程的两个实数根，∴，，∵等腰三角形的一边长为7，当时，∴，解得，∴，此时三角形的三边长为7，3，3，三角形不存在；综上所述，，三角形周长为17．21.（1）解：一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”；一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”；一元二次方程的两个根是，，此时，故方程是“邻根方程”；（2）解：解方程，得，，方程是“邻根方程”，，或，解得或．（3）证明：设方程的两个根为，，则，，且，方程是“邻根方程”，，，，，，而，，故．22.（1）解：设该款玻璃杯7月份到9月份销售量的月平均增长率为x．根据题意，得，解得，（不符合题意，舍去）．答：该款玻璃杯7月份到9月份销售量的月平均增长率为．（2）解：设该玻璃杯每只售价为y元，则每只销售利润为元，月销售量为只．根据题意，得，解得，（不符合题意，舍去）．答：当该款玻璃杯每只售价为50元时，月销售利润可达到8400元．23.（1）解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴且，解得且，故解得，故且，m的范围是．（2）①证明：∵．∴方程必有两个不相等的实数根；②解：若，则．∴．∴．∴．∴．∴．解方程，得．∴．∴．∵，∴．24.（1）解：由与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为．根据题意，得：，整理得：，解得：，当时，，不符合题意；当时，，符合题意．答：x的值为20；（2）解：由矩形菜园的面积可以达到，得，整理得：，∵，∴一元二次方程无实数根，∴矩形菜园的面积不能达到；（3）解：由矩形菜园的面积为，得：，整理得：，解得：，当时，，此时；当时，，此时．∵x的值只能取一个，∴．25.（1）解：根据定义，得一元二次方程的“友好方程”为，故答案为：．（2）解：已知一元二次方程的两根为，解方程得，故答案为：；由方程的两根；，“友好方程”的两根，则，，故．故方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数．故答案为：互为倒数．（3）解：关于x的方程的两根是．故方程的两根是，故方程的两根是，又，故，故是方程的根．故或，解得或，故