【《单摆动力学方程与数值解分析》3100字】

单摆动力学方程与数值解分析从物理实物的角度上来看，单摆是用细绳或者轻杆绑着一个稍重一些的小球，在某个固定点吊挂构成的物理系统。虽然这个物理系统很简易，但它隐藏着各式各样的变化，是呈现经典物理理论能力的绝佳场所。经过对单摆的深入探究后，可以使我们对很多理论概念和分析技术的理解更加深刻。单摆动力学首先，我们提出最浅显的单摆模型，其中摆球在均匀引力场中运动，体积忽略，不受其他力的影响，包括空气阻力，地心引力和绳子的拉力除外。绳子无法展缩，并且忽略质量和空气阻力的影响；最后，把地球想象成是一个“惯性参考系”，摆球在一个竖直的平面上作往复运动。再补充上其他因素的影响，例如把一条细绳变成弹簧，或者用某种方法把两个摆球构成一个复合摆，还可以增加液体或空气的阻力等等。模型越不简单，球的运动呈现得越多种多样。牛顿第二定律是牛顿运动理论控制单摆系统运动的核心，公式为F表示摆球受到的合力，m为摆球的质量，QUOTEd2rdt2单摆的运动方程在各种力的作用下可以根据情况而改变。它可以根据普通的笛卡尔坐标系建立，也可以根据径向和切线方向建立。如果改变了坐标的表示方式就必须改变力的分解方式。纠正对数值解的误解事实上，建立好单摆系统方程后，很多情形下都无法给出解析解，往往可以得出解析解都是通过对一般方程进行了近似处理的结果，比如进行小量近似，将非线性方程转化为线性方程，但是线性方程求解更容易。由于大批的非线性方程无法得出解，我们对所描述的对象的了解就有些困难。但是，如今我们可以利用计算机编程，那些非线性方程就可以很简单求得，得到的“数值解”也能展示运动情况，并且计算机可以运用数值作图，相比公式，图形往往更能生动地展现运动的规律与细节，有助于我们对更深入的了解系统。在这里，我们发现过去对物理的了解可能有表观误差，我们总是想用通过一个单一的公式就能够解出问题的答案，能用一个一应俱全的公式理解物体各式各样的变化和走向。其实这是我们在无意识中被灌输的刻板印象，这可以理解成一个理想条件下的情况，但物理研究在实际上并不是这样的，不存在一应俱全的公式，我们也只能得到某个特定情况的解，没有这个特定的条件，我们就什么都不知道了。事实上，无论是“公式解”或是“解析解”，都只是一种物体运动方式，这种方式已经成为我们的思维定势，当我们解得数值解时，不禁想：计算总是存在误差，所以可以表达真正的情况吗？一旦固定的数据出来，我们能否看到其他什么情况？而且它不像公式那样灵活…在这里，我们只是提出这种可能性，相信总有一日，我们对物理学研究和表达的旧印象会随着不断增加的“数值解”而改变。单摆振动方程的分析现在，对于最浅显的单摆模型，我们想知道：随着时间，单摆到底做什么运动？例如，摆球在某时刻位于哪个位置？摆球的往复运动是等周期的吗？周期为多少？影响周期的相关因素有哪些？等等。此刻，让我们回到最初的地方，看看我们是否对这个问题有了更深刻的理解。在回答这些问题前，需要确定摆球的具体运动方程，不能用牛顿第二定律的公式来解决。遵照之前的模型假设，鉴于摆绳是不能变化的，因而摆球不存在沿摆绳方向的“径向运动”，仅存在垂直摆绳方向的“切向运动”。作用在摆动的球上的力仅有两个：分别是沿摆绳斜向上的拉力FT和向下的地心引力mg，g为重力加速度。在切线方向上后者有一个分力，而前者对切向运动无左右。假使我们起初做出这样的规定：中间的纵向摆角为零，右边是正的，左边是负的，摆角θ扩大的方向就是切线方向正方向，那么重力的切向分力为时间的函数用摆角θ表示，按照我们对圆周运动的了解，摆球的切向速度为其中θ’（t）为角速度，L是摆线长度，根据牛顿定律，有下面的运动方程消去摆球的质量m，得到单摆的最简单运动方程为（1）该二阶微分方程方程（1）体现了摆角θ（t）QUOTEθ（t）随时间变化的一般规律。如果我们解得摆角QUOTEθ（t）θ（t），那么不仅可以知道单摆在每一时刻的位置，也可以知道更多信息，比如速度和加速度等。因此，弄懂单摆运动规律是解方程（1）的关键。该方程并不是线性方程，正常情况下无法求解，仅当摆动角度较小时，才能获取近似解，“小摆角”一般规定是指最大摆角不超过5°。这个时候，QUOTEsinθ=θsinθ=θ，方程（1）被线性化，成为标准谐振方程。这里单摆振动的圆频率用QUOTEΩ=gL表示。因此解得单摆运动方程为QUOTEθt=θm∙sin（Ω∙t+Φ）

若选择t=0的初始条件的位置和速度，那么可以确定振幅QUOTEθmθm和初相角QUOTEΦφ，摆角QUOTEθtθ(t)也可以完全明确了，进而得到速度和切向加速度在此基础上，也很容易能求得摆线对摆球的拉力fT，由于切向运动为圆周运动的一种，因此法向分力就可以使用向心力公式还可以根据周期和角频率的关系求得单摆运动周期，周期为（2）那么，对单摆所提出的问题就完全可以得到解决。如果觉得公式比较抽象，还能够将上面各个求到的量来作图，观察它们的相位关系和变化，等等。上述研究基本是在角度很小时，我们对它进行近似处理后得出的结果，但假若摆角为任意角度，就只能得到数值解，即曲线上某些点的值，得不出解析解。无阻尼单摆周期的准确公式符号解单摆的运动方程（1）可以写成在该式等号两边同时乘以QUOTEθ't并对t积分，则QUOTEθ't=Ω2（cosθt对上述式子第二次积分，这里要注意：从0°到最大摆角幅度花费的时间为T/4，有将参数Φ引入式子中，满足可以得到一个准确公式用于确定周期QUOTEπ2∙TT0=0π2dφ1-sin式子等号右边是椭圆积分，用Mathmatica的积分函数Integrate[]计算，要想对周期公式的右边进行级数展开再积分，忽略它的高次项，就有近似公式QUOTE≈T0（1+1我们可以通过曲线的绘制或计算与近似公式和准确公式的比较得出差异。单摆动力学方程的数值计算接下来，我们将用Mathematica来探究方程（1）的数值解。其实这很简单，Mathematica中有一个专门来解微分方程的数值解的函数NDSolve[]，像上面的常微分方程（1）可以很容易地解出来。该函数的格式为NDSolve[{微分方程和初始条件}，函数名，{t，t1，t2}]在这里，我们要注意，数值解只在给定的解算范围成立，不可能同公式一样在任何时候都成立，简而言之，我们解算到那个步骤，对系统就了解到哪布，除此之外，其他的我们就不清楚了。以下是单摆运动的第一个求解程序，该程序使用NDSolve[]函数来解单摆的微分方程，然后用另一个函数Plot[]作图画出单摆QUOTEθ（t）θ（t）的角度随时间的变化情况，这个程序是来计算每个摆角幅度下的数值解，在这种情况下，其初始条件被指定为如下所示：初始角位置QUOTEθ=0θ=0初始速度0.2m/s换算成初始角速度θ´=0.2m/s摆长上述初始条件完全满足求解二阶微分方程的要求。直观给出初始速度后将其转换为初始角速度。单摆运动问题的第一个求解程序代码如图1所示单摆运动问题的第一个求解程序代码单摆运动问题的第一个求解程序的计算结果如图2所示单摆运动问题的第一个求解程序的计算结果我们通常需要用图形来表示数值计算的结果，在本例中，我们用函数Plot[]来绘制得到图形Out[5]。Plot[]格式如下：函数f[t]有明确的表达式，QUOTE{t，t1，t2}该例中得到的图形不仅是摆角θQUOTEθ随时间变化的振荡曲线，还是这次运算的核心结果。从图上可知，曲线从时间坐标和角度坐标的原点变化，我们规定的初始角速度是正，那么曲线一开始上升，如果我们定义初始角速度为负，曲线会下落。由图表看出：摆角的运动与正弦函数类似，随着时间会周期性地振荡，单摆作周期性运动。这和我们知道的单摆知识是一致的。末尾一行中，程序使用了Clear[]来清除本程序所使用的任何变量和符号的值，方法是插入它