2026秋人教版八上数学 专题13 分式及分式的基本性质的八类综合题型（专题训练）

专题13分式及分式的基本性质的八类综合题型目录TOC\o"1-2"\h\u典例详解类型一、分式有无意义的条件类型二、分式的值为零类型三、利用分式的基本性质判断分式是否正确类型四、分式与最简分式的判断类型五、将分式的分子分母的最高次项化为正数类型六、将分式的分子分母各项系数化为整数类型七、求使分式值为整数时未知数的整数值类型八、与分式有关的新定义型问题压轴专练类型一、分式有无意义的条件1.无意义：分母等于0时，分式无意义。解题时只需让分母等于0，解出未知数的值。2.有意义：分母不等于0时，分式有意义。解题时让分母不等于0，解出未知数的取值范围。3.注意：计算时千万不要把分子算进去。分子的取值不影响分式是否有意义。例1．若分式有意义，则的取值范围是．【变式1-1】若代数式有意义，则实数的取值范围是．【变式1-2】若分式无意义，则x的值为．【变式1-3】当时，分式有意义；当时，分式无意义．类型二、分式的值为零-分子等于0：这是让整个分式值为零的前提。-分母不等于0：这是保证分式有意义的底线。解题步骤：1.先让分子等于0，解出可能的x值2.把这些x值代入分母，检查分母是否为03.排除使分母为0的x值，剩下的就是答案例2．若分式的值为0，则的值为．【变式2-1】若分式的值为，则的值为．【变式2-2】分式的值为0，则的值为．【变式2-3】若分式的值为0，则的值为．类型三、利用分式的基本性质判断分式是否正确1.看变形方式：分子和分母是不是同时进行了"乘以同一个数"或"除以同一个数"的操作。2.看乘除的数：这个用来乘或除的整式，必须是一个不为零的整式。3.看是否有遗漏：特别要注意符号和系数，确保变形是作用在整个分子和整个分母上，而不是只作用在某一项上。例3．下列分式变形正确的是（

）A． B． C． D．【变式3-1】若，则下列分式化简正确的是（

）A． B． C． D．【变式3-2】若把分式中和的值都扩大2倍，那么分式的值（）A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．不变 D．缩小4倍【变式3-3】把分式的分子分母中的都扩大为原来的2倍，则分式的值（

）A．不变 B．缩小为原来的2倍C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的2倍类型四、分式与最简分式的判断1.先分解，后观察：把分子和分母分别进行因式分解。-比如提取公因式、用平方差公式等-分解后更容易看清它们的结构2.找"亲戚"：检查分解后的分子和分母是否有相同的因式。-这些相同的因式就是它们的"公因式"-只要存在公因式，分式就不是最简的3.看特例：如果分子或分母本身就是一个不能再分解的质数或因式，那就不用再考虑了。例4．下列各式中：，，，，分式的个数为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【变式4-1】下列分式为最简分式的是（

）A． B． C． D．【变式4-2】代数式，，，中，分式有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式4-3】分式、、、中，最简分式有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个类型五、将分式的分子分母的最高次项化为正数1.先判断，后变号：检查分子或分母的最高次项系数是否为负数。-如果是负数，就在整个分子或分母前面乘以-1-这相当于改变了整个分子或分母的符号2.要变号，同变化：根据分式的基本性质，分子和分母要同时变化。-如果只改变分子的符号，那么分式本身的符号也要改变-同理，只改变分母的符号，分式本身的符号也要改变-记住：只变一处，分式变号；两处都变，符号不变3.化最简，再检查：处理完符号后，记得看看分子和分母是否还有公因式。-如果有，需要进行约分，得到最简分式例5．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（

）A． B． C． D．【变式5-1】不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（）A． B．C． D．【变式5-2】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（）A． B． C． D．【变式5-3】不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为（

）A． B． C． D．类型六、将分式的分子分母各项系数化为整数1.

找出分母：先看分子和分母中所有分数系数的分母。-例如，系数是1/2、2/3和5/6，它们的分母就是2、3和6。2.

计算最小公倍数：求出这些分母的最小公倍数(LCM)。-在上例中，2、3、6的最小公倍数是6。-这个最小公倍数就是我们要找的"放大倍数"。3.

同乘倍数：用这个最小公倍数同时乘以分子和分母。-这样就能把所有分数系数都变成整数。-同时，分式的值保持不变。例6．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（

）A． B．C． D．【变式6-1】不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（）A． B． C． D．【变式6-2】不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（

）A． B． C． D．【变式6-3】不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（

）．A． B． C． D．类型七、求使分式值为整数时未知数的整数值1.

先化简：如果分式比较复杂，先进行因式分解和约分。-把它变成最简形式，这样更容易分析。2.

再变形：用"分离常数法"把分式拆开。-例如，把

(x+3)/(x-1)

变形为

1+4/(x-1)

。-这样，只要

4/(x-1)

是整数，整个分式的值就是整数。3.

列方程：确定分母的取值。-分母必须是分子的约数。-在上例中，

x-1

必须是4的约数，即

±1,±2,±4

。-然后解出

x

的值，并确保分母不为零。例7．若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有个．【变式7-1】若分式的值为整数，则非负整数的值为．【变式7-2】若为正整数，且也为正整数，则的值为．【变式7-3】使得为整数的自然数的个数为个．类型八、与分式有关的新定义型问题1.

读懂定义：这是最重要的一步。仔细阅读题目给出的新规则，比如"新运算"或"新符号"的含义。-用笔把规则里的关键条件划出来-确保完全理解后再动手2.

套用规则：把题目中的具体数字或字母，代入到新定义的规则里。-这一步就像做翻译，把新的语言翻译成我们熟悉的数学表达式-通常是一个分式3.

化简求解：得到熟悉的表达式后，就可以用我们学过的分式知识来解题了。-可以是化简、求值，也可以是解方程-用我们已经掌握的方法来解决问题例8．（2026八年级下·江西鹰潭·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：；，则和都是“和谐分式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）；①；②；③；④(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________；(3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？【变式8-1】（2025七年级下·全国·专题练习）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题：(1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）；①；②；③．(2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由．【变式8-2】（八年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；①；②；③．(2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值：(3)若分式的“巧整式”为．①求整式A．②是“巧分式”吗？【变式8-3】（2026八年级下·河南南阳·阶段练习）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如．解决下列问题：(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；(2)将假分式化为带分式；(3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值．一、单选题1．（2026八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式：，，，，，其中分式共有（

）个．A．2 B．3 C．4 D．52．（2026七年级下·全国·单元测试）分式，，，中最简分式的个数是（

）A． B． C． D．3．（2026七年级下·全国·单元测试）如果把分式中的和的值都扩大为原来的倍，那么分式的值（

）A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍C．缩小为原来的 D．不变4．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（

）A．且 B．且C．且 D．且且5．（2026八年级上·山东淄博·阶段练习）式子：（1）；（2）；（3）．其中正确的是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．（2026九年级·浙江·自主招生）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．8个二、填空题7．（2026八年级上·山东淄博·阶段练习）当x时，分式有意义．当时，分式的值为0．8．（2026九年级下·江苏南通·阶段练习）若分式的值为负，则的范围是．9．（2026八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为．10．（2026八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数．（1）；（2）．11．（2026八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数．（1）；（2）；（3）．12．（2026八年级上·全国·课后作业）利用分式的基本性质填空：（1），括号内应填入；

（2），括号内应填入；（3），括号内应填入；

（4），括号内应填入．三、解答题13．（2026八年级上·全国·课前预习）当为何值时，下列分式的值为0？(1)(2)(3)14．（2026八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号：(1)；(2)．15．（2026八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列各式的分子和分母的各项系数都化为整数．(1)；(2)．16．（2026七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知．(1)若y的值为正数，求x的取值范围；(2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值．17．（2026七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）．如：；．根据上面材料回答下列问题：(1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”）(2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______；(3)将假分式化为带分式．18．（2026八年级上·全国·单元测试）阅读下面例题解法：例：已知，求分式的值．解：方法一：由，得①，由，得②，把①和②代入原式，得原式．方法二：设，则，把它们代入原式，得原式．根据以上解题方法解答下题：已知，试求分式的值．答案解析类型一、分式有无意义的条件例1．若分式有意义，则的取值范围是．【答案】【知识点】分式有意义的条件【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件．根据分母不为零即可求出答案．【详解】解：∵分式有意义，∴∴．故答案为：．【变式1-1】若代数式有意义，则实数的取值范围是．【答案】【知识点】分式有意义的条件【分析】本题考查了分式有意义的条件：分母不为零；据此得，即可求解．【详解】解：由于代数式有意义，则，得：；故答案为：．【变式1-2】若分式无意义，则x的值为．【答案】【知识点】分式无意义的条件【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此求解即可．【详解】解：∵分式无意义，∴，∴，故答案为：．【变式1-3】当时，分式有意义；当时，分式无意义．【答案】【知识点】分式有意义的条件、分式无意义的条件【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解；分式无意义分母等于0列方程求解．【详解】解：当，即时，分式有意义；当，即时，分式无意义；故答案为：，．类型二、分式的值为零例2．若分式的值为0，则的值为．【答案】1【知识点】分式值为零的条件【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，根据题意可得，再进一步求解即可．【详解】解：∵分式的值为0，∴，解得：，故答案为：【变式2-1】若分式的值为，则的值为．【答案】【知识点】分式值为零的条件【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，根据分式值为零的条件即可得到答案，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．【详解】解：依题意，∴故答案为：．【变式2-2】分式的值为0，则的值为．【答案】【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，准确理解题意是正确解答此题的关键．根据分式的意义和性质，由分式值为0的条件知，分式，当时的值为0，若分式的值为0，需要且即可求解．【详解】解：若分式的值为0，得且，故，故答案为：．【变式2-3】若分式的值为0，则的值为．【答案】【知识点】分式值为零的条件【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件是分子为零，分母不为零求解即可．【详解】解：∵分式的值为0，∴，且，解得，故答案为：．类型三、利用分式的基本性质判断分式是否正确例3．下列分式变形正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】判断分式变形是否正确【分析】本题考查判断分式变形是否正确，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可．【详解】解：A、，变形错误，不符合题意；B、，变形错误，不符合题意；C、，变形错误，不符合题意；D、，变形正确，符合题意；故选D．【变式3-1】若，则下列分式化简正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】判断分式变形是否正确【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握性质的本质是解题的关键．根据分式的基本性质“分式的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分式的值不变”求解即可．【详解】解：A.，分子、分母同时加2，分式值不一定不变，本选项不符合题意；B.，分子、分母同时加，分式值不一定不变，本选项不符合题意；C.，分子、分母同时除以2，分式值不变，本选项符合题意；D.，分子、分母同时开方，分式值不一定不变，本选项不符合题意．故选：C．【变式3-2】若把分式中和的值都扩大2倍，那么分式的值（）A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．不变 D．缩小4倍【答案】C【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的分别用替换，再约分化简即可得到答案．【详解】解：把分式中和的值都扩大2倍后变形为，∴分式的值不变，故选：C．【变式3-3】把分式的分子分母中的都扩大为原来的2倍，则分式的值（

）A．不变 B．缩小为原来的2倍C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的2倍【答案】D【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化【分析】本题考查了分式的基本性质；把分式中的分别用代替，再利用分式的基本性质化简即可判断．【详解】解：，即分式的值扩大为原来的2倍；故选：D．类型四、分式与最简分式的判断例4．下列各式中：，，，，分式的个数为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【知识点】分式的判断【分析】本题考查了分式的定义，观察分母，看是否有字母，有字母则是分式，没有字母则不是分式，熟练掌握分式的定义是解此题的关键．【详解】解：和是分式，共2个，故选：D．【变式4-1】下列分式为最简分式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】最简分式、约分【分析】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐项分析即可判断．【详解】解：A、，故此选项不是最简分式，不符合题意；B、，故此选项不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、，故此选项不是最简分式，不符合题意；故选：C．【变式4-2】代数式，，，中，分式有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【知识点】分式的判断【分析】本题主要考查了分式的识别，若为两个整式，且中含有字母，那么就叫做分式，据此求解即可．【详解】解：代数式，，，中，分式有，，共2个，故选：B．【变式4-3】分式、、、中，最简分式有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【知识点】最简分式【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据最简分式的定义分析即可．【详解】解：，，故不是最简分式，不符合题意；，是最简分式，符合题意；故选C．类型五、将分式的分子分母的最高次项化为正数例5．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可．【详解】解：．故选B．【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号．【变式5-1】不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（）A． B．C． D．【答案】C【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数【分析】根据分式的基本性质即可求解．【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得：，故选：C．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．【变式5-2】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数【分析】让分子，分母同时改变符号即可让分子和分母中x的最高次项的系数都是正数．【详解】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母的符号可得原式==．故选D．【点睛】用到的知识点为：分子，分母，分式本身的符号，改变其中的2个，分式的大小不变；分子，分母的最高次项的系数均为负数，应同时改变分子，分母的符号．【变式5-3】不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可.【详解】故选D.【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号.类型六、将分式的分子分母各项系数化为整数例6．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可.【详解】解：．故选：C【变式6-1】不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（）A． B． C． D．【答案】A【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变．利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解．【详解】解：．故选：A．【变式6-2】不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘5，判断出所得结果为多少即可．【详解】解：，故选：A．【变式6-3】不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（

）．A． B． C． D．【答案】B【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数【分析】本题考查了分式的性质，掌握其性质是解题的关键．根据分式的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，由此即可求解．【详解】解：，故选：B．类型七、求使分式值为整数时未知数的整数值例7．若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有个．【答案】4【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可．【详解】解：由题意可知，是6的整数约数，∴，2，3，6，，，，，解得：，，1，，，，，，其中x的值为整数有：，1，，共4个．故答案为：4．【变式7-1】若分式的值为整数，则非负整数的值为．【答案】或或【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值【分析】本题考查分式的求值问题，由分式的值为整数，可得可以为、、、，据此可以得到答案．要注意分类讨论的思想以及分子分母之间的倍数关系，认真审题，抓住关键的字眼是解题的关键．【详解】解：∵分式的值为整数，∴可以为、、、，∴可以为、、、，∴非负整数的值为或或．故答案为：或或．【变式7-2】若为正整数，且也为正整数，则的值为．【答案】或/6或2【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质化简是解题的关键．根据题意，将分式化简为，结合正整数的定义进行判定，代入求值即可．【详解】解：，该分式为正整数，也为正整数，且，∴当时，，原式为正整数，符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，原式为正整数，符合题意；当时，，不符合题意；综上所述，的值为或，故答案为：或．【变式7-3】使得为整数的自然数的个数为个．【答案】6【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值【分析】本题考查了分式的值，将分式变形为，即可得出，再根据的值为整数且x为自然数计算即可．【详解】解：，∵分式的值为整数且x为自然数，∴或2或3或4或6或12，∴或1或2或3或5或11，共6个，故答案为：6．类型八、与分式有关的新定义型问题例8．（2026八年级下·江西鹰潭·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：；，则和都是“和谐分式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）；①；②；③；④(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________；(3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？【答案】(1)①③④是“和谐分式”(2)(3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数【分析】本题主要考查分式的新定义；（1）根据和谐分式的定义逐一判断即可；（2）根据和谐分式的定义计算求解即可；（3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可．【详解】（1）解：①；②；③；④，①③④是“和谐分式”．故答案为：①③④．（2）解：，．故答案为：．（3）解：的值为整数，当为整数时，的值也要为整数，当或时，分式的值为整数，或或或，即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数．【变式8-1】（2025七年级下·全国·专题练习）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题：(1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）；①；②；③．(2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由．【答案】(1)①③(2)是，见解析【分析】本题考查了分式的化简、因式分解．（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论；（2）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论．【详解】（1）解：，是整式，①是“巧分式”；，不是整式，②不是“巧分式”；，是整式，③是“巧分式”；（2）解：分式的“巧整式”为．，；，又是整式，是“巧分式”．【变式8-2】（八年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；①；②；③．(2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值：(3)若分式的“巧整式”为．①求整式A．②是“巧分式”吗？【答案】(1)①③(2)(3)①；②是“巧分式”【分析】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义．（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论；（2）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可；（3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论．【详解】（1）解：，是整式，①是“巧分式”；，不是整式，②不是“巧分式”；，是整式，③是“巧分式”；故答案为：①③；（2）解：分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，，，；（3）解：①分式的“巧整式”为．，，即；②，又是整式，是“巧分式”．【变式8-3】（2026八年级下·河南南阳·阶段练习）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如．解决下列问题：(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；(2)将假分式化为带分式；(3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值．【答案】(1)真(2)(3)．【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键．（1）利用真分式和假分式的定义解答即可；（2）利用题干中的方法化简运算即可；（3）利用整数和整除的意义讨论解答即可．【详解】（1）解：由题意得：分式是真分式，故答案为：真；（2）解：；（3）解：；∵分式的值为整数，x为整数．∴或，当时，，当时，，当时，，当时，，∴整数的值是．一、单选题1．（2026八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式：，，，，，其中分式共有（

）个．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本题考查分式的定义，对题中出现的各式逐一分析，统计出分式的个数即可．【详解】解：对于，分母是a，a是字母，所以是分式；对于，分母是，是一个常数，也是常数，不含有字母，所以不是分式；对于，分母是2，2是常数，不含字母，所以不是分式；对于，的分母是x，x是字母，所以是分式；对于，分母是，x是字母，所以是分式．综上所述，其中分式有：，，，共3个．故选：B．2．（2026七年级下·全国·单元测试）分式，，，中最简分式的个数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的知识点是分式的约分，最简分式，因式分解，解题关键是熟练掌握最简分式的定义．将每个选项的分子和分母分别进行因式分解，然后进行约分化简，如果无法继续进行化简则选项是最简分式，如果可以继续化简，则选项不是最简分式．【详解】解：的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；，即不是最简分式；，即不是最简分式；的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式．综上，最简分式的个数是个．故选：．3．（2026七年级下·全国·单元测试）如果把分式中的和的值都扩大为原来的倍，那么分式的值（

）A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍C．缩小为原来的 D．不变【答案】A【分析】本题考查的知识点是分式的基本性质、解题关键是熟练掌握分式的基本性质．根据，判断作答即可．【详解】解：把分式中的和的值都扩大为原来的倍，则分式变为，分式的值扩大为原来的倍．故选：．4．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（

）A．且 B．且C．且 D．且且【答案】D【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可．【详解】解：∵分式有意义，∴，解得且且，故选：D．5．（2026八年级上·山东淄博·阶段练习）式子：（1）；（2）；（3）．其中正确的是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变是解题的关键．分别对三个式子进行分式变形的分析，判断其正确性．【详解】解：（1）．故（1）错误；（2）．故（2）错误；（3）分子、分母同时乘以，分式的值不变，即．故（3）正确．综上所述，正确的变形有1个．故选：B．6．（2026九年级·浙江·自主招生）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．8个【答案】D【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键．将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可．【详解】解：，若要的值为整数，只需为整数即可，可以是，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个，故答案为：D．二、填空题7．（2026八年级上·山东淄博·阶段练习）当x时，分式有意义．当时，分式的值为0．【答案】【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零的条件．对于第一个空，根据分式有意义的条件，令分母不为零，求解x的取值范围；对于第二个空，根据分式值为零的条件，先令分子为零，再检验分母是否不为零，从而确定x的值．【详解】解：（1）依题意得：，解得．（2）依题意得：，且，∴，且，解得．故答案为：，．8．（2026九年级下·江苏南通·阶段练习）若分式的值为负，则的范围是．【答案】且【分析】本题考查了分式的值为负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，且，解不等式即可．【详解】解：由题意得：，且，解得：且，故答案为：且．9．（2026八年级上·山东淄博·阶段练习）分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为．【答案】或0或2或8【分析】本题考查了分式的值，原式变形为，根据题意可得是7的因数，则或，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：，要使分式的值是整数，则是7的因数，∴或，∴或0或2或8，故答案为：或0或2或8．10．（2026八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数．（1）；（2）．【答案】【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．（1）分子与分母都乘以10即可；（2）分子与分母都乘以12即可．【详解】解：（1）故答案为：（2）故答案为：11．（2026八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数．（1）；（2）；（3）．【答案】【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．（1）将分母中的负号提到分式前面即可；（2）分子和分母都乘以即可；（3）分子和分母都乘以即可．【详解】（1）故答案为：（2）故答案为：（3）故答案为：12．（2026八年级上·全国·课后作业）利用分式的基本性质填空：（1），括号内应填入；

（2），括号内应填入；（3），括号内应填入；

（4），括号内应填入．【答案】x【分析】本题考查分式的基本性质，涉及整式乘法、因式分解等知识，根据题中各分式分子分母，结合整式乘法及因式分解，由分式的基本性质求解即可得到答案．熟记分式基本性质是解决问题的关键．【详解】解：，故答案为：；，故答案为：；，故答案为：；，故答案为：．三、解答题13．（2026八年级上·全国·课前预习）当为何值时，下列分式的值为0？(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(